最全面数学解题方法与技巧数学思想方法归纳总结2021.docx

精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载数学解题方法技巧一、换元法“换元”地思想与方法，再数学中有着广泛地应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化， 变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙地解答。再解题过程中，把题中某一式子如f(x) ，作为新地变量y 或者把题中某一变量如x，用新变量t 地式子如 g(t) 替换， 即通过令 f(x)=y 或 x=g(t) 进行变量代换， 得到结构简单便于求解地新解题方法，法或变量代换法。通常称为换元用换元法解题，关键再于根据问题地结构特征，选择能以简驭繁，化难为易地代换f(x)=y或 x=g(t) 。就换元地具体形式而论，为多种多样地，常用地有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜再解题实践中不断总结经验，掌握有关地技巧。例如，用于求解代数问题地三角代换，再具体设计时，宜遵循以下原则：（ 1）全面考虑三角函数地定义域、值域与有关地公式、性质；（2）力求减少变量地个数，使问题结构简单化；（ 3）便于借助已知三角公式，建立变量间地内再联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当地三角代换。换元法为一种重要地数学方法，再多项式地因式分解，代数式地化简计算，恒等式、条件等式或不等式地证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组地求解，函数表达式、定义域、值域或最值地推求， 以及解析几何中地坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程地互化等问题中，都有着广泛地应用。分解因式： (x 22例1-x-3)(x -x-5)-33314144例2再实数集上解方程：xx.例3设 sinx+siny=1 ，求 cosx+cosy 地取值范围2x2y1 ，求函数 f(x,y)=x22例4设 x,y R，且+2xy+y +x+2y 地最小值与最大值。4二、消元法有时可以利用题设条件与某些已知恒等式对于含有多个变数地问题，（代数恒等式或三角恒等式），通过适当地变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。消元法为解方程组地基本方法，再推证条件等式与把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要地应用。用消元法解题，具有较强地技巧性，常常需要根据题目地特点，灵活选择合适地消元方法。45y11例1解方程组：x1x+1=yx-y-z=6 y-z-x=0z-x-y= -121 地正数，若例 2解方程组：ax=by=cz例 3、设a,b,c 均为不等于1x1y1z0第 1 页，共 6 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载求证：abc=1三、待定系数法按照一定规律，先写出问题地解地形式（一般为指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定地未知系数地值，从而得到问题地解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定地未知系数，称为待定系数。确定待定系数地值，有两种常用方法：比较系数法与特殊值法。比较系数法一、比较系数法，为指通过比较恒等式两边多项式地对应项系数，得到关于待定系数地若干关系式（通常为多元方程组） ，由此求得待定系数地值。比较系数法地理论根据，为多项式地恒等定理：两个多项式恒等地充分必要条件为对应项系数相等，nn-1nn-1即 a+anb0x +b1x+b n 地充分必要条件为a0=b 0,x +a1x+a1 =b1,an=b n 。0二、特殊值法特殊值法，为指通过取字母地一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数地若干关系式，由此求得待定系数地值。 特殊值法地理论根据，为表达式恒等地定义：两个表达式恒等，为指用字母容许值集内地任意值代替表达式中地字母，恒等式左右两边地值总为相等地。待定系数法为一种常用地数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数地解析式与圆锥曲线地方程等。例1例2例3设二次函数地图象通过点A （-1 ，0），B （ 7， 0）， C（3， -8），求此二次函数地解析式。x32以 x-1 地幂表示多项式-x +2x+2 。分解因式： 6x22+xy-2y +x+10y-12.四、判别式法实系数一元二次方程ax +bx+c=02(a0)=b2 -4ac 具有以下性质：地判别式0，当且仅当方程有两个不相等地实数根0，当且仅当方程有两个相等地实数根；0，当且仅当方程没有实数根。对于二次函数2y=ax +bx+c(a0) 它地判别式 =b2-4ac 具有以下性质：0，当且仅当抛物线与0，当且仅当抛物线与0，当且仅当抛物线与x 轴有两个公共点；x 轴有一个公共点；x 轴没有公共点。利用判别式为中学数学地一种重要方法，再探求某些实变数之间地关系，研究方程地根与函数地性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线地关系等方面，都有着广泛地应用。再具体运用判别式时，中地系数都可以为含有参数地代数式。x2 +px+q=0 有两正根例1已知关于 x 地二次方程r 0，方程 qx 2求证：对于一切实数+(p-2rq)x+1-p=0 也必有两正根。例2、x,y,zR, a R+，且x+y+z=a,第 2 页，共 6 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载12222x +y +z =a2试确定 x,y,z 地取值范围。xaax例3、已知 a,x 为实数， |a|<2,求函数y=f(x)=地最大值与最小值。2x1从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性地策略作宏观指导，也需要各种具体地方法与技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧与谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临地问题， 获取良好地效果。五、分析法与综合法分析法与综合法源于分析与综合，为思维方向相反地两种思考方法，再解题过程中具有十分重要地作用。再数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果地原因地一种思维方法，而综合被看成为从原因推导到由原因产生地结果地另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。 具体地说，分析法为从题目地等证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设地已知条件；综合法则为从题目地已知条件出发，经过逐步地逻辑推理，最后达到待证地结论或需求问题。例 1：设 a,bR+，且 ab，求证：a33 a22+bb+ab例 2：已知A 1,A 2 ,An 为凸多边形A 1A 2An 地内角，且lgsinA 1+lgsinA 2 +lgsinAn=0，试确定凸多边形地形状。2例 3：设 ， (0,，求a 地取)， x 地一元二次方程f(x)=x +4ax+3a+1=0 地两个根为tg,tg222值范围。六、数学模型法例（哥尼斯堡七桥问题）18 世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河，这条河有两个支流，再城中心汇合后流入波罗地海。市内办有七座各具特色地大桥，连接岛区与两岸。每到傍晚或节假日，许多居民来这里散步，观赏美丽地风光。年长日久，有人提出这样地问题：能否从某地出发，经过每一座 桥一次且仅一次，然后返回出发地？数学模型法，为指把所考察地实际问题，进行数学抽象，构造相应地数学模型，通过对数学模型地研究，使实际问题得以解决地一种数学方法。利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面地工作：（1）建模。根据实际问题地特点，建立恰当地数学模型。从总体上说，建模地基本手段，为数学抽象方法。建模地具体过程，大体包括以下几个步骤：o 考察实际问题地基本情形。分析问题所及地量地关系，弄清哪些为常量，哪些为变量，哪些为已知1量，哪些为未知量；了解其对象与关系结构地本质属性，确定问题所及地具体系统。o 分析系统地矛盾关系。从实际问题地特定关系与具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，2考察主要因素与量地关系。o 进行数学抽象。对事物对象及诸对象间地关系进行抽象，并用有关地数学概念、符号与表达式去刻3画事物对象及其关系。如果现有地数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新地数学概念与数学方法去表现数学模型。（2）推理、演算。再所得到地数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应地数学结果。（3）评价、解释。对求得地数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，返回到原来地实际问题中去，形成最终地解答。例 1：把一根直径为地圆木，加工成横截面为矩形地柱子，问何锯法可使废弃地木料最少？第 3 页，共 6 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载例 2：有一隧道处于交通拥挤、事故易发地段，为了保证安全，交通部门规定，隧道内地车距速 v（千米 /时）地平方与车身长（米）地积，且车距不得小于半个车身长。假定车身长为d 正比于车l（米），当车速为 60（千米 / 时）时，车距为1.44 个车身长，再交通繁忙时，例 3、（ 1998 年保送生综合试题）渔场中鱼群地最大养殖为 达到最大养殖量，必须留出适当地空闲量。已知鱼群地年增长量比，比例系数为K （ K>0 ）应规定臬地车速成，可使隧道地车流量最大？m 吨。为保证鱼群生长空间，实际养殖量不能y 吨与实际养殖量x 吨与空闲地乘积成正（1）（2）写出 y 关于 x 地函数关系式，并指出这个函数地定义域。求鱼群年增长量地最大值。例 4：某公司有资金100 万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投资甲厂可获得地利润为投资额地165x1920%；投资乙厂可获得地利润由公式M=(M 为利润额， x 为投资额，单位均为万元) 确定，问公司如何分配100 万元资金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润为多少？作业：221、 设 x 地二次方程 x -2x+lg(2a -a)=0 有一正根与一负根，求a 地范围。2、（ 1994 年高考题）再测量某物理地过程中，因仪器与观察地误差，使得n 次测量分别得到a1,a2, an共 n 个数据。我们规定所测物理量地“最佳近似值”a 为这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据地差地平方与最小，依此规定，从a1 ,a2 ,an，推出地 a 地值。经营人员不为仅仅根据估计地生产成本来确定塑料鞋地销售价格，3、 塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，而为通过对经营塑料鞋地零售商进行调查，看看再不同地价格下会进多少货。通过一番调查，确定地需求关系为 p=-750x+15000 （ p 为零售商进货地总数量，x 为每双鞋地出厂价） ， 并求得工厂生产塑料鞋固定成本为7000 元，估计生产每双塑料鞋地材料与劳动生产费用为应把每双鞋地出厂价定为多少元？4 元，为了获得最大利润，工厂3 ，深为 6 米地长方体蓄水池，池壁每平方米地造价为a 元，池底每平方米粉4、建筑一个容积为2400 米地造价为 2a 元，则如何建造才能使总造价为最小。4、 某一信托公司，考虑投资1600 万元建造一座涉外宾馆。经预测，该宾馆建成后，每年年底可获利600万元，假设银行每年复利计息，利率为万元（结果保留一位小数）？10%。若需要再三年内收回全部投资，每年至少应该收益多少七、试验法解答数学题，需要多方面地信息。数学中地各种试验，常常能给人以有益地信息，为分析问题与解决 问题提供必要地依据。用试验法处理数学问题时，必须从问题地实际情形出发，结合有关地数学知识，恰当选择试验地对象与范围；再制定试验方案时，要全面考虑试验地各种可能情形，不能有所遗漏；再实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供地信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题地解答。任何试验都与观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目地、有计划、有条理地进行观察。N+上解方程： xy+3x-5y=3例 1：再正整数集2例 2、已知方程x +(m+1)x+2m-1=0 地两个根都为整数，求m 地整数值。k，使得方程kx2例 3、求所有地实数+(k+1)x+(k-1)=0地根都为整数 。八、分类法分类法为数学中地一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维地缜密性，具有十分重要地意义。第 4 页，共 6 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载不少数学问题，再解题过程中，常常需要借助逻辑中地分类规则，把题设条件所确定地集合，分成若干个便于讨论地非空真子集，然后再各个非空真子集内进行求解，直到获得完满地结果。这种把逻辑分类 思想移植到数学中来，用以指导解题地方法，通常称为分类或分域法。用分类法解题，大体包含以下几个步骤：第一步：根据题设条件，明确分类地对象，确定需要分类地集合 第二步：寻求恰当地分类根据，按照分类地规则，把集合An;A ；A 分为若干个便于求解地非空真子集A1 ，A 2，A 1，A 2，An 内逐类讨论；第三步：再子集第四步：综合子集内地解答，归纳结论。以上四个步骤为相互联系地，寻求分类地根据，为其中地一项关键性地工作。从总体上说，分类地主要依 据有：分类叙述地定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系地几何图形，题目中含有某些特殊地 或隐含地分类讨论条件等。再实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强地分类意识，需要思维地灵活lg 2 x2 地实数解，其中性与缜密性，特别要善于发掘题中隐含地分类条件。例 1：求方程alg( xa)为实参数。12例 2： ABC 中， AD BC 于点 D，M 为 BC 地中点，且 B=2 C。求证： DM=AB2|x+2|x+1x+1例 3：解方程：-|2-1|=2+1九、数形结合法数形结合，为研究数学地一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何地内再联系，具有重要地指导意 义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们地数学素养，提高分析问题与解决问题地能力。数与形这两个基本概念，为数学地两块基石。数学就为围绕这两个概念发展起来地。再数学发展地进程中，数与形常常结合再一起，再内容上互相联系，再方法上互相渗透，再一定条件下可以互相转化。数形结合地基本思想，为再研究问题地过程中，注意把数与形结合起来考察，斟酌问题地具体情形， 把图形性质地问题转化为数量关系地问题，或者把数量关系地问题转化为图形性质地问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行地成功方案。中学数学中，数形结合法包含两个方面地内容：一为运用代数、三角知识，通过对数量关系地讨论，去处理几何图形问题；二为运用几何知识，通过对图形性质地研究，去解决数量关系地问题。就具体方法 而论，前者常用地方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用地方法主要为图解法。x例：方程 sinx=解地个数为2A 、1B、2C、 3D、422( x1)( y2)例：已知实数x,y 满足3x+4y-1=0 ，求地最小值。22x2 x178x80 地最小值。例：设 x R，求x例：对每个实数x，记 -x,x2 ,x+2三者中地最大者为F(x) ，求 F(x)及 F(x)地最小值。p 地取值范围例：如果方程 |x2-4x+3|=px 有四个不同地实数根，求十、反证法与同一法反证法与同一法为间接证明地两种方法，再解题中有着广泛地应用。（一）反证法为一种重要地证明方法。这里主要研究反证法地逻辑原理、解题步骤与适用范围。第 5 页，共 6 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成学习必备欢迎下载反证法地解题步骤：第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论地反面为真。 第二步：归谬。由反设与已知条件出发，经过一系列正确地逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说地矛盾结果，通常为指推出地结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。反证法地三个步骤为互相联系地。反设为前提，归谬为关键，存真为目地。只有正确地作出反设，合乎逻 辑地进行推导，才能间接地证出原题。例 1：已知 A 1， A 2，An为凸 n 边形地 n(n>3)个内角。求证：这n 个内角中至多有3 个内角为锐角。例 2：设平面 平面 ，直线 l平面 =A 。求证：直线l 与平面 相交。例 3：求证：方程x=qsinx+a(0<q<1,a R)地解为唯一地。十一、同一法但为， 当一个命题条件与结论都唯一存再，互逆地两个命题未必等效。它们所指地概念为同一概念时，这个命题与它地逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。对于符合同一原理地命题，当直接证明有困难时，可以改证与它等效地逆命题，只要它地逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。同一法常用于证明符合同一原理地几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤：第一步：作出符合命题结论地图形。 第二步：证明所作图形符合已知条件。 第三步：根据唯一性，确定所作地图形与已知图形重合。第四步：断定原命题地真实性。例 1：再 ABC 中， D、E 分别为 AB 、 AC 地中点，求证： DE BC12例 2：矩形 ABCD 中， AB=BC，E 为 AD 上一点，且 DCE=15 。求证： BE=BC 作业：1、已知函数 f(x) 地定义域为 2 ，10，求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a) 地定义域，其中a>0.），且 sin( +)=2sin 。求证： 2、已知 ， （ 0，23、再梯形ABCD中， E 为一腰BC 上地一点，已知AED地面积为梯形ABCD地面积地一半，求证：CE=EB第 6 页，共 6 页