大学物理课件：第一章.doc

第一章 质点运动学一、 基本要求1 掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。2 能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。3 能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向和法向加速度。4 理解伽利略坐标变换和速度变换。二、 基本内容1 位置矢量（简称位矢）位置矢量，表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段表示。 的端点表示任意时刻质点的空间位置。同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即；（2）相对性：用描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中表达形式可以是不相同的。它表示了的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。在直角坐标系中质点的运动方程为 （矢量式）或 （标量式）。2位移 的模。注意：（1）与的区别：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（2）与的区别：表示时间内质点通过的路程，是标量，只有质点在直线直进时两者的大小相等或当时，。3. 速度，是质点位置矢量对时间的变化率。在直角坐标系中的大小：的方向：在直线运动中，表示质点沿坐标轴正向运动，表示质点沿坐标轴负向运动；在曲线运动中，沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。注意：（1）瞬时性：质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；（2）矢量性：速度为矢量，具有大小、方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（3）相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系、坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；（4）叠加性：因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度也是可叠加的；（5）要注意区别速度和速率，注意与，与的区别。4 加速度 ，描述质点速度对时间的变化率，其中包括速度的大小和方向随时间的变化。不论速度的大小变化，还是速度方向的变化，都会产生加速度。加速度也为矢量。在直角坐标中 其中，。在自然坐标系中其中，加速度的方向与速度方向无直接关系。在直线运动中，若与同向，则质点作加速运动，与反向，则质点作减速运动。在曲线运动中，方向总是指向曲线凹的一侧。5圆周运动的角速度、角加速度角速度 角加速度 角量与线量的关系： ，6伽利略速度变换 其中为运动物体相对固定参照系的速度，称为绝对速度；为运动物体相对运动参照系的速度，称为相对速度；为运动参照系相对固定参照系的速度，称为牵连速度。三、习题选解1-1 从原点到点的位置矢量。而点到的位移。求从原点到点的位置矢量，并作图表示。解： 由位移定义 设点坐标为则 而 显然 故 如图所示。 题1-1图1-2 设质点沿轴运动，其运动方程为（式中以计，以计）。求：（1）质点在末的速度和加速度；（2）质点在是作加速运动还是作减速运动；（3）第末到第末时间内的位移和路程。解：（1） ，将 代入上两式分别得 ， （2）将 代入表达式分别得与反向，质点作减速运动。（3）位移 由 得：，即时质点瞬时静止，其后反向运动。故路程 1-3 一质点在平面内运动，运动方程为，（式中，以计，以计）。求：（1） 求质点的轨道方程；（2） 求时刻质点的位置矢量，速度矢量；（3） 什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？（4） 什么时刻质点离原点最近？求这一距离。解： （1）由消去得轨道方程为 （2） 而 故 （3） 时 则 即得 （4） 取极小值，由 得 （舍去）但 ， ， 且故 时质点离原点距离最近，其距离为。1-4 一质点具有恒定加速度。时，质点速度为零，位置矢量。求：（1）质点在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点的轨迹方程。解： 由题意知：（1） 而 同理 即而 由此可得 （2） 轨道方程由消t得 即 1-5 消防水枪喷出的水的流量是。水的流速。若水枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在任一瞬间空中有多少升水？解： 竖直上抛的最大高度 水上升到最大高度的时间，由 （令，为上升到最高点的速度）得 则水在空中运动 又因为 在时间小于喷向空中水 （升）在时间大于喷向空中水 （升）1-6 一升降机以加速度上升，当上升速度为 时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距。计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。解： 以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度上升时刻机外固定柱上对应升降机地板所在处，向上为正。（1）螺帽在时，从处以初速为作上抛运动。其运动方程为 地板在时，以初速，从原点作加速上抛运动，其方程为 螺帽落地时 （2）螺帽下降的距离1-7 如图所示，有人在离水面高处通过滑轮用绳子拉船靠岸。 设人用匀速收绳子拉船，求当船与滑轮的水平距离为时，船的速度和加速度的大小。解： 设绳长为，由图可知 题1-7图 人以匀速收绳拉船 的方向沿轴负方向船的加速度 的方向沿轴负方向 1-8 如图所示，一人站在山坡上，山坡与水平面成角。他扔出一个初速为的小石子，与水平面成角（向上）。（1）如空气阻力不计，试证小石子落在斜坡上距离为处： 题1-8图 （2）由此证明，对于给定的与值，在时有最大值：解： 以斜面方向为轴，垂直于斜面为轴，扔出点为原点建立坐标系。（1） 小石子落地时 落地时间小石子落在斜坡上的距离 （2） 对于给定的和值 由上式可知，小石子落在斜坡上距离最大值的条件是 故 1-9 一个人扔石头的最大出手速度为，他能击中一个与他的手水平距离为，高为处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标的最大高度是多少？解： 以出手点为原点，建立坐标，设出手速度与轴夹角为，忽略空气阻力有消去，得石头运动轨道方程代入 当时取极值题1-9图得 故当时，在处的最高高度为：所以不能击中目标，能击中的最大高度是。1-10 一质点沿直线运动，其坐标与时间如下关系， （皆为常数）。 求（1）任意时刻质点的加速度；（2）质点通过原点的时刻。解： 质点运动方程 （1）速度 加速度（2）质点通过原点时 由于 1-11 一质点沿半径为的圆周运动，其路程随时间变化的规律为式中,为大于零的常数，且。求：（1）质点运动的切向加速度和法向加速度；（2）的时刻。解： 质点作圆运动 （1）速率 切向加速度 法向加速度 （2）切向加速度，法向加速度，当时 1-12 一质点沿半径为的圆周按路程为的规律运动，其中都是常量。（1）求时刻质点的加速度；（2）为何时，加速度的大小等于？（3）当加速度为时，质点沿圆周运动了多少圈？解： 质点作圆周运动 （1）速率 切向加速度 法向加速度 质点的加速度大小为 与的夹角 （2）当时 （3）当时， 质点沿圆周运行的圈数 1-13 一质点沿半径为的圆周运动，用角坐标表示其运动方程为。（1） 时质点切向加速度和法向加速度的大小；（2） 当等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成45。解： 质点作圆周运动 （1）角速度 角加速度 切向加速度 法向加速度 （2）质点的加速度和半径的夹角为45，即与成45角 此时质点的角位移 1-14 一个半径为的圆盘，可以绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体，如图所示。在重力作用下，物体从静止开始匀加速的下降，在内下降的距离。求物体开始下降后末，边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。 题1-14图解： 在竖直方向建立坐标，时，；物体由静止开始匀加速下降，设加速度为，圆盘边缘一点的切向加速度法向加速度 ， 1-15 从同一地点，以相同速率朝不同方向把许多石子扔向空中，由运动学公式证明这些石子在空中相同高度处有相同速率（不计空气阻力）。证： 设某一石子的抛射角为，初速率为。在任一时刻，石子沿轴和轴的速度分量为 石子在时刻的高度 可见，作抛体运动的石子在任一时刻的速率与抛射角无关，只取决于高度和初速。这些石子在相同高度处有相同速率。1-16 如图所示，在一平坦高地上安放一门炮，高地边缘是一向下的陡壁，炮位距离陡壁，陡壁下面的地平面低于炮位。用炮轰击掩蔽在陡壁后面的目标。如果炮弹出口速率为，忽略空气阻力，求： 题1-16图（1）离陡壁最近的炮弹弹着点距陡壁的距离；（2）这时炮弹出口速度与水平面的夹角。解：（1）炮弹着地点若离陡壁最近，则炮弹会经过高地边缘。炮弹作抛体运动的轨道方程 炮弹经陡壁边缘 ，代入上式 （2）炮弹出口速度与水平面夹角 得 炮弹落地点 ，代入得 1-17 如图所示，一气象气球自地面以匀速上升到天空，在距离放出点为处的点用望远镜对气球进行观测。记录得气球的仰角为时间的函数。（1）求出用和表示仰角的公式；（2）求出作为时间的函数的公式；（3）试证当上升时间时，将按趋近于零。题1-17图解：（1）由图可知，任一时刻 气球匀速上升 （2）等式 ，两边对时间求导 （3）当上升时间时， 故当，将按趋于零。1-18 为转播电视而发射的地球同步卫星，它在赤道上空的圆形轨道上运动，周期等于地球自转周期。求卫星离开地面的高度和卫星的速率（距地球中心处的重力加速度，是地球半径）解：由题知同步卫星作圆周运动的角速度，向心加速度，。又向心力由万有引力提供，所以 卫星高度 卫星速率 1-19 一飞轮的角速度在内由均匀地减到。（1）求角加速度；（2）求在此内的总转数；（3）再经多长时间，轮将停止转动？解：飞轮作匀减速运动，在内角速度由减至，角位移为。设角加速度为（1）由匀速圆周运动速度方程 （2）由 （3）又经时间，飞轮停止转动 1-20 北京正负电子对撞机的储存环的周长为，电子要沿环以非常接近光速的速率运行。这些电子运动的向心加速度是重力加速度的几倍？解：电子以接近光速的速率作圆周运动，储存环的周长为，半径为。向心加速度 故 1-21 一无风的下雨天，一火车以的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成75角下降，求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动）。解：以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为，雨滴相对于地面的运动速度为，旅客看到雨滴下落的速度为，即雨滴相对于火车的运动速度。由图可知： 题1-21图 1-22 飞机以的速率（相对地面）向南飞行。同时另一架飞机以的速率（相对地面）向东偏南30角方向飞行。求机相对于机的速度与机相对于机的速度。 题1-22图 题1-22图解：设飞机相对于飞机的速度为，飞机相对于飞机的速度为，机相对地面的速度为，机相对地面的速度为。则 如图 如图由余弦定理： 设与正西方向的夹角为所以 的方向为西偏南同理 的方向为1-23 一人骑自行车向东而行，在速度为时，觉得有南风，速度增至时，觉得有东南风。求风的速度。解：人骑自行车相对地的速度为，风相对车的速度为，风相对地的速度为。则当时，矢量图为；当时，矢量图为。两种情况下，的大小和方向不变，由图知 由图知 则 即风速大小为，方向东偏北。 题1-23图 题1-23图1-24 一架飞机从处向东飞到处，然后又向西飞回处，飞机相对于空气的速率为，而空气相对于地面的速率为u，、之间的距离为l，飞机相对于空气的速率保持不变。（1）假定空气是静止的（即），试证来回飞行时间为；（2）假定空气的速度向东，试证来回飞行时间为；（3）假定空气的速度向北。试证来回飞行的时间为解：（1）空气是静止的，即，飞机往返速度如图所示。飞机往返所需时间为 题1-24图（2）当飞机向东时，风速与机速同向；飞机由东向西返回时，风速与机速反向。如图所示，飞机往返飞行相对地面的速度值分别为故往返所需时间为题1-24图（3）当空气速度向北时，飞机相对地面的飞行速度及飞机相对于空气的速度与间由相对运动关系，应满足如图所示的矢量关系飞机对地飞行速度 飞机往返飞行所需时间题1-24图