2021年高考数学压轴讲与练 专题08 数列中的最值问题（解析版）.doc

专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值【压轴典例】例1.(2020北京高考T8)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项【解析】选B.设公差为d,因为a1=-9,a5=a1+4d=-1,所以d=2,所以a1,a5<0,a6,>0,所以T1<0,T2>0,T3<0,T4>0,T5<0,以后都小于0,且越来越小.例2(2021山西运城市高三期末)设首项为1的数列的前n项和为，且，若，则正整数m的最小值为( )A14B15C16D17【答案】C【详解】当为奇数时，所以，又，所以成等比数列，公比为2，即，当为偶数时，所以，又，所以成等比数列，公比为2，即，所以，所以满足的正整数m的最小值为16例3(2021新疆高三其他模拟)若是函数的极值点，数列满足，设，记表示不超过的最大整数.设，若不等式对恒成立，则实数的最大值为( )ABCD【答案】D【详解】，即有，是以2为首项3为公比的等比数列，又为增函数，当时，若恒成立，则的最大值为1010.例4(2021全国高三其他模拟)数列满足：，若数列的前项和，则最小为( )A6B7C8D9【答案】B【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，解得，例5.(河南省开封市2020高三)已知等比数列an满足：a1=4，Sn=pan+1+m (p>0)，则p-1m取最小值时，数列 an的通项公式为( )Aan=43n-1Ban=34m-1Can=2n+1Dan=4n【答案】A【解析】设等比数列an的公比为q，当n=1时，a1=pa2+m，则a2=4-mp q=a2a1=4-m4p当n2时，Sn=pan+1+m，Sn-1=pan+m，两式相减得：(1+p)an=pan+1，即q=an+1an=1+pp，1+pp=4-m4p，解得m=-4p，又p-1m=p+14p2p14p=1，当且仅当p=12时，等号成立.p-1m取最小值1时，q=1+1212=3，an=a1qn-1=43n-1例6.(安徽省黄山市2020高三)已知数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且an>0，6Sn=an2+3an-4(nN*)，bn=1(an-1)(an+1-1)，若对任意的nN* ，k>Tn恒成立，则k的最小值为 ( )A13B19C112D115【答案】B【解析】因为6Sn=an2+3an-4，所以6Sn+1=an+12+3an+1-4，相减得6an+1=an+12+3an+1-an2-3an，因为an>0，所以an+1-an=3，又6S1=a12+3a1-4，所以6a1=a12+3a1-4, 因为a1>0，所以a1=4,因此an=3n+1，bn=1(an-1)(an+1-1)=19n(n+1)=19(1n-1n+1),从而Tn=191-1n+1<19, k19,即k的最小值为19.例7.(广西柳州市2020高三)已知点n，an在函数fx=2x-1的图象上(nN*).数列an的前n项和为Sn，设bn=log2Sn+164，数列bn的前n项和为Tn.则Tn的最小值为_【答案】-30【解析】点n,an在函数y=2x-1图象上，an=2n-1,an是首项为a1=1，公比q=2的等比数列，Sn=11-2n1-2=2n-1，则bn=log22n64=2n-12，bn是首项为-10，公差为2的等差数列，当bn0，即n6时，Tn最小，即Tn最小值为T6=-106+6522=-30.例8.(2019天津高考模拟)已知数列是正项等比数列，,数列满足条件.() 求数列、的通项公式；() 设,记数列的前项和.求； 求正整数，使得对任意，均有.【答案】(1)，(2) .【解析】(1)设数列是正项等比数列的公比为，因为，所以有，所以(2)因为 ，所以，令，由于比变化的快，所以，得，即,递增而递减，是最大，即当时，对任意，均有.例9(2021广西南宁市南宁三中高三)根据预测，疫情期间，某医院第天口罩供应量和消耗量分别为和(单位：个)，其中，第天末的口罩保有量是前天的累计供应量与消耗量的差(1)求该医院第天末的口罩保有量；(2)已知该医院口罩仓库在第天末的口罩容纳量(单位：个)设在某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？【答案】(1)；(2)第天末，口罩保有量达到最大超过了.【详解】(1)第天末的口罩保有量是前天口罩供应量和消耗量之差，将代入和得第天末的口罩保有量为：，所以该医院第天末的口罩保有量为；(2)当时，保有量始终增加.即，为正整数，解得，即第天末的时候，保有量达到最大，此时，而容纳量为，而，所以保有量超过了容纳量.例10.(2019江苏高考真题)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”.(1)已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；(2)已知数列bn满足:，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有成立，求m的最大值【答案】(1)见解析；(2)bn=n；5.【解析】(1)设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由，得，解得因此数列为“M数列”.(2)因为，所以由得，则.由，得，当时，由，得，整理得所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n.由知，bk=k，.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有设f(x)=，则令，得x=e.列表如下：xe(e，+)+0f(x)极大值因为，所以取，当k=1，2，3，4，5时，即，经检验知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5【压轴训练】1(2021陕西西安市西安中学高三)在等差数列中，且，则在中，n 的最大值为( )A17B18C19D20【答案】C【详解】设公差为，则，即，则时，n 的最大值为19.2(2021全国高三专题练习)已知数列an的前n项和为Sn=2n+1+m,且a1，a4，a5-2成等差数列,bn=数列bn的前n项和为Tn,则满足Tn,>的最小正整数n的值为A11B10C9D8【答案】B【解析】根据可以求得，所以有，根据成等差数列，可得，从而求得，所以满足，从而求得，所以，所以，令，整理得，解得，故选B.3(2021全国高三其他模拟)已知数列满足设，为数列的前项和若(常数)，则的最小值是( )ABCD【答案】C【详解】 当时，类比写出 ，由-得 ，即.当时， -得，(常数)，的最小值是4(2021安徽安庆市高三)已知等差数列满足，则数列的最大项为( )ABCD【答案】C【详解】因为数列是等差数列，所以，解得，则，因为，当且仅当时等号成立，所以当时，当时，故数列的最大项为，5(2021北京高三开学考试)等差数列的前项和为.已知，.记，则数列的( )A最小项为B最大项为C最小项为D最大项为【答案】C【详解】由题意，设等差数列的公差为，因为，可得，所以，则，可得，所以，可排除A、D；设，则，因为，所以，所以在区间和上都是单调递增函数，即当时，数列为递增数列，当时，数列也为递增数列，其中，例如当时，可得，所以B不正确，C正确.6(2021江西高三其他模拟)在等差数列中，.记，则数列( )A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】C【详解】依题意可得公差，所以当时，当时，因为，又当时，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项.7(2019北京师大附中高考模拟)已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an，使得aman=16a12，则+的最小值为()ABCD不存在【答案】C【解析】设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1(舍去)，因为aman=16a12，所以=16a12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以 .当且仅当时取等号，此时，解得，因为mn取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m=2、n=4时，取最小值为，8.(2020山东枣庄八中高三)已知数列的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为()A3B4C5D6【答案】B【解析】根据题意，数列满足，当时，得，当时，即，所以， 又满足上式，即 是以2为公比，1为首项的等比数列，则，则，则数列是以1为首项，4为公比的等比数列，则，若，则有，变形可得：，又由，则，即n的最大值为4；9(2021安徽高三开学考试)已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且，使不等式成立，则实数的最大值是_.【答案】【详解】因为，所以就是，.等差数列的首项，公差.因为一般项，所以原式.即.所以存在，使成立，又易知为递减数列，故当时，有最大值，故.故实数的最大值是.10.(2020江苏高考模拟)已知正项等比数列的前项和为若，则取得最小值时，的值为_【答案】【解析】由，得：q1，所以，化简得：，即，即，得，化简得，当，即时，取得最小值，所以11.(2020广东高考模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=10，S8=36，当nN*时，的最大值为_【答案】【解析】由题意，等差数列的前n项和为，若，设首项为，公差为，则 ，解得，所以，所以，则，当取最小值时，取最大值，结合函数的单调性，可得当或时，12.(2019福建高考模拟(理)在数列中，若，则的前项和取得最大值时的值为_【答案】【解析】解法一：因为所以，得即，所以数列为等差数列在中，取，得即，又，则，所以因此，所以，所以， 又，所以时，取得最大值解法二：由，得，令，则，则，即，代入得，取，得，解得，又，则，故所以，于是由，得，解得或，又因为，所以时，取得最大值13(2021山东菏泽市高三期末)已知数列的前项和是.(1)求数列的通项公式；(2)记，设的前项和是，求使得的最小正整数【答案】(1)；(2)1011.【详解】(1)，当时，符合上式，所以(2)，令，解得，所以最小正整数为1011.14(2021广东韶关市高三一模)已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25.(1)求的值及通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，()；(2).【详解】(1)由题可得，所以当为偶数时，解得；当为奇数时，此时无整数解.综上可得：，.时，.当时，当时也成立.综上可得：所以，()(2)两式相减得：则.则.15(2021江西吉安市高三期末)已知是公差不为0的等差数列，若是等比数列的连续三项(1)求数列的公比；(2)若，数列的前和为且，求的最小值【答案】(1)5；(2)50.【详解】(1)设等差数列的公差为，由是等比数列的连续三项，得，即，化简得 设数列的公比的公比为，则 (2)若，则， 由，得，故的最小值为50