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第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学知识归纳1映射(1)映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 一个元素，在集合B中都有的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB.(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且aA，bB，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象任何惟一确定第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学2函数(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记为yf(x)(2)近代定义：函数是由一个到另一个的映射(3)函数的表示法有：非空数集非空数集解析法、列表法、图象法第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学理解函数概念还必须注意以下几点：函数是一种特殊的映射，集合A、B都是非空的数的集合确定函数的映射是从定义域A到B(值域CB)上的映射，允许A中的不同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在A中不能没有原象若两个函数的定义域、对应法则分别相同，称这两个函数相等第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分同一个对应法则，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线对于以x为自变量的函数，f(a)的含义与f(x)的含义不同f(a)表示自变量xa时所得的函数值，它是一个常量；f(x)是x的函数，通常它是一个变量第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学(2)已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足的x的取值范围；已知fg(x)的定义域是a，b，求f(x)的定义域，是指在x的条件下，求g(x)的值域(3)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义(4)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合ag(x)ba，b第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学4函数的值域(1)函数值域的定义在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(2)确定函数值域的原则当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学(4)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有：直接法从自变量x的范围出发，通过观察和代数运算推出yf(x)的取值范围；配方法配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学单调性法根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域求导法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值；数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学误区警示1映射的定义是有方向性的，即从集合A到B与集合B到A的映射是两个不同的映射2判断两个函数是否为相等函数，关键看定义域和对应法则是否都相同3复合函数求定义域时，因不能深刻理解函数定义域的意义而致误，常见的是把已知f(x)的定义域求f(g(x)的定义域与已知fg(x)的定义域求f(x)的定义域混淆第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学4解题过程中不要忽视定义域的限制作用致误5不要忽视实际问题的实际意义的限制作用6换元法求解析式或函数值域，换元后易漏掉考虑新元的取值范围7判别式法求值域对端点要进行检验8利用均值不等式求值域时，要注意必须满足已知条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符号9熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这些方法分别适用于哪些类型的函数第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学一、定义法用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征例1已知函数f(x)的定义域为1,5，在同一直角坐标系下，函数yf(x)的图象与直线xa(a为实数常数)的交点个数为()A0个 B1个 C2个 D0个或1个解析：f(x)的定义域为1,5，当a1,5时，直线xa与函数yf(x)的图象必有一个交点，当a1,5时，直线xa与函数yf(x)的图象无交点第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域1,5中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线xa与yf(x)的图象至多有一个交点选D.答案：D第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学二、求函数解析式常用的方法1换元法例2已知f(1cosx)sin2x，求f(x)解析：令t1cosx，则cosx1tsin2x1cos2x1(1t)2t22tf(x)x22x，但t1cosx0,2f(x)x22xx0,2第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学总结评述：已知f(g(x)是关于x的函数，即fg(x)F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)t，由此能解出x(t)将x(t)代入fg(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式注意，换元后要确定新元t的取值范围2待定系数法若已知函数类型，则可用此法例4设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x)，且f(x)0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学解析：设f(x)ax2bxc(a0)由f(x2)f(2x)知，该函数的图象关于直线x2对称第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学点评：充分抓住已知条件式的结构特征，运用x取值的任意性获得式是解决此题的关键若已知2f(x)f(x)2x1，你会求f(x)吗？第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学4赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，从而获解例6已知函数f(x)满足f(0)1，f(ab)f(a)b(2ab1)(a、bR)，求f(x)解析：解法1：令a0，则f(b)f(0)b(b1)1b(b1)b2b1再令bx得，f(x)x2x1.第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学解法2：令ba，则1f(0)f(a)a(2aa1)f(a)a(a1)，f(a)a(a1)1a2a1，即f(x)x2x1.5转化法已知f(x)在某个区间上的表达式及f(x)具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求f(x)在另一个区间上的表达式，常用转化法求解第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学例7已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)x(x2)(1)求f(1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在3,3上的单调性第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学点评：可用导数讨论单调性第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学分析：本题中函数的定义域为R，且分子、分母中至少有一个为关于x的二次式，所以可用判别式法；但注意到分子为x的一次式，可在x0时，分子、分母同除以x，用均值定理去求解；导数法更具有一般性第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学x(，2)2(2,2)2(2，)y00y极小值极大值第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：B总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时为相等函数.第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：B第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出则fg(1)的值为_；满足fg(x)gf(x)的x的值是_x123f(x)131x123g(x)321第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学解析：fg(1)f(3)1.故fg(x)gf(x)的解为x2.答案：1；2x1 2 3fg(x)1 3 1gf(x)3 1 3第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学A1B2C3D4分析：依据分段函数的定义，当x6时，f(x)f(x3)，当x6时，f(x)log2x，依次递推可求出f(1)解析：f(1)f(2)f(5)f(8)log283，选C.答案：C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学分析：可依据yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称，及yf(2x)可由yf(x)的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出yf(2x)的解析式取特值验证解析：由函数yf(x)的图象关于y轴对称得到yf(x)的图象，再把yf(x)的图象向右平移2个单位得到yf(2x)的图象，故选A.答案：A第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学解析：当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，x2或0 x1.第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：A第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：D第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学点评：f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(，1)上和1，)上都是增函数，还要保证x11，x21时，有f(x1)f(x2)第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学解析：f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log242.答案：B第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：x|2x4且x3第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案：B第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学例6用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学总结评述：求由实际问题确定函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是xR，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问题对变量的制约这类函数与几何结合的小综合题，考查数形结合的能力和思维的严密性以及解决实际问题的能力，符合新课改的要求第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学分析：甲、乙共买60本，若甲买n本，则乙买(60n)本，由C(n)的定义和nN*找出n的取值范围和分界点，然后确定其解析式，在每一段上求得最值后，比较得出结果解析：设甲买n本书，则乙买(60n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n30，nN*.当1n11且nN*时，4960n59，出版公司赚的钱数f(n)12n10(60n)5602n300；第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学当12n24且nN*时，3660n48，出版公司赚的钱数f(n)12n11(60n)560n360；当25n30且nN*时，3060n35，出版公司赚的钱数f(n)1160560360.第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学当1n11时，302f(n)322；当12n24时，372f(n)384；当25n30时，f(n)360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学一、选择题1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案A解析要注意ys(t)在某一点的导数就是曲线在该点处的斜率，即为在该点处的速度，可知选A.第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案A第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案B第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学(理)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10 x(x0)，则f(x)的最大值为()A4B5C6D7答案C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学解法2：画出y2x，yx2，y10 x的图象如图，根据函数f(x)min2x，x2,10 x的意义，函数f(x)的图象是由上面三个函数图象位于最下方的图象组成的，观察图象可知，当0 x2时，f(x)2x，当24时，f(x)10 x，f(x)的最大值在x4时取得，最大值为6，故选C.第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学点评这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学二、填空题5已知函数f(x)2x的反函数是yg(x)，令h(x)g(1|x|)，则关于函数h(x)有下列命题：h(x)的定义域是(1,1)；h(x)是奇函数；h(x)的最大值为0；h(x)在(1,0)上为增函数其中正确命题的序号为_(注：将所有正确命题的序号都填上)第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案解析由已知得，g(x)log2x，h(x)log2(1|x|)，1|x|0，1xf(b)f(c)，试确定这样的映射f的个数为()A1B2C3D4答案D解析可根据f(a)f(b)f(c)列表故符合条件的映射共有4个f(a)0111f(b)1100f(c)1110第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案A第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案B第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学解析f(1)1，当a0时，f(a)ea1，1ea12，a1，当1a0时，f(a)sin(a2)，第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学答案C第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学5(2010北京东城区)已知点P在直线xy50上，点Q在抛物线y22x上，则|PQ|的最小值等于_第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学第一章第一章 集合与函数集合与函数人教A版数学点评抽象函数关系讨论性质，主要用赋值法解决