高等数学重积分的应用.ppt
高等数学重积分的应用现在学习的是第1页，共28页1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第2页，共28页一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第3页，共28页1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V.解解:曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xoy 面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D),(000zyx在点Drrrdd2例例1.求曲面rr dd10320机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页，共28页xoyza2例例2.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第5页，共28页MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),(,),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第6页，共28页故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),(,),(zyDzyzygx则有zyD即机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第7页，共28页xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为,),(,),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共28页例例3.计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解:曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220)1)1(32232R出的面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第9页，共28页例例4.计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA 0202dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐标方程.(见书 P109)方法方法1 利用球坐标方程.axyzoddsina机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第10页，共28页三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,),(kkkzyx其质量分别,),2,1(nkmk由力学知,该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第11页，共28页将 分成 n 小块,),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第12页，共28页同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共28页若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页，共28页4例例5.求位于两圆sin2rsin4r和的质心.2D解解:利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第15页，共28页Vzyxzzddd例例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为,30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解:利用对称性可知质心在 z 轴上，,0 yx采用柱坐标,则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重,求它的质心.oxzh若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第16页，共28页hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第17页，共28页四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数.),(zyx该物体位于(x,y,z)处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第18页，共28页类似可得:zyxzyxIxddd),(zyxzyxIyddd),(zyxzyxIoddd),()(22zy)(22zx)(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第19页，共28页如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),(DoyxyxIdd),(则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第20页，共28页rraddsin0302例例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解:建立坐标系如图,0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第21页，共28页)sinsincossin(222222rr解解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例8.8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第22页，共28页222zyxr G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,，连续),(zyx物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上积分即得各引力分量:其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第23页，共28页vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第24页，共28页aaR1122xyzoR例例9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解:由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(),0,0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力.2ddGdaR020da0M。,0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第25页，共28页Rxyzo例例10.求半径 R 的均匀球2222Rzyx对位于)(),0,0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解:利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点zDazyxyx23222)(dd0MazD机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第26页，共28页RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第27页，共28页作业作业P96 7，10,17 P116 1，3，6,11,13,14习题课 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第28页，共28页
