2021高考数学必考点解题方法秘籍 向量与三角 理.doc

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：向量与三角函数一专题综述三角函数高中数学传统的内容，而平面向量则是新添内容，现在高考对这两部分的考查完美的体现了传统和现代的结合。1.考纲要求三角函数 ：（1）能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简 ；（2）理解和掌握三角函数的图像及性质 ；（3）能用正弦定理、余弦定理解三角形问题 。平面向量 ：（1）能灵活运用向量的数量积解决有关问题 ；（2） 理解和掌握向量的几何运算、坐标运算 ；（3） 理解和掌握平面向量的平行和垂直关系。2.考题设置与分值：高考对这两部分的考试一般有1-2个客观题和1个解答题（第16题），总分值20分左右；3.考试重点及难度：（1）三角函数主要考查:灵活运用公式的能力,特别是单项化公式;在客观题中，突出考察三角函数的图像和性质;解三角形也是高考的一个重点.（2）平面向量的考察侧重：平面向量的运算，特别是数量积的运算（坐标运算）；要关注各种运算的几何意义和物理意义，要善于在几何图形中寻求各向量的关系；向量的平行、垂直的充要条件的运用；（3）三角函数与平面向量的综合：将三角函数和向量综合在一起进行考查是现在高考的趋势（解答题16题），这体现了在知识的交汇点命题的原则，由于这种题放在16题的位置，是较容易的题总之，高考对三角和向量的考查小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。二考点选讲【考点1】三角函数的图像和性质【例1】已知函数则下列对函数的判断正确的是（ ）A周期为,其图像的一个对称中心是；B周期为,其图象的一个对称中心是C周期为,其图象的一个对称中心是；D周期为,其图象的一个对称中心是【解析】=所以，对称中心是。所以选B。【注】:本题考查三角函数的简单变形和三角函数图像的基础知识。【练习1】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_。【练习2】函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（ ） A ， B ， C ， D ， 【考点2】三角公式的灵活运用【例2】已知，=，=，求的值.【解析】 ，又 ， 又， = ,=【注】本题考查三角函数的有关运算，特别是分析其中三角函数式的差异、角的差异，利用所学公式进行合理变形 。【考点3】解三角形【例3】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与测得：米，并在点 测得塔顶的仰角为，则塔高AB= 【解析】由题意得（米）【注】:在2007年的课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.【练习1】已知三角形的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设，若，求证：ABC为等腰三角形若，边长c=2，角，求ABC的面积。【考点4】向量的运算与应用【例4】已知中，过重心的直线交边于，交边于，设的面积为，的面积为，则：（）（）的取值范围是 .【解析】设，因为是的重心，故，又，因为与共线，所以，即，又与不共线，所以及，消去，得.（），故； （），那么 ，当与重合时，当位于中点时， 故，故但因为与不能重合，故【练习1】过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若，则的值为（ ）A、4 B、3 C、2 D、1【练习2】已知P是内一点，且满足0，记、的面积依次为、，则：等于（ ）A、1：2：3 B、1：4：9 C、：1 D、3：1：2【考点5】三角与向量的综合【例5】已知向量，（1）当，且时，求的值； （2）当，且时，求的值【练习1】：已知向量. （1）当的值。（2）求的最小正周期和单调递增区间。【练习2】已知向量=（cos，sin），其中O为坐标原点，且 （1）若求的值； （2）若求OAB的面积【练习3】三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，, 若（1）求角B的大小； （2）求的取值范围三角函数与平面向量综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。1下列函数中，周期为的是（ ）A B C D2已知命题，则（），3. 条件甲，条件乙，那么 （ ） A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的充要条件C甲是乙的必要不充分条件D甲是乙的既不充分也不必要条件4已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（）5. 若函数f(x)=sinx, x0, , 则函数f(x)的最大值是 ( )A. B. C. D.6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( )A.-2 B.2 C.1 D.-17. 、为锐角a=sin()，b=，则a、b之间关系为 （ ）Aab Bba Ca=b D不确定8. 下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是a|a=|.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数函数其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）9. （A0，0）在x=1处取最大值，则 （ ）A一定是奇函数 B一定是偶函数C一定是奇函数 D一定是偶函数10. 使（0）在区间0，1至少出现2次最大值，则的最小值为（ ）AB CD11、在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，则的可能值有 ( )A、1个 B、2个 C、3个 D、4个12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则ABC的边长是 （ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13若tan=2，则2sin23sincos= .14若，（0，），则tan= .BACD15. 如右图，在中，是边上一点，则.162002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本小题满分12分) 已知ABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0) (1)若,求c的值； (2)若C=5，求sinA的值18. (本小题满分12分)已知函数R.(I)求函数的最小正周期；(II)求函数在区间上的最小值和最大值.19(本小题满分12分) 如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值20. (本小题满分12分)若函数在(0, 2)内有两个不同零点、.()求实数的取值范围; ()求的值.21. (本小题满分12分)设函数，其中向量，。（）、求函数的最大值和最小正周期；（）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。22(本小题满分14分)已知函数，（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值（II）求函数的单调递增区间三角函数与平面向量综合测试题参考答案1. D 由,逐一验证即可得出结果.2. 此题以三角函数为背景,考查命题的否定 : 全称命题的否定为特称命题,否定形式是改全称量词为特称量词,同时还须否定结论.由此不难得到答案.3. D , 故选D4是所在平面内一点，为边中点， ，且， ，即，选A5. D 函数f(x)=sinx, x0, ,x0, ,sinx6. B (1+tan25°)(1+tan20°)=1+7. B 、为锐角又sin()=<8解答：，正确；错误；，和在第一象限无交点，错误；正确；错误故选【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.9. D （A0，0）在x=1处取最大值在x=0处取最大值, 即y轴是函数的对称轴 函数是偶函数10. A 要使（0）在区间0，1至少出现2次最大值只需要最小正周期1,故11.【答案】B 【解析】解法一： （1） 若A为直角，则； （2） 若B为直角，则；（3） 若C为直角，则。所以 k 的可能值个数是2，选B 解法二：数形结合如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选B12.解答：D 因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A作l2的垂线，交l2、l3分别于点D、E，如图，则BAD=BAC+CAE，即BAD=60°+CAE,记正三角形ABC的边长为a,两边取余弦得：，即整理得，故选D. 【点评】 本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.13 2sin23sincos= 14或 >1，且（0，）（，） ( 2sincos=+sin= cos=或sin= cos=tan=或15.【答案】【分析】由余弦定理得可得，又夹角大小为，所以 .16图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则， 两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cos=，cos2=2cos21=.17.【解析】(1)由可得, 解得 (2)当时,可得, ABC为等腰三角形 过作交于,可求得 故 (其它方法如利用数量积求出进而求;余弦定理,正弦定理等!)18.【分析】.因此，函数的最小正周期为.(II)解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又故函数在区间上的最大值为最小值为. 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为最小值为.【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.19解：（1）将，代入函数得，因为，所以又因为，所以，因此（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，所以因为，所以，从而得或即或20.解: ()sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+), 而函数在(0, 2)内有两个不同零点等价于关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2)内有相异二解方程化为sin(x+)=-. 方程sinx+cosx+a=0在(0, 2)内有相异二解, sin(x+)sin= .又sin(x+)±1 (当等于和±1时仅有一解), |-|<1 . 且-. 即|a|<2 且a-. a的取值范围是(-2, -)(-, 2). () 、 是方程的相异解, sin+cos+a=0 . sin+cos+a=0 . -得(sin- sin)+( cos- cos)=0. 2sincos-2sinsin=0, 又sin0, tan=. tan(+)=.21. 分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。解：()由题意得，f(x)a·(b+c)=(sinx,cosx)·(sinxcosx,sinx3cosx)sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是d（，2），kZ.因为k为整数，要使最小，则只有k1，此时d（，2）即为所求.点评：三角函数，三角形问题相结合也是一个很好的命题素材，主要考查向量的数量积、正弦定理、余弦定理与三角函数等基础知识在这种试题中一般考查学生的转化化归思想，要求学生利用三角形的几何特性，通过构造向量，将解三角形的问题转化化归为向量的基本关系和基本运算22解：（I）由题设知因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）所以当为偶数时，当为奇数时，（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）- 16 -