2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题7.3 基本不等式（教师版含解析）.docx

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题7.3 基本不等式目录一、考点全归纳1题型 一利用基本不等式求最值2类型二通过常数代换利用基本不等式求最值3类型四多次利用基本不等式求最值5类型一与其他知识的交汇问题6题型三 基本不等式在实际问题中的应用9三、高效训练突破11一、考点全归纳1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab(a，bR)(4)(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数常用结论已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)二、题型全归纳题型 一利用基本不等式求最值【题型要点】(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式(2)常数代换法，主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法类型一通过配凑法利用基本不等式求最值【例1】(1)已知0<x<1，则x(43x)取得最大值时x的值为_(2)函数y(x>1)的最小值为_【答案】(1)(2)22【解析】(1)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号(2)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立类型二通过常数代换利用基本不等式求最值【例2】若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A8 B6 C4 D2【答案】C【解析】由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4，故选C.【例3】(2020北京师大附中模拟)已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an，使得aman16a，则的最小值为()A. B. C. D不存在【答案】C【解析】设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7a62a5得a6qa6，化简得，q2q20，解得q2或q1(舍去)，因为aman16a，所以(a1qm1)(a1qn1)16a，则qmn216，解得mn6，所以(mn).当且仅当时取等号，此时解得因为m，n取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，则，验证可得，当m2，n4时，取得最小值为.类型三通过消元法利用基本不等式求最值【例4】已知x>0，y>0，x3yxy9，则x3y的最小值为_【答案】6来源:学科网ZXXK【解析】法一：由已知得x3y9xy，又因为x>0，y>0，所以x3y2，所以3xy，当且仅当x3y时，即x3，y1时取等号，(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，则t>0且t212t1080，得t6即x3y6.法二：由x3yxy9，得x，所以x3y3y3(1y)6261266.当且仅当3(1y)，即y1时等号成立所以x3y的最小值为6.类型四多次利用基本不等式求最值【例5】若a，bR，ab>0，则的最小值为_【答案】4【解析】因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.题型二 基本不等式的综合应用【题型要点】基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 类型一与其他知识的交汇问题【例1】(1)已知直线axbyc10(b，c>0)经过圆x2y22y50的圆心，则的最小值是_(2)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_【答案】(1)9(2)【解析】(1)圆x2y22y50化成标准方程，来源:学科网ZXXK得x2(y1)26，所以圆心为C(0，1)因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)5.因为b，c>0，所以24.当且仅当b2c，且bc1，来源:Zxxk.Com即b，c时，取得最小值9.(2)ana1(n1)dn，Sn，所以(n1)，当且仅当n4时取等号所以的最小值是.【例2】(2020昆明模拟)如图，在矩形ABCD中，已知AB4，AD3，点E，F分别在BC，CD上，且EAF45.设BAE，当四边形AECF的面积取得最大值时，则tan_.【答案】1【解析】在直角三角形ABE中，可得BE4tan(0<tan<1)，在直角三角形ADF中，DF3tan(45)，可得四边形AECF的面积S1244tan33tan(45)128tan208(1tan)8(1tan)212，当且仅当8(1tan)，即tan1，且满足0<tan<1，则四边形AECF的面积取得最大值类型二求参数的值或取值范围【例3】已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_【答案】4【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a>0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，所以(1)29恒成立所以a4.【例4】(2020河南平顶山一模)若对任意x>0，a恒成立，则a的取值范围是()Aa Ba Ca Da【答案】A【解析】因为对任意x>0，a恒成立，所以对x(0，)，amax，而对x(0，)，当且仅当x1时等号成立，所以a.故选A.题型三 基本不等式在实际问题中的应用【题型要点】利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解 【例1】(2020湖北七市(州)教科研协作体联考)如图，将1张长为2 m，宽为1 m的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为_ m3.【答案】【解析】设长方体底面边长为x m，宽为y m，高为z m，如图所示，则解得x1y，z1y.所以该长方体的体积为xyzy(1y)(1y)2y(1y)(1y)3，当且仅当2y1y，即y时，等号成立故此长方体体积的最大值为 m3.【例2】(2020成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元【答案】220【解析】设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2(k20)，工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，k15，k220，运费与仓储费之和为万元，5x220，当且仅当5x，即x2时，运费与仓储费之和最小，为20万元题型四 利用均值定理连续放缩求最值【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法 【例1】已知a>b>0，那么a2的最小值为_【答案】4【解析】因为a>b>0，所以ab>0，所以b(ab)，所以a2a224，当且仅当bab且a2，即a且b时取等号，所以a2的最小值为4.【例2】设a>b>0，则a2的最小值是_【答案】4【解析】因为a>b>0，所以ab>0，所以a2(a2ab)ab224(当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号)三、高效训练突破一、选择题1(2020广西钦州期末)已知a，bR，a2b215ab，则ab的最大值是()A15 B12 C5 D3【答案】C.【解析】：因为a2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，当且仅当ab时等号成立所以ab的最大值为5.故选C.2(2020揭阳模拟)设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2成立的条件是ab0，所以“a2b22ab”是“2”成立的必要不充分条件3已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】由题意知ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44，当且仅当ab1时取等号，故mn的最小值为4.4(2020郑州外国语学校月考)若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg ，则()ARPQ BQPR来源:学科网ZXXKCPQR DPRQ【答案】C【解析】因为ab1，所以lg a0，lg b0，且lg alg b，所以(lg alg b)，由，得lglg .所以(lg alg b)lg ，综上知PQR.5若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.【答案】C【解析】由x>0，y>0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.6若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2 C2 D4【答案】C.【解析】：因为，所以a0，b0，由22，所以ab2(当且仅当b2a时取等号)，所以ab的最小值为2.7(2020湖南衡阳期末)已知P是面积为1的ABC内的一点(不含边界)，若PAB，PAC和PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是()A. BC. D3【答案】D.【解析】：因为xyz1，0<x<1，0<y<1，0<z<1，所以1213，当且仅当，即x时等号成立，所以的最小值为3.故选D.8已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9 B12 C18 D24【答案】B.【解析】：由，得m(a3b)6.又62612，当且仅当，即a3b时等号成立，所以m12，所以m的最大值为12.9(2020湖北恩施2月教学质量检测)已知角，的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且2，则b的最小值为()A1 B C. D2【答案】C.【解析】：由已知得，a>0，b>0，tan a，tan ，因为2，所以tan tan 2，所以a，所以bb2，当且仅当，即b时，取等号故b的最小值为.10几何原本第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为()A.(a0，b0) Ba2b22ab(a0，b0)C.(a0，b0) D. (a0，b0)【答案】D【解析】由图可知OFAB，OC.在RtOCF中，由勾股定理可得CF.CFOF，(a0，b0)故选D.来源:学科网ZXXK11(2020江淮十校模拟)已知函数f(x)|ln (x1)|，若f(a)f(b)，则a2b的取值范围为()A(4，) B32，)C6，) D(4,32【答案】B【解析】函数f(x)|ln (x1)|，f(a)f(b)，且x>1，不妨设a<b，则1<a<2<b.ln (a1)ln (b1)，b1，b1，a2ba2a133232，当且仅当a1取等号，a2b的取值范围是32，)12.(2020河北石家庄模拟)若a，b是正数，直线2axby20被圆x2y24截得的弦长为2，则ta取得最大值时a的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为圆心到直线的距离d，则直线被圆截得的弦长L222，所以4a2b24.则ta(2a)(2a)2()28a212(44a2)，当且仅当时等号成立，此时a，故选D.二、填空题1.(2020江西吉安期末)已知函数f(x)，则f(x) 的最大值为_【答案】：1【解析】：设tsin x2，则t1，3，则sin2x(t2)2，则g(t)t4(1t3)，由“对勾函数”的性质可得g(t)在1，2)上为减函数，在(2，3上为增函数，又g(1)1，g(3)，所以g(t)maxg(1)1.即f(x)的最大值为1.2已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_【答案】：2【解析】：依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又恒成立，因此有2，即的最小值为2.3(2020安徽合肥第二次教学质量检测)若ab0，则a2b2的最小值为_【答案】：【解析】：a2b22，当且仅当ab2时，a2b2取得最小值.4当xR时，32x(k1)3x2>0恒成立，则k的取值范围是_【答案】：(，21)【解析】：由32x(k1)3x2>0，解得k1<3x.因为3x2，所以3x的最小值为2.又当xR时，32x(k1)3x2>0恒成立，所以当xR时，k1<，即k1<2，即k<21.5.(2020河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0，y>0，且1，则xyxy的最小值为_【答案】：74【解析】：因为1，所以xyy2x，xyxy3x2y(3x2y)774(当且仅当yx，即x1，y2时取等号)所以xyxy的最小值为74.6.(2020陕西榆林摸底)已知正数x，y满足x2y21，则当x_时，取得最小值，最小值为_【答案】2【解析】由基本不等式可得x2y22xy，当且仅当xy时等号成立正数x，y满足x2y21，xy，当且仅当xy时等号成立22，当且仅当xy时等号成立，的最小值为2.7当0m时，若k22k恒成立，则实数k的取值范围为_【答案】2,4【解析】因为0<m<，所以2m(12m)2，当且仅当2m12m，即m时取等号，所以8，又k22k恒成立，所以k22k80，所以2k4.所以实数k的取值范围是2,48(2020天津一中高考模拟)已知关于x的不等式x25ax2a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是_【答案】【解析】由于a>0，故一元二次方程x25ax2a20的判别式25a242a217a2>0，由根与系数的关系，得则x1x25a5a2，当且仅当5a，a时等号成立综上可得x1x2的最小值是.三 解答题1.已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值【答案】见解析【解析】：(1)由2x8yxy0，得1，又x>0，y>0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12，y6时等号成立，所以xy的最小值为18.2.已知x>0，y>0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值【答案】见解析【解析】：(1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x5y2.因为2x5y20，所以220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)因为x>0，y>0，所以.当且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.3某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m0)万元满足x3(k为常数)如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【答案】见解析【解析】：(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，所以13kk2，所以x3(m0)，每件产品的销售价格为1.5(元)，所以2020年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)因为m0时，(m1)28，所以y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元