误差的合成与分配 课件.ppt

误差的合成与分配 第1页，此课件共49页哦2间接测量间接测量的概念的概念(1)直接测量直接测量无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。例如用游标卡尺测量零件直径。例如用游标卡尺测量零件直径。(2)间接测量间接测量实测的量与被测的量之间有已知实测的量与被测的量之间有已知函数关系函数关系，通过计，通过计算而得到被测量值的测量。算而得到被测量值的测量。例如通过测量圆柱体的圆周长度例如通过测量圆柱体的圆周长度L，通过关系式，通过关系式D=L/，得到所求的零，得到所求的零件直径件直径D。间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，称这种误差为间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，称这种误差为函数误差函数误差。第2页，此课件共49页哦3第一节第一节 函数误差函数误差一、函数系统误差计算 设间接测量中间接测量值设间接测量中间接测量值y是各个直接测量量是各个直接测量量 xi 的多元函数，的多元函数，其表达式为其表达式为式中式中 间接测量值间接测量值 各个直接测量值。各个直接测量值。可知可知第3页，此课件共49页哦4若已知各个若已知各个直接测量值的系统误差直接测量值的系统误差可近似得到函数的系统误差为可近似得到函数的系统误差为 称为第称为第i个直接测量值的个直接测量值的误差传递系数误差传递系数。注意：注意：这里讲的是这里讲的是函数系统误差计算，各个直接测量值的系统误差各个直接测量值的系统误差对对函数总误差的贡献基本是代数和的形式。第4页，此课件共49页哦5几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1 1、线性函数、线性函数2 2、三角函数形式、三角函数形式 系统误差公式当 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 第5页，此课件共49页哦6【例例6-16-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高得弓高 ，弦长，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长卡尺量得弓高，弦长 试问车间工人测量该工件直径的系试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。统误差，并求修正后的测量结果。【解解】建立间接测量大工件直径的函数模型 不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值 第6页，此课件共49页哦7车间工人测量弓高、弦长的系统误差 直径的系统误差 故修正后的测量结果 计算过程（求修正后的测量结果）：计算过程（求修正后的测量结果）：误差传播系数为 若直接用h=50.1和L=499计算得：1292.62mm。第7页，此课件共49页哦8二、函数随机误差的计算 设间接测量中，间接测量值设间接测量中，间接测量值y是各个直接测量量是各个直接测量量 xi 的多元函数，的多元函数，其表达式为其表达式为下面来推导下面来推导间接测量间接测量时时函数随机误差函数随机误差的计算公式的计算公式：设对各个设对各个直接测量值直接测量值 xi 皆进行了皆进行了N次等精度测量次等精度测量，其相应的，其相应的随机误差为随机误差为第8页，此课件共49页哦9可得函数可得函数y的随机误差为的随机误差为将上式每个方程平方得将上式每个方程平方得:第9页，此课件共49页哦10将上式相加将上式相加第10页，此课件共49页哦11上式上式各项各项除以除以N得得:第11页，此课件共49页哦12则可得：则可得：第12页，此课件共49页哦13当各测量值的随机误差是相互独立的，且当各测量值的随机误差是相互独立的，且N适当大时，相关项适当大时，相关项即相关系数即相关系数上式可化简为上式可化简为第13页，此课件共49页哦14所以所以,当当各测量值的各测量值的随机误差相互独立随机误差相互独立时，时，函数随机函数随机误差的计算式为：误差的计算式为：第14页，此课件共49页哦15回到本章开始的例子回到本章开始的例子用千分尺直接测量圆柱体的直径用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度和高度h（d和和h的基本尺寸均为的基本尺寸均为10mm）各）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积次，测得值列于下表，求圆柱体体积V及标准差。及标准差。直径直径d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度高度h10.10510.11510.11510.11010.11010.105解解：第15页，此课件共49页哦16按贝塞尔式计算按贝塞尔式计算 和和 的标准差分别为的标准差分别为第16页，此课件共49页哦17又例又例：系统误差的发现方法系统误差的发现方法中中，算术平均值的差值与标准差比较法算术平均值的差值与标准差比较法中有计算公式，中有计算公式，两组算术平均值之差为：当时讲：可以证明两算术平均值之差的方差为：（现利用函数随机误差计算方法来证明）第17页，此课件共49页哦18三、三、相关系数相关系数（标准协方差标准协方差）相关系数（标准协方差）相关系数（标准协方差）是表达是表达两维随机变量两维随机变量（,）相互）相互依赖性的数字特征，若依赖性的数字特征，若 ,是不相互独立的随机变量，定义：是不相互独立的随机变量，定义：第18页，此课件共49页哦19实际工作中实际工作中相关系数相关系数的确定的确定1.1.直接判断法：直接判断法：根据专业知识来进行判断；根据专业知识来进行判断；2.2.实验观察和简略计算法：实验观察和简略计算法：（1 1）观察法）观察法第19页，此课件共49页哦20（2 2）简单计算法）简单计算法（3 3）直接计算法）直接计算法3.3.理论计算法理论计算法第20页，此课件共49页哦21第二节随机误差的合成第二节随机误差的合成 误差合成就是在正确地分析和综合误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成 极限误差合成随机误差的合成形式包括：第21页，此课件共49页哦22一、标准差合成一、标准差合成合成标准差表达式合成标准差表达式:q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 由间接测量的显函数模型求得 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 而不知道每个 和 第22页，此课件共49页哦23二、极限误差合成二、极限误差合成 单项极限误差单项极限误差:单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 合成极限误差合成极限误差:合成标准差 合成极限误差的置信系数 合成极限误差计算公式合成极限误差计算公式第23页，此课件共49页哦24根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意：第24页，此课件共49页哦25 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：合成极限误差：若各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式 此时第25页，此课件共49页哦26第三节系统误差合成第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：表示符号：合成方法合成方法：按照代数和法进行合成按照代数和法进行合成i 为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除！第26页，此课件共49页哦27二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成（一）（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差的特征及其评定定义定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差。特征特征：1）在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性。2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。第27页，此课件共49页哦281 1、标准差合成、标准差合成（二）（二）未定系统误差的合成未定系统误差的合成 未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式。同随机误差的合成类似，未定系统误差合成时可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有 s 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为 u1，u2，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，as，则合成后未定系统误差的总标准差 u 为:第28页，此课件共49页哦29则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij 为第 i 个和第 j 个误差项的相关系数当 ij=0 时2 2、极限误差的合成、极限误差的合成 因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：第29页，此课件共49页哦30或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：第30页，此课件共49页哦31第四节系统误差与随机误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成一、按极限误差合成 误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。测量过程中，假定有 r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1 1、单次测量情况、单次测量情况 若各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的极限误差为：式中，R 为各个误差之间的协方差之和。第31页，此课件共49页哦32 当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2 2、n n 次重复测量情况次重复测量情况 当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n。总极限误差变为：第32页，此课件共49页哦33【例例】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量 ，求测量结果的标准差。(1)随机误差:天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为(2)未定系统误差:标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即10g的一个，2g的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为 根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：第33页，此课件共49页哦34 天平示值误差 该项标准差为:最后测量结果应表示为（倍标准差）：第34页，此课件共49页哦35第五节误差分配第五节误差分配误差分配误差分配 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：若已经给定，如何确定 Di 或相应的 i,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差第35页，此课件共49页哦36一、按等影响原则分配误差一、按等影响原则分配误差 等作用原则等作用原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即 由此可得：或用极限误差表示：函数的总极限误差 各单项误差的极限误差 进行误差分配时，一般应按照下述步骤：第36页，此课件共49页哦37(1)造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。按等影响原则分配误差的不合理性按等影响原则分配误差的不合理性(2)所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。第37页，此课件共49页哦38 测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 D 及高度 h，根据函数式 误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。【例】【例】求得体积 V，若要求测量体积的相对误差为1，已知直径和高度的公称值分别为 ，试确定直径 D 及高度 h 的测量精度。三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 第38页，此课件共49页哦39一、按等影响分配原则分配误差一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:【解】【解】计算体积 体积的绝对误差:第39页，此课件共49页哦40 用这两种量具测量的体积极限误差为 因为 查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高 ，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。二、调整后的测量极限误差二、调整后的测量极限误差 显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。第40页，此课件共49页哦41调整后的实际测量极限误差为 因为 因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。第41页，此课件共49页哦42第六节 微小误差的取舍原则将其中的部分误差将其中的部分误差 Dk 取出后，则得取出后，则得若有若有则称部分误差则称部分误差Dk为为微小误差微小误差，可以舍去。，可以舍去。有的误差对测量结果总误差影响很小。当这种误差小到有的误差对测量结果总误差影响很小。当这种误差小到一定程度，计算测量结果总误差时可舍去。一定程度，计算测量结果总误差时可舍去。什么程度可以舍去？什么程度可以舍去？第42页，此课件共49页哦43 根据有效数字运算准则，对根据有效数字运算准则，对一般测量，测量误差取一位有效数一般测量，测量误差取一位有效数字字，若舍去某误差后，它的影响达到以下要求，则该项误差为，若舍去某误差后，它的影响达到以下要求，则该项误差为微小微小误差误差：解上式解上式第43页，此课件共49页哦44对于对于比较精密的测量比较精密的测量，误差可取，误差可取2位有效数字位有效数字解上式解上式结论：结论：微小误差舍去的准则微小误差舍去的准则是是被舍去误差必须小于等于测量结果被舍去误差必须小于等于测量结果总标准差的（总标准差的（1/31/10）。使用场合：当已知测量的精度（不确定度）要求时，可使用场合：当已知测量的精度（不确定度）要求时，可按上述原按上述原则选取测量仪器则选取测量仪器。如电阻阻值要求为。如电阻阻值要求为10001时，仪表精度时，仪表精度（不确定度）应至少（不确定度）应至少0.3。第44页，此课件共49页哦45第七节 最佳测量方案确定函数的标准差函数的标准差欲使欲使y为最小为最小,可以可以（1）选择最佳函数误差公式）选择最佳函数误差公式（2）使误差传递系数尽量小）使误差传递系数尽量小第45页，此课件共49页哦46一、选择最佳函数误差公式例：测轴心距，三种方案例：测轴心距，三种方案第46页，此课件共49页哦47已知已知第第1法法第第2法法第第3法法第47页，此课件共49页哦48二、使误差传递系数尽量小若若 或为最小，则该项误差对函数误差影响为或为最小，则该项误差对函数误差影响为0或最小或最小例：弓高弦长法测量直径例：弓高弦长法测量直径D，试，试确定最佳测量方案确定最佳测量方案。解：解：讨论：讨论：无实际意义无实际意义测直径测直径 是否应该考虑直接测量量的标准差？第48页，此课件共49页哦49例：测量金属导线的电导率例：测量金属导线的电导率，已知其函数表达式为，已知其函数表达式为式中的l，d和R分别为金属导线的长度、直径和电阻。根据随机误差的传播公式，求得电导率的标准差公式为1.使l=0或最小2.使d和R较大课本上的结论：讨论：l减小，R减小；d增大，R减小；思考？推导证明第49页，此课件共49页哦