2021年高考数学压轴讲与练 专题09 数列中不等式恒成立问题（原卷版）.doc

专题09 数列中不等式恒成立问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值(范围). 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩【压轴典例】例1(2021新疆高三其他模拟)若是函数的极值点，数列满足，设，记表示不超过的最大整数.设，若不等式对恒成立，则实数的最大值为( )ABCD例2(2020全国高三专题练习)(多选)已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为( )A4B2C0D2【答案】AB例3(2020嘉兴市第五高级中学高三)设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是( )A存在数列为单调递增的等差数列B存在数列为单调递增的等比数列C恒成立D例4(2021江苏高三一模)已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值.例5(2021天津滨海新区高三)已知数列是公差不为0的等差数列，数列是等比数列，且，数列的前n项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和；(3)若对恒成立，求的最小值.例6.(2019浙江高考真题)设等差数列的前项和为，数列满足：对每成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)记 证明：例7.(2019江苏高考T20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列an(nN*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列an为“M-数列”.(2)已知数列bn(nN*)满足:b1=1,1Sn=2bn-2bn+1,其中Sn为数列bn的前n项和.求数列bn的通项公式.设m为正整数,若存在“M-数列”cn(nN*),对任意正整数k,当km时,都有ckbkck+1成立,求m的最大值.例8.(2020河北石家庄高考模拟)已知等比数列满足，且是的等差中项.求数列的通项公式；若 ，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围.例9.(2020江苏镇江高考模拟)已知在数列an中，设a1为首项，其前n项和为Sn，若对任意的正整数m，n都有不等式S2m+S2n2Sm+n(mn)恒成立，且2S6S3(1)设数列an为等差数列，且公差为d，求的取值范围；(2)设数列an为等比数列，且公比为q(q0且q1)，求a1q的取值范围例10.(2020山东高考模拟)已知单调等比数列中，首项为 ，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件() 求数列、的通项公式；() 设 ,记数列的前项和 .求 ;求正整数，使得对任意，均有 .【压轴训练】1(2021全国高三专题练习)已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为( )A3B4C5D62(2020江西高三其他模拟)已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为( )A1B2CD3(2020全国高三月考)若数列的前项和为，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为( )ABCD4(2020湖南常德市一中)(多选)设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是( )A公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B已知，则是间隔递增数列C已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则5(2021浙江丽水市高三)已知数列的前n项和是，时，(1)求数列的通项公式；(2)设，求证：对任意的，不等式成立6(2021浙江温州市温州中学高三)已知数列的前项之积满足条件：是首项为2的等差数列：(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，其前项和为求证：对任意正整数，都有7. (2020临川一中实验学校)已知正项数列的前项和为，满足(1)求数列的通项公式；(2)已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；8(2019重庆一中高三)设函数，对于，都有成立.()求实数的取值范围；()证明：(其中是自然对数的底数).9.(2020年陕西高三)已知数列 的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .()若 成等差数列，求的通项公式；()设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.10. 设函数(1)求函数的极值点；(2)当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；(3)证明：11.(2020浙江杭州高三)已知无穷数列的首项， .()证明： ；() 记， 为数列的前项和，证明：对任意正整数， .12.(2020河南高考模拟)已知数列的前项和为，等差数列满足，()求数列，的通项公式；()证明：.13(2020浙江高三月考)已知数列的前项和为，且，数列满足，.(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.14(2020湖北武汉市华中师大一附中高三)已知数列的各项为正，且，是公比为的等比数列.再从：数列的前项和满足：数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列这两个条件中任选一个，解答下列问题.(1)求数列，的通项公式；(2)令，设的前项和为若对恒成立，求实数的取值范围.15(2020沙坪坝区重庆八中高三)已知数列的前项和为，数列满足：，数列为等差数列(1)求与的通项公式；(2)设，数列的前项和为若对于任意均有，求正整数的值