2021七年级数学下册 5.3 简单的轴对称图形深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）北师大版.pdf
简单的轴对称图形学 习 目 标 导 航能判断图形是否是轴对称图形能说出角的平分线的性质、线段的垂直平分线的性质能解释并区分等腰三角形的性质定理、三线合一定理、判定定理教 材 知 识 详 析要点有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等腰三角形各部分名称如图 所示图 等腰三角形的特征:()等腰三角形是轴对称图形;()等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称三线合一),它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴;()等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);()如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等(等角对等边)图 例如图,在A B C中,ADB C于点D请你再添加一个条件,就可以确定A B C是等腰三角形你添加的条件是精析:本题是探索条件类,只要根据结论(等腰三角形)添加使之成立的条件即可,答案不唯一,按照等腰三角形的条件可以添加线段相等,也可以添加角相等解答:添加的条件可以是B DC D(或B ADC AD)的其中之一本题是添加条件型的创新题,本题重点考查了等腰三角形的判定和性质,要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件,有一定的开放性和思考性这种类型的题目开放程度尚可,能激起同学们的挑战欲望和创新热情,实属一道“人人能达到”的好题要点三边都相等的三角形是等边三角形,也叫做正三角形(重点)等边三角形的特征:()具有等腰三角形的一切特征;()等边三角形每条边上都具有三线合一的特征,它们都是等边三角形的对称轴;()等边三角形的三个内角都相等,都等于 例如图,A B C为等边三角形,A EB C,垂足为E,则下列结论中,正确的个数是()图 A BA CB C;B A CBC ;线段A E是A B C的对称轴;线段A E是B A C的角平分线A B C D 精析:一个图形的对称轴应是直线而不是线段本题反复运用了等边三角形是轴对称图形这一性质解答:C线段A E垂直平分线段B C,且平分B A C要点等腰三角形与等边三角形的比较图形定义性质等腰三角形有两边相等的三角形()两腰相等,两底角相等;()顶角 底角;()顶角平分线、底边上的中线和高线三线合一;()是轴对称图形,有条对称轴等边三角形(正三角形)三边都相等的三角形()三边相等,三个内角相等,且每个内角都等于 ;()是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的性质;()是轴对称图形,有条对称轴要点线段是轴对称图形,它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它,这样的直线叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线)线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等例下列说法中,正确的是()A 设A、B关于直线MN对称,则A B垂直平分MNB 如 果A B C A B C,那 么 一 定 存 在 一 条 直 线MN,使A B C与A B C 关于MN对称C MN上的一点关于直线MN的对称点就是它本身D 两个图形关于MN对称,则这两个图形分别在MN的两侧精析:数学语言的叙述要求准确、正确直线可以是线段的垂直平分线,反过来说就是错误的轴对称与全等的关系要分清对一个新的概念理解时一定要弄清楚解答:C两个点关于某条直线对称,那么这条直线(对称轴)是这两点所连线段的垂直平分线根据轴对称的定义“把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,”并没有要求图形在直线的一侧或不能有边与直线重合要点角平分线定理、线段垂直平分线定理的应用例如图 是一个小型的台球桌,四角分别有A、B、C、D四个球筐,桌面可以分成 个正方形的小区域,如果在点P处的球,沿着P Q的方向撞击点Q的球,那么点Q处的球最后落在筐中图 图 精析:解答本题的关键在于理解小球的入射线和撞击后的反弹线是关于过桌框反点的垂直线对称的特点,去探究小球的运行路线,从而确定小球最后落入哪个筐中本题依据轴对称的性质,可找到小球最后落入哪个筐中由于小球的入射线和撞击后的反弹线是关于过桌框反点的垂直线对称的,所以据此可得其反弹后的运行路线如图 所示故球最后落在C筐中解答:C例工人师傅埋完电线杆后用两根等长的拉线把电线杆固定住(如图 ,A BA C),但有人说看上去电线杆有点斜请你帮助工人师傅测一下电线杆是否倾斜,简要说明理由图 精析:本题应用了等腰三角形性质中的“三线合一”如果B DD C,那么AD一定是A B C底边上的高线解答:测一下B D和D C的长度,只要B DC D,必有A DB C,否则电线杆倾斜将实物建立数学模型很关键,现实中大量建筑均利用了对称性例有公路l同侧、l异侧的两个城镇A、B,如图 电信部门要修建一座信号发射塔,按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l,l的距离也必须相等,发射塔C应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点,注明点C的位置(保留作图痕迹,不要求写出画法)图 精析:根据题意,点C应满足两个条件,一是在线段A B的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点解答:()作两条公路夹角的平分线O D或O E;()作线段A B的垂直平分线F G;则射线O D、O E与直线F G的交点C、C就是所求的位置如图,点C、C就是所求的位置图 此题考查了作图在实际生活中的应用,本题的关键是:角平分线、线段垂直平分线作法的运用;对题意的正确理解拉 分 典 例 探 究例(要点)某城区规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A、B、C(如图 所示)之间修建购物商场试问:该购物商场建在何处才能使三个住宅小区的居民到购物商场的距离相等?图 图 精析:根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,本题实际上就是要找一个点,使它到三角形的三个顶点的距离相等解答:如图 所示,首先考虑到A、B两点距离相等的点应在线段A B的垂直平分线D E上,再考虑到B、C两点距离相等的点应在线段B C的垂直平分线FH上,FH与D E相交于点M由于点M在线段A B的垂直平分线D E上,所以MAMB;又由点M在线段B C的垂直平分线FH上,所以MBMC所以MAMBMC故点M处就是购物商场所要建的地点归纳演绎:在实际问题中,常常会用到线段的垂直平分线,有时会与角的平分线联手,主要用于图形的设计在处理这类问题时一定要注意:凡是找到某两点的距离相等的点,则要在这两点所连线段的垂直平分线上找;凡是找到某两条不平行的直线的距离相等的点,则要在这两直线所成的角的平分线上找例(要点)如图 ,把一个长方形纸片沿E F折叠后,点D、C分别落在点D、C 位置,若E F B ,则A E D 的度数是多少?图 精析:轴对称的性质在折叠中有着重要的作用,而折叠问题又隐含着角相等、线段相等的条件,这是解决问题的关键解答:由轴对称性质,知又ADB C,E F B A E D 技法规律:根据折叠常识知四边形F C D E与四边形F C D E是全等形例(要点)如图 ,某一夏令营队要从A地穿过草地去B地,途中需要到河边MN去加水请问:在河边的哪一个点加水,才能使行程路线最短?图 精析:本题转化为数学模型就是:已知直线MN和直线MN的同侧两点A、B试在直线MN上确定一个点O,并且使A OO B最短解答:作法:()作点A关于直线MN的对称点A;()连接AB,交直线MN于点O,如图 ,则点O就是所求的点探索发现:轴对称的性质在实际生活中经常用到,关键是如何建立相应的几何模型,再利用几何知识来解决在具体运用中,通常会结合“两点之间线段最短”或“三角形中任意两边之和大于第三边”来解决问题例(要点)一轮船由南向北航行,在A处测得小岛P在西偏北 方向上,小时后,轮船在B处测小岛P在西偏北 方向上,在小岛周围 海里内有暗礁,若轮船仍按 海里/时的速度向前航行,有无触礁的危险精析:利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题,关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来解决图 解答:根据题意画出图 ,则A B (海里)过点P作P CA B,垂足为C,由 题中 分别 在点A、点B测 得方 位角 可 知P A B ,P B C A P BP B CP A C P A BA P BP BA B(海里)(等角对等边)在R t B P C中,P B C ,P CA C,P CP B (海里)就是说,点C距小岛P只有 海里,而小岛P的周围 海里的范围内有暗礁,所以该船向北航行有触礁的危险探索发现:要注意能将实际问题中“方位角”用数学中的图形语言准确表示出来,数学来源于生活,又服务于生活例(要点)如图 所示,在四边形A B C D中,A BB CC DDA,A ,请你设计三种不同的方法,将四边形A B C D分割成四个三角形,使得每个三角形都是等腰三角形(画图工具不限,要求画出分割线段,标出能够说明分法所得三角形内角的度数,没有标出能够证明分法所得三角形内角度数的不给分;不要求写出画法,不要求证明)注:两种方法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的方法图 精析:本题是一道综合题,不仅考查学生的画图能力,更重要地是考查学生如何利用已知的知识去处理问题,从不同角度去探索结果因为四边形A B C D四条边相等,每条对角线所在直线是它的对称轴,所以连接对角线就能把对角一分为二,且得两个完全相同的等腰三角形,考虑A ,故可从连接对角线A C开始来处理,当然也可以从某一个顶点出发来考虑解答:连接A C,得D A CB A CD C AB C A ,所以可在A C上取一点E,使A EADA B,得图 ();或在A C上取两点E、F,使E D AF D C ,得图 ();或在A C上取G、H,使G B A ,HD C ,得图 ();或从顶点D出发作MD AND C ,点M在A B上,点N在B C上,连接MN,得图 ()图 探索发现:本题的答案不仅仅只有四种,最主要的要抓住题意与等腰三角形的识别来思考,抓住条件中A ,可考虑顶角为 ,底角为 的等腰三角形,也可考虑顶角为 ,底角为 ,甚至可考虑底角为 或 ,请你写出与答案不相同的情况,并与同学讨论误 区 警 醒【误区】等腰三角形“三线合一”性质误解等腰三角形有三条高,三条中线,三条角平分线,并非所有的线都重合,只有等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高才重合,要防止出现“等腰三角形角平分线、中线、高重合”这样错误命题的出现例如图 ,在A B C中,A BA C,B DA C,垂足为D,A ,求D B C图 错解:在A B C中,A BA C,A ,A B C B DA C,D B CA B C (三线合一)正解:在A B C中,A BA C,A ,A B CA C B B DA C,垂足为D,D B C A C B 警醒:对于三线合一,是指底边上高,底边上中线和顶角平分线互相重合【误区】考虑不全,容易漏解例如图 所示,三条马路交于A、B、C三点,且A B C构成一个等边三角形,现要建一个加油站,使加油站到三条马路的距离相等,请你在图中确定该建站地点图 错解:如图 ,在三条线段的垂直平分线的交点上,即点P图 正解:如图 所示有四处,点D、点E、点F、点P处图 警醒:由线段垂直平分线性质可知P AP BP C,但显然尚漏掉了几处知 能 提 升 训 练夯基固本(要点)用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出哪些图形(至少写出两个)(要点)如图,点P在A O B的内部,点M、N分别是点P关于直线O A、O B的对称点,线段MN交O A、O B于点E、F,若P E F的周长是 c m,则线段MN的长是(第题)(要点)等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是(要点)等边三角形的对称轴是,有条对称轴(要点)在R t A B C中,A C B ,D是A B的中点,C Dc m,则A Bc m(要点)在A B C中,A BA C,A B的垂直平分线与A C所在的直线相交所得到锐角为 ,则B等于(要点)已知 等 腰A B C的 周 长 为,若 设 腰 长 为x,则x的 取 值 范 围 是(要点)用棋子摆成如图所示的“T”字轴对称图案()摆成第一个“T”字需要个棋子,第二个图案需个棋子;()按这样的规律摆下去,摆成第 个“T”字需要个棋子,第n个需个棋子(第题)(要点、)下列图形中,轴对称图形的个数是()线段;角;等腰三角形;等边三角形;正方形;圆;长方形;平行四边形;等腰梯形;扇形A B C D (要点)如果等腰三角形两边长是 c m和c m,那么它的周长是()A c mB c mC c m或 c mD c m(要点)若等腰三角形的一个内角为 ,则它的底角为()A B C 或 D (要点)已知平面上两点A和B,下列说法不正确的是()A 点A和点B关于线段A B的中垂线对称B 点A和点B可以看作以直线A B为轴的轴对称图形C 点A和点B成轴对称D 点A和点B是轴对称图形,且只有条对称轴 (要点)将三角形纸片A B C(A BA C),沿过点A的直线折叠,使得A C落在A B边上,折痕为AD,展开纸片(如图(),再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为E F,展开纸片后得到A E F,试判断A E F的形状()()(第 题)综合应用(要点、)某一个星期六,凌霄中学初一的同学参加义务劳动,其中有三个班的同学分别在点M、N(如图)两处参加劳动,另外三个班的同学分别在道路A B、A C两处劳动,现要在道路A B、A C的交叉区域内设一个茶水供应点P,使点P到两条道路的距离相等,且使PMP N请你找出点P的位置,并说明理由(第 题)(第 题)(要点、)如图,已知在A B C中,AD平分B A C,且B DC D,D EA B,D FA C,垂足分别是E、F B与C相等吗,为什么?(要点)如图,有一内地城市W和两个沿海小城市Y、Z,现国家规定在三个城市间建一个机场,使得机场到W、Y、Z三城市的距离相等,试确定机场的位置(用点P表示)(第 题)探究创新(要点)如图,在A B C中,B C,边B C的垂直平分线分别交A B、B C于点E、D,B E,求B C E的周长(第 题)(要点、)如图,在A B C中,A BA C,A ,B D平分A B C,D EB C若B C,则D E C的周长是多少?(第 题)(要点)一天,老师在活动课上给同学们留了这样一个问题:在前几节的学习中,我们已经学会如何只剪一刀就剪出一个三角形,那么,老师又增加了难度,老师这样裁剪:将长方形纸对折,用剪刀倾斜剪掉一锐角(第 题()裁剪时保证底角为 ,然后展开得到一个三角形(第 题()观察这个三角形并回答:(第 题()()这个三角形的三边有什么关系呢?它是什么三角形?()为什么它的三边会有这种关系呢?答案全析全解正方形、等腰直角三角形等 c m底边的垂直平分线三条边的中垂线所在的直线 或 x n D D B D A E F为等腰三角形理由如下;设AD与E F交于点G,由折叠知AD平分B A C,所以B ADC AD又由折叠知A G ED G E ,所以A G EA G F 所以A E FA F E即A EA F故A E F为等腰三角形 提示:作A的平分线、线段MN的中垂线,二者的交点即是所求点P B AD C AD,D E AD F A ,ADAD,A E DA F DD ED F又B DC D,R t B D ER t C D FBC 线段WY、Y Z的垂直平分线,交点P即为所求机场的位置图略 CB C E B D平分A B C,D EB C,D AB A,ADD E,A BB ECD E CD ED CC EADD CC EA CC EA BC E又A BB E,CD E CB EE CB C ()三边相等是等边三角形()如图,A BA C,B AD ,ADB C,B A C A B CA C BA BB CA C(第 题)迷 你 数 学 世 界装饰中无所不在的对称艺术对称,作为一种造型风格,是形式美法则中的一个基本概念,它属于形式美的范畴,是一种基本的造型手段所谓对称,是指一个轴两侧的图象或四周的图象相同或相似,或是相对于一个中心点相同或相似对称形式发展到现代,大体上可分为三种形式,即完全对称、近似对称和反转对称()完全对称它是一种最单纯的绝对对称形式可以说,无论怎样杂乱的形象只要采用完全对称的形式加以处理,整个造型效果就会面目改观,秩序井然()近似对称它是一种宏观上的对称,而局部又有变化的对称形式这在现代建筑空间构图中,是经常被建筑师所使用的一种手法()反转对称反转对称亦称对称,就是形式相反相对从宏观上看是对称的效果,而局部又是动感很强的形式它有很强的现代感,是一种在非对称形式诱导下产生的变态对称形式由于对称这种装饰手法在体积、面积和重量上都是绝对平分的,因此在心理上往往给人以庄严、隆重、大方、安逸和稳重的感觉当然如果用得不好,也只给人以呆板和单调的印象另外,对称形式容易被视觉辨认出来,即看到形式的这一部分,就可以判断出形式的另一部分来,在知觉上不产生对抗所以它还具有和静的消极美,不给感官产生刺激,是一种手法平和的构图形式装饰陈设风格上的对称,就是利用对称的基本原理和规律,在陈设布置上、装饰风格上,采用量的对称、色彩的对称、风格的对称和造型的对称等手法,装饰出不同的空间,无论在色彩上,还是在形式上,都给人以平稳、安定、庄重的视觉效果和心理感觉古今中外,许多建筑、室内陈设都采用这种装饰手法,尤其是中国传统的建筑、室内装饰,在对称手法上的运用,简直达到了登峰造极的地步,如唐都长安、明都北京城和紫禁城,它们的城市规划、建筑和室内陈设都严格按对称的装饰手法来营造对称这种形式美的法则,是造型风格中的一个重要组成部分,也是我们现在常用的一种装饰手段P 随堂练习略A BB C,D为B C中点,则ADB C若B C水平,则重锤必过A点()()()P 习题()()(第题)设顶角为x,则底角为(x)则xxx ,解得x,则三个内角为 ,长方形和圆都是轴对称图形长方形的对称轴是对边中点的连线圆的对称轴是过圆心的所有直线是,设计略如图将街道作为对称轴,作A 关于A对称,设街道的B站建在P处,则为P AP A,欲求P AP B最短,即求P A P B最 短从 而 有 当 点P、A、B在同一条直线上P A P B最短即点P即为所求作的点(第题)P 随堂练习分别以A、B为圆心,以A B为半径做等圆,两圆交于M、N,连接MN交A B于C,则C为A B中点图略P 习题 略略连接B C、AD,分别以A、D为圆心,AD长为半径作圆交于点P、Q连接P Q;以B、C为圆心,B C长为半径,作圆交于R、S,连接R、S;R S与P Q交于点M,M即为所求点,图略P 随堂练习略P 习题 略角平分 线 上 的 点 到 角 两 边 的 距 离相等解平分 线 上 的 点 到 角 两 边 的 距 离相等
