2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (全国卷III) 解析版.doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试（III卷） 理科数学一、选择题1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A.B.C.D.答案：C解答：，有个元素，故选C.2.复数的虚部是（ ）A.B.C.D.答案：D解答：，故选D.3.在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A.，B.，C.，D.，答案：B解答：根据每个选项中都有，且，各选项中样本平均值相等，都为，数值离其平均值之间的差异越大，标准差越大.显然，B选项中，大部分数值与平均值之间的差异较大，选B.4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（）A.B.C.D.答案：C解答：令，.5.设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）A.B.C.D.答案：B解答：不妨设，解得，故抛物线的方程为，其焦点坐标为.6.已知向量，满足，则（ ）A.B.C.D.答案：D解答：由，又，所以，故选D.7.在中，则（ ）A.B.C.D.答案：A解答：由余弦定理可知：，可得，又由余弦定理可知.故选A.8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.B.C.D.答案：C解答：由题可知该几何体是如图所示三棱锥，底面为等腰直角三角形，侧棱底面，其表面积为：，故选C.9.已知，则（ ）A.B.C.D.答案：D解答：由题可知，化解得：，解得.故选D.10.若直线与曲线和圆都相切，则的方程为（ ）A.B.C.D.答案：D解答：由得，假设直线与曲线相切于点，则直线的方程为，即.由直线与圆相切知，解得，故直线的方程为，即.11.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.是上一点，且.若的面积为，则（ ）A.B.C.D.答案：A解答：法一：设，则，可得，又，求得.法二：由题意知双曲线的焦点三角形面积为.所以，解得，又因为，所以.12.已知，.设，则（ ）A.B.C.D.答案：A解答：易知，由知，因为，所以，即，又因为，所以，即，综上所述：.故选：A.二、填空题13.若，满足约束条件，则的最大值为_.答案：解答：作出可行域如图所示，由知，由图可知，当目标函数过点时，取得最大值，即.14.的展开式中常数项是_（用数字作答）.答案：解答：因为，由得，所以常数项为.15.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为_.答案：解答：分析知圆锥内半径最大的球的应为该圆锥的内切球，如下图，由题可知该圆锥的母线长为，底面半径为，高为，不妨设该内切圆与母线切于点，令，则由，可得，即得，此时.16.关于函数.的图像关于轴对称；的图像关于原点对称；的图像关于直线对称；的最小值为.其中所有真命题的序号是_.答案：解答：对于，由可得函数的定义域为，故定义域关于原点对称，由，所以该函数为奇函数，关于原点对称，错对；对于，所以关于对称，对；对于，令，则，由双勾函数的性质，可知，所以无最小值，错.三、解答题17.设数列满足，.（1）计算.猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和.答案：见解析解答：（1）由，猜想的通项公式为.利用数学归纳法证明：（i）当时，显然成立；（ii）假设时猜想成立，即，则时，所以时猜想也成立，综上（i）（ii），所以.（2）令，则，由得，化简得.18.某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分別估计该市一天的空气质量等级为的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据.完成下面的列联表.并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，.答案：见解析解答：（1）根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为的概率为该市一天的空气质量等级为的概率为，该市一天的空气质量等级为的概率为，该市一天的空气质量等级为的概率为.（2）由题意，计算得，即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为.（3）列联表如下：由表中数据可得：，所以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体中，点，分别在棱，上且.（1）证明：点在平面内：（2）若，求二面角的正弦值.答案：见解析解答：（1）在上取一点，使得，分别连接，.在长方体中，有，且，又，所以，所以四边形和四边形都是平行四边形.所以且，且，又在长方体中，有，且，所以且，则四边形为平行四边形，所以，所以，所以点，在平面内.（2）在长方形中，以为原点，所在直线为轴，的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，设平面的一个法向量为，则，取法向量，设平面的一个法向量为，则，取法向量，所以，设二面角为，则，即二面角的正弦值为.20.已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点.（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积.答案：见解析解答：（1），的方程：.（2）设直线：，与椭圆联立可得：.设，则，.，直线：.令，.，或.根据椭圆的对称性，只需讨论和的情况，当时，.，直线.即：.点到直线的距离，.当时，直线，即，点到直线的距离，.综上.21.设函数，曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求；（2）若有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于.答案：见解析解答：（1），又曲线在点处的切线与轴垂直， ，解得.（2）设为的一个零点，且，由题意可知，令，则，此时，单调递减；，单调递增；，单调递减，则，此时，再设为的零点，则，整理得，解得，则的所有零点的绝对值都不大于.四、选做题（2选1）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数且），与坐标轴交于两点.（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.答案：见解析解答：（1）当时,求得或（舍）代入中,求得;当时,求得或（舍）代入中,求得,所以曲线与坐标轴交于和,.（2）由（1）得直线过点和,所以直线的解析式为,故直线的极坐标方程为.23.设，.（1）证明：；（2）用表示，的最大值，证明：.答案：见解析解答：（1），.（2），即：，则.不妨设为，则，即，第 16 页 共 16 页