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学习方法指导丛书 数学解题与学习指导策略 数学学习与与解题的常用思维策略 审题与分析策略十法 审题与分析是解题的先导，以获得解题最佳思维程序为目的。 常见的审题与分析的策略与方法有以下几种： 1 . 观察入门 （1 ）观察数列的变化规律。例 已知数列a n 的前 5项是 1 ，2 ，4 ， 7 ，1 1 ，试写出这个数列的一个通项公式。 审析：易发现相邻两项的后项与前项的差是等差数列，l ，2 ，3 ， 推得，迭加得 十十（）a - a= n- 1a= a +12n- 1=1+ n(n- 1) 2 nn- 1n1 注：数列（a n ）是二阶等差数列。 （3 ）观察方程的结构特征。 （4 ）观察特征数。 2 . 定义运用 数学中的定理、法则都建立在相应的定义和公理的基础上，因此，对一 类问题利用定义解题不失为一种本质的方法。不少学生在解题时能自觉地根 据问题的特点联系相应的定理、法则，但对定义的应用却缺乏自觉的意识。 因此，提高解题速度就须善于对一类问题利用定义解题。 3 . 尝试探求 （1 ）试代验证 （2 ）猜测验证 4 . 逆向探求 5 . 筛选、淘汰 例 设 m 、n为自然数，且 m n ，对于集合 A = 1 ，2 ，3 ，m ，B = 1 ，2 ，3 ，n ，求满足 B C = 的 A 的子集 C 共有多少个？ 审析：逐个考察题中元素淘汰与题设不合的，留下符合条件的重新组合。 解：A 的子集总共有 2 m个，而其中含 1 ，2 ，n 中的自然数组成的集合 与条件不符，而且仅有 n + 1 ，n + 2 ，m中的自然数组成的集合才能满足 B c = ，而这种子集的个数是 2 m - n ，即为所求。 6 . 引人记号（或字母） 例 若 X R ，求证：X 6 - X 3 + X 2 - X 1 O 。 审折：引入“y ”，y = X 3 ，归结为证明关于 y 的二次三项式的值为正。 证明：令 x 3 = y ，记 M = x 6 - x 3 x 2 + 1 = y 2 y + （x 2 - x + 1 ），= （- 1 ）2- 4 （X 2 - X + l ）= （2 X 1 ）22 0 ，而二次系数为正，故 M 0 ，原不等式得 证。 7 . 形数相帮 例 如果方程 X 2 + 2 a X k = 0的两实根在方程 X 2 + 2 a x + a 4 = 0的两实根之 间，试求 a ，k 应满足的关系式。 审析：函数 y 1 = X 2 + 2 a x X + k ，y 2 = X 2 + 2 a x - 4 ）都是开口向上具形状相同又有 公共对称轴的抛物线，把问题归纳为两条抛物线顶点的纵坐标间关系问题， 同时要考察顶点与 X 轴位置关系。 解：设 y 1 = X 2 + 2 a x + k = （x + a ）2 - a （1 ） y 2 = x 2 + 2 a x + a - 4 = （x + a ）2 a 2 + a - 4 （2 ） 满足题设充要条件是抛物线（l ）的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线 （2 ）的顶点、纵坐标。 即 解得 + + ak akaa aka 2 22 2 0 4 4 8 . 利用隐蔽条件 例 求满足下列方程的实数 x ，y ：5 x 2 5 y 2 5 x y 2 y - 2 x 2 = 0 审析：由于该方程是二次方程（或可为无理方程），可能隐含若干个非 负数之和的形式从而通过配方由每个非负数必须为零求解。 解：配方得（x + 2 y 十 2 ）2+ （2 x + y - 1 ）2= 0 ，于是有且只有 x 十 2 y 1 = 0 ， 2 x y - l = 0 ，解得 x = l ，y = - 1 9 . 转换目标 1 0 . 从特殊突破，推出一般 例 已知 6 a 1 0 ，b 2 a ，c = a + b ，那么有（）。 （A ）9 c 3 0 ； （B ）1 5 C 3 0 ； （C ）g c 1 8 ； （D ）9 c 3 0 ； （E ）g c 3 0 。 解：取 a 的临界值代入已知式： a = 6 ，则有 3 b 1 2 ，9 a b 1 8 ； a = 1 0 ，则有 5 b 2 0 ，1 5 a b 3 0 . 推出 g a b 3 0 正确，选（E ）。 怎样寻找解题思路的人日 “万事开头难”，解题也一样，面对一道数学题目，尤其是解那些变式 或综合题，从何处入手找到解题思路的突破口，这是许多学生的一大苦衷。 因此，教师要想学生所想，在解题思路教学中，突出解题思路入口寻找的指 导，使学生在潜移默化中逐步学会寻找解题思路的一般方法，从而顺利地解 题。 l . 抓关键信息 一道数学题中有许多可以利用的信息，有的直露，有的隐晦；有的简单， 有的复杂；有的重要，有的次要、我们应当善于抓住最主要的信息，从关键 处入手，这样往往容易找到解题的突破口。 例 前卫工厂共有工人 1 3 0 0人，如果调走男 1 / 3 ，又调走女 5 0人，这 时男女工人的人数相等。这个工厂原有男、女工各多少人？ 题目的四个主要条件中，“这时男、女工人数相等”是一个关键条件， 首先抓住这个特殊句子下手，再抓住含有分率的句子分析，知道原来男工人 数可以看作“l ”，这样现在男、女工人数的对应分率都是（l - 1 / 3 ），由此 可先求出男工人数；（1 3 0 0 - 5 0 ）（1 - 1 / 3 + 1 ）= 7 5 0 （人），再求出女工人 数：1 3 0 0 - 7 5 = 5 5 0 （人）。 题目中有诸如“相等”、“比多（少）”、“是倍”等特 殊句子，实际上已经暴露了解题的关口。 2 . 抓因果关联 数学应用题中都存在着或明或暗的因果关联，有些题目则更显眼地突出 这种现象，这时应当紧紧抓住“果”去析“因”，便很快可以找到解题的入 口处。 例 一个长方体木料，高增加 2 厘米，就成为一个正方体，这时表面积 增加了 5 6 平方厘米。原来长方体木料的体积是多少？ 抓住“果”（表面积增加 5 6 平方厘米）设问：“表面积为什么比原来增 加了 5 6 平方厘米？”从而找到“因”“高增加了 2 厘米”。 再抓住“果”（就成为一个正方体）设问：原来长方休怎么会变成正 方体的？几个面共增加 5 6 平方厘米？增加的每个面是什么形？ 这样的设问，使题中一系列信息不断发生碰撞，从撞击的火光中解题入 口便暴露无遗： 求出每个长方形的面积求出正方体的棱长求出长方体的长和 宽求出长方体的高求出长方体的体积。即 （5 6 4 2 ）（5 6 4 2 ）（5 6 4 2 - 2 ）2 4 5 （立方厘米） 显然，“求每个长方形的面积”这一判断，就是从题中因果关联分析中 作出的。 3 . 抓结构特征 典型应用题都有其显明的结构特征，这种结构特征能告诉我们解题的关 键，实质上就是暗示了解题思路的突破口，如归一问题的解题关键是先求同 一个单位的数量；平均问题的解题关键是找到总份数对应的总数量；相遇问 题的解题关键是先求出两车速度的和。这些应用题大多可从条件或问题入 手，用分析法和综合法找到解题思路。 抓住算式的结构特征或几何图形的结构特征下手，也是找到解题入口的 通法。 例 计算 4 5 2 8 4 6 7 2 。 看到这种“乘加”结构，立即会联想到乘法分配律的结构，再将式中个 别数据作适当处理，便能找到简便计算入口： 4 5 2 8 + 4 6 7 2 = 4 5 2 8 + 4 5 7 2 = 4 5 1 0 0 + 7 2 = 4 5 7 2 。 4 . 抓部分情节 较复杂的应用题总是由几道简单应用题组合起来的。组合后的应用题不 仅数量关系多了，其情节也繁杂起来，这时应当将有关情节分割开来，暂时 先放弃一部分情节，集中精力找到另一部分情节的解题入口。 例 单独加工一批零件，甲要 8 小时，乙要 1 2 小时，甲乙两人同时合作 加工了 4 小时，这时甲比乙多做 2 5 个零件，照这样计算，完工时两人各做了 多少只？ 这是道情节和关系都比较复杂的综合题。对此宜将原题分割成三个部分 （以完整句划分），对这三个部分到底先从哪个情节入手？显然，只有解决 了第一个情节问题，后两个问题才能迎刃而解。因此，当机立断，从此入手 先求出这样两个有用的结论： 甲比乙每小时多完成几分之几？ 1 8 1 10 1 40 = 甲乙合作几小时完不成？ 1+ 1 10 = 4.8（）（小时） 1 8 第个结论作用于第二部分情节，便可求到这批零件总数： 35-1 10 4=150（） ）（个） 1 8 第个结论作用于第三部分情节，便可求到最后的问题： 1504.8= 90 15O4.8= 6O （）（个） （）（个） 1 8 1 10 上面介绍了四种寻找解题思路入口的常见手段，实际解题时应灵活运 用，有时还应根据具体题目，凭借经验、直觉、灵感等不断尝试、直至获得 成功。 数学归纳法证题步骤与技巧 在数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题。自然数有无限多个， 不可能就所有自然数一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的。但就部 分自然数进行验证即用不完全归纳法得到的结论，又是不可靠的。这就需要 寻求证明这一类命题的一种切实可行而又满足逻辑严谨性要求的新方法 数学归纳法。 1 . 数学归纳法的范围 数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的。因此，数学归 纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。它能帮助我们判断种种与自然 数 n 有关的猜想的正确性。 2 . 数学归纳法两个步骤的关系 第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第 一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无 第一步中，则第二步中的假设就失去了基础。只有把第一步结论与第二步结 论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数 n 都成立。 3 . 第二数学归纳法 第二数学归纳法的证明步骤是： （l ）证明当 n = 1 时命题是正确的； k 为任意自然数，假设 n k 时命题都是正确的，如果我们能推出 n = k 时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。 数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫 做第一归纳法。有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证 明。 4 . 数学归纳法的原理 数学归纳法证明的是与自然数有关的命题，它的依据是皮亚诺提出的自 然数的序数理论，就是通常所说的自然数的皮亚诺公理，内容是： （1 ）l 是自然数。 （2 ）每个自然数 a 有一个确定的“直接后继”数 a ，a 也是自然数。 （2 ）a 1 ，即 1 不是任何自然数的“直接后继”数。 （4 ）由 a = b ，推得 a = b ，即每个自然数只能是另外的唯一自然的“直 接后继”数。 （5 ）任一自然数的集合，如果包含 1 ，并且假设包含 a ，也一定包含 a 的“直接后继”数 a ，则这个集合包含所有的自然数。 皮亚诺公理中的（5 ）是数学归纳法的依据，又叫归纳公理 数学归纳法的应用及举例。 因为由假设知 4 2 k + 1 + 3 k + 2能被 1 3 整除，1 3 4 2 k + 1 也能被 1 3 整除，这就 是说，当 n = k 1 时，f （k l ）能被 1 3 整除。根据（1 ）、（2 ），可知命题 对任何 n N 都成立。 下面按归纳步中归纳假设的形式向读者介绍数学归纳法的几种不同形式 以及它们的应用。 （l ）简单归纳法。即在归纳步中，归纳假设为“n = k 时待证命题成立”。 这是最常用的一种归纳法，称为简单归纳法，大家都比较熟悉，这里不再赘 述。 （2 ）强归纳法。这种数学归纳法，在归纳步中，其归纳假设为“n k 时待证命题成立”。我们称之为强归纳法，又叫串值归纳法。 通常，如果在证明 p （n l ）成立时，不仅依赖于 p （n ）成立，而且还 可能依赖于以前各步时，一般应选用强归纳法，下面举例说明其应用。 例 有数目相等的两堆棋子，两人轮流从任一堆里取几项棋子，但不能 不取也不能同时从两堆里取，规定凡取得最后一项者胜。求证后者必胜。 证：归纳元 n 为每堆棋子的数目。设甲为先取者，乙为后取者。 奠基 n = l ，易证乙必胜。 归纳 设 N n k 时, 乙必胜。现证 n = k l 时也是乙必胜。 设甲在某堆中先取 r 颗，O r k 。乙的对策是在另一堆中也取 r 颗。有 二种可能： （1 ）若 r k ，经过两人各取一次之后，两堆都只有 k - r颗，k - r k ， 现在又轮到甲先取，依归纳假设，乙必胜。 （2 ）若 r = k ，显然是乙胜，证毕。 上述形式的归纳法虽然比较简单，但如使用不当，往往会发生错误，有 两点应注意：第一，在使用归纳假设时防止无形中引入不相干的假设。第二， 在证明过程中应注意数学规律的正确性。下面我们引入一个反例，在这个反 例中，由于错误的证明导致证得了错误的待证命题。 反倒：证明任意 n 条直线均能重合成一条直线。 下面给出错误的证明： 证：奠基 n = 1 时该命题成立。 归纳 利用强归纳法， 可以有如下的归纳假设： 任意 1 条， 2 条， 3 条， ， k 条直线均重合成一条直线，要证 k + 1 条直线也重合成一条直线，设这 k + 1 条直线为 l 1 、l 2 、， l k , l k + 1由强归纳假设得 l1 ， l k 重合为一条直线， 记为 l 。又由强归纳假设得 l 和 l k + 1 重合为一条直线，于是任意 n 条直线便 重合一条直线了。 细心的读者也许已经发现这里的错误了，这是由于错误地使用了强归纳 假设而造成的。具体地说，这是在“l和 l k + 1这两条直线重合为一条直线” 这一点把强归纳假设使用错了。强归纳假设中并没有包含这一条件，因为我 们这里奠的基是 n = l ，因此待证命题 “k + 1 条直线重合为一条直线”要求对于 一切大于等于 1 的 k 成立， 而上面证明中所假设的 l 和 l k + 1 重合为一条直线 实际上是要求 k 2 ，这就是错误的所在。 （3 ）参变归纳法。在待证命题中含有参数的时候，例如 P （u ，n ），则 用数学归纳法证明 P （u ，n ）对一切 n 成立时，在奠基步中，应证 P （u ，0 ） 对一切 u 成立。在归纳步中，假设 P （u ，k ）对一切 u 成立，证明 P （u ，k + 1 ） 对一切 u 成立。这里，“P （u ，k ）”对一切 u 成立称之为参变归纳假设，这 种证明方法叫做参变归纳法，U 起着参数的作用。 例 求证当 n 3 时有 n ( n + 1 ) （n + 1 ）3。 本题证明的困难主要在于归纳步骤，无论采用哪种归纳假设，都难于证 明。如果我们对该待证命题施展一定的技巧，把该式中的部分 n写成 u （视 作参数），部分 n 保持不变，即写成 n u n （u l ）n， 则可用参变归纳法证明当 u n 3 时上式成立，原命题即可得证。 奠基 n = 3 时，对 u 3 的一切 u 均有 右端= 3 u 3 = u 3 + u u 2 u u 3 + 3 u g u u 3 + 3 u 2 3 u + 1 = （u + 1 ）3= 右端 归纳 n = k + 1 时， 左端= （k + 1 ）U k + 1 = u （k + 1 ）u k = （u k 十 u ）u k （u k 十 k ）U k = k （u l ）u k （n + 1 ）（u + 1 ）k = （U l ）k + 1 = 右端。 所以当 u n 3 时，有 n u n （u l ）n。 令 u = n ，上式便为 n n + 1 （n l ）n，即为原不等式，故原不等式得证。 值得指出的是，上面三种形式的数学归纳法，都要求待证命题含有自然 数变元 n ，对 n 施行归纳，n 称为归纳变元，但是在数学的一些分支中，有些 待证命题表面上看来似乎不含自然数变元 n ，但仔细一分析，实际上是含有 自然数变元的，当我们一旦把 n 的含义明确以后，用数学归纳法去证明这些 待证命题就迎刃而解了。举一个简单的例子。 例 证明由a ，b ，c ，d 四个标识符利用+ 、- 运算符组成的任意算术 表达式中，所含标识符的个数一定等于这个表达式中运算符的个数加 1 。 证：设任意的表达式为 f ，而归纳变元 n 为 f 中所含运算符的个数。 奠基 n = 0 ， 则 f 由一个标识符组成 （因为没有运算符），所以命题成立。 归纳 假设 n k时本命题成立，现证 n = k 1时本命题也成立。 f一 定是下述两种情况之一： f 是 f 1 f 2或 f 是 f1 - f 2 。 其中 f 1 ，f 2所含的运算符个数都小于 k l ，对 f1 ，f 2使用归纳假设，可 得 f 1 f 2 ，f 1 - f 2中所含标识符个数也比各自所含的运算符的个数多 1 。 （4 ）广义归纳法。数学归纳法不仅可用于含有自然数变元 n 的命题，经 推广后，还可用于含有某些其它集合上的命题。这种集合，称为归纳集。对 于一个含有某个归纳集上的变元 x 的待证命题 P （x ），所用的归纳法称之为 广义归纳法。 定义：设有一个集合 A ，如果它满足下面三个性质： （1 ）a 1 ，a 2 ，a n是 A 中的元素（n 1 ）； （2 ）如果 x 是 A 中元素，则 f 1 1 （x ），f 1 2 （x ），f 1 n 1 （x ）也是 A 中 的元素（n 、0 ）； 如果 x ，y 是 A 是元素，则 f 2 1 （x 、y ），f 2 2 （x ，y ），f 2 n 2 （x ，y ） 也是 A 中元素（n 2 0 ）； 如果 x 1 ，x m 是 A 中元素，则 f m 1 x l x m ），f m 2 （x l ，x m ），f m n m （x 1 ，x m ）也是 A 中元素（m l ，n m 0 ）。 （3 ）A 中的元素仅限于此。 则 A 称之为归纳集 a 1 ，a 2 ，a n称为该集的开始元素，诸 f i j 称为该集 的生成函数（其中第一下标为该函数的元素，第二下标以区分具有同样元素 的各函数）。 按照上述的定义，自然数集是归纳集，它的开始元素是 0 ，生成函数是 f （x ）= x 1 。 前例中集a ，b ，c ，d 的元素利用“+ ”，“- ”运算所构成的一切表 达式的集合是归纳集，开始元素是是 a ，b ，c ，d ，生成函数为 f 2 1 （x ，y ） = x y ，f 2 2 （x ，y ）= x - y 。 在证明含有某个归纳集 A 上的变元 X 的待证命题 P （x ）时，可用如下的 广义归纳法。 奠基步要证明（a l ），P （a 2 ），P （a n ）成立，这里 a l ，a 2 ，a n 是 A 中的开始元素。 归纳法要证明对于 1 i m 及 1 j n 的所有 i 、 j 对于 A 中的任何元 素 x 1 ，x 2 ， x i ，如果P （x l ）， P （x 2 ）， P （x 1 ）成立，则 P （f i j （x x 1 ， x i ）也成立。在例 4 中，因为表达式所组成的集合是归纳集（记为 A ）， 我们可用广义归纳法证之。 奠基：对于 A 中的四个开始元素 a ，b ，C ，d ，因为它们的标识符个数为 1 ， 而运算符个数均为 0 ，所以命题成立。 归纳：对于 A中的元素 x ，y ，f 2 1 （x ，y ）= x y 中，我们设 x y标识 符个数为 m ，运算符个数为 n ； x 中标识符个数为 m l ，运算符个数为 n l ； x 中标识符个数为 m 2 ，运算符个数为 n 2 ； 则 m = m l + m 2 = （n 1 + 1 ）（n 2 + 1 ） （n l + n + 1 ）+ 1 = n + 1 . 同理可证 f 2 2 （x ，y ）= x - y也有如上的结果，故依广义归纳法，本命题 成立。 推广与归纳中的退缩策略 在数学问题学习中常常可把问题条件适当地加强或减弱，把结论引入更 加特殊化或更为普遍化，在这样的变化中，寻找它们的规律来解决已知与未 知的逻辑联系。由一类对象或一个范畴过渡推广到更广泛的一类对象或更广 的范畴的研究。反之，就过渡退缩到更狭一类对象或更小范畴的研究。 l . 以“点”带“面”。 在数学归纳法中，我们在验证了 n = 1 回后，不是急于进，而是先退一退。 再继续考察 n = 2 ，3 的情形。因为开始几步的验证，往往给我们以许多重要的 启示，如果把这几个“点”的问题弄清楚，那么整个“面”上的归纳过渡的 办法便在不言之中了。 在上面的论证中，n = 2的验证并没有在归纳假设中发挥作用，但为什么 我们还要退下来验证呢？因为它启发我们如何将（a 1 - a 1 2 ）改写成一种便于 利用归纳假设的形式，而这种启发对于在“面”上实现归纳过渡是非常重要 的，可见，对 n = 2 这个“点”的情况的考察是必要的。 2 . 分段归纳 当我们从整体上应用归纳假设比较困难时，不妨退一退，将整体分成部 分，在部分上应用归纳假设，这种归纳的方法也称为分段归纳法。 值得一提的是，如果将该命题推广到三维空间，我们同样可用分段归纳 法加以证明。用分段归纳法也可证明第一个例题。 3 . 减元过渡 为了实现归纳过渡，我们根据证明需要，减少一些元的个数，这也是一 种退的策略。 例 在一块平地上站有 n 个人，对每个人来说，他们到其他人的距离均 不相同，每人都有一支水枪。当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他最 近的人，证明当 n 为奇数时，其中至少有一人身上是干的。 证：当 n = 1 时，结论显然成立。设命题对 n = 2 k - 1 成立，下证当 n = 2 k 1 时命题也成立。设 A 与 B 两人之间的距离在所有的两人间的距离中为最小， 撤出 A 、B两人，则由归纳假设知，在剩下的 2 k - 1个人中间，至少有一人 C 的身上是干的。再把 A 、B 两人加进去，由于 A C A B ，B C A B ，所以，A 、B 两人都不会用水枪去击 C ，从而 C身上仍然是干的，所以对一切奇教 n命题 都成立。 这里先撤出两人的目的是为了利用归纳假设，之所以撤出 A 、B 两人，是 为了方便地把他们加进去，先退而后进，使问题顺利地得到解决。 4 . 削弱命题 所谓削弱命题，就是先证明一个较原命题为弱的命题，然后以 此为坯础 再去解决原命题，从而起到减小难度，分散难点的作用，其目的仍是退中求 进。 例 设函 f 对一切自然数 n 都有定义，f （n ）皆为自然数，且有 f （n + 1 f （f （n ），证明对一切自然数 n 都有 f （n ）n 。 证明：我们先来证明一个较弱的命题： 命题 A . 若自然数 m n ，则有 f （m ）n 。在证得这个命题（A ）后，再 设法证 f （n ）= n 。 对 n 使用数学归纳法。 当 n = l 时，对一切自然数 m 1 ，都有 f （m ）1 ，命题（A ）成立。 假设当 n = k 时，命题（A ）成立。下证当 n = k l 时，命题（A ）也成立。 即证对一切 m k + l 都有 f （m ）k l 。 由 m k + 1 得 m k ，应用归纳假设有 f （m - l ）k 。注意到 f （m - 1 ）也 是一个自然数，于是再次应用归纳假设，有 f （f （m - l ）也是一个自然数， 于是再次应用归纳假设，有 f （f （m 1 ）k ，结合题目条件，即得： f （m ）= f （m - l ）l ）f （f （m - l ）k 。 即然 f （m ）是大于 k 的自然数，当然就有 f （m ）k + 1 。 所以当 n = k + 1 时，命题 （A ）都成立。这样我们便证明了对一切自然数 n ， 命题（A ）都成立。下证对一切自然数 n ，都有 f （n ）= n 。 在命题（A ）中，取 m = n ，即得 f （n ）n 。 结合题目条件和不等式（* ），又有 f （n 1 ）f （f （n ）f （n ） 这表明 f 严格单调上升，且有 n 1 f （n ），与（* ）联立，即得 n f （n ）n + 1 。 既然 f （n ）是自然数，故知必有 f （n ）= n . 5 . 程式变通 我们知道，教学归纳法有两个基本步骤，这就是先对 n 的一切具体的数 值验证命题能否成立，接着再试图在“命题已对 n 的较小值成立”的前提下， 推出它对 n 的较大值也成立。这两个步骤缺一不可，丝毫没有通融的余地。 但是，有时为了便于实现归纳过渡，顺应问题的具体特点，在不违背数 学归纳法基本规则的前提下，灵活实施变通，这也是一种退中求进的思维策 略。 例如，数学归纳法的最基本的形式是： （1 ）验证命题对最初的一个 n 值成立，通常是对 n = 1 验证； （2 ）在假定 n = k 时命题成立的前提下，验证当 n = k + 1 时命题也成立，通 常称这种形式为归纳法第一归纳法； 除此之外，数学归纳法还有许多变通的形式，如第二归纳法，逆向归纳 法，跳跃归纳法，翘翘板归纳法等。 类比推理与似真推理 类比推理是根据两个或两类对象在某些性质上相同，推断出它们在另外 的性质上也相同的一种逻辑推理，类比推理、归纳推理部是似真推理，它具 有宏观性及主观性，但对发现数学规律，提供了极其重要的思想方法。 类比推理用的是类比方法，类比法是根据两类对象有部分属性相同或类 似，从而推想它们的其他属性也可能相同或类似的推理。是由特殊到特殊的 推理方法，具有假设、猜想成份，包含比较、联想等心理因素。 又例如，分割空间的问题，一个平面将空间分成两部分，两个平面最多 将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分，如果十个平面最多将 空间分成几部分？这个问题已比较难用直观模型加以分析归纳了。 我们可以用点分线段、直线分平面区域作类比推理，去寻找共同规律。 由于点分线段。直线分平面区域规律是真的，那么类比得出平面分空间规律 是似真的，为进一步推理探求论证规律提供了基础，列表对照如下： 数学抽象与概括方法 所谓抽象，是指从复杂的事物中，排除非本质属性，透过现象抽出其本 质特征的思维过程，通过科学的抽象，人们就能更深刻、更正确、更完全地 把握事物的内部联系和本质特性。抽象是数学中常用且不可少的思维方法。 所谓概括，就是将个别事物的本质特征综合起来推广到同类事物的思维 过程。在数学中概括是构成概念的一种重要方法，它和抽象相互联系，密不 可分。 事实上，数学中的任何一个数、一个算式、一种运算、每个概念、公理、 定理、法则和有关的数学模型，无一不是抽象、概括的结果。其中，大多数 概念是从直接观察事物的现象中抽象出来的。它是对事物所表现出来的特征 的抽象，故称之为“表征性抽象”。如点、线、面、体、正方形、立方体、 回转体等均属此类。而数学公理、原理、公式等，乃是在表征性抽象的基础 上形成的一种深一层的抽象，它揭示了事物的因果性和规律性联系，故称之 为“原理性抽象”。 至于与抽象相联系的概括，在数学中常常用于把某类事物的部分个体所 具有的特性推广到该事物的全体上去，或是把某个特定领域的规律推广到其 它领域中去。这种概括称之为“外推性概括”，对于数学概念，则常常是采 取由对单一的某个事物的认识，直接上升概括为一种具有普遍性规律的认 识，这种概括称之为“上升性概括”。 由于我们数学学习所认识的对象，主要是已经被前人抽象、概括了的间 接知识，尽管它们无需我们再去抽象、概括，但是我们必须要在数学的学习 过程中，去分析、研究，弄清它们是如何抽象、概括出来的，不仅仅限于去 学习这些知识，重要的是要去学习这种抽象概括的思想方法，必须学会摆脱 具体内容，从各种概念、关系运算、定理的结构中去分析，被扬弃的非本质 属性是哪些？抽出的本质特征又是什么？又是怎样去概括这些本质特征的？ 自己也可以选择一些适当的事物做这种抽象、概括方法的训练，通过这样的 深究分析，便可在学习活动中逐步培养抽象、概括的能力。 下面，我们看一个对现实世界中的具体问题，通过抽象、概括归结出一 个相应的“数学模型”的生动、有趣的典型例子。 哥尼斯堡七桥问题 1 8 世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格尔河横贯城区。这条河流有两条支 流，在城中心汇成大河，中间是岛区。两个岛与河两岸建有七座桥把它们联 系起来（如图所示）。 哥尼斯堡的大学生们提出这样的问题：一个人能否从任何一处为出发 点，一次相继走遍这七座桥，且每桥只能走一次，然后重返到起点。即所谓 七桥问题。 大学生们现场进行了多次步行尝试，终无一人取得成功。于是他们就写 信给当时著名的大数学家欧拉，请他帮助解决这个问题。 1 7 3 6 年欧拉研究了这一问题。他把人们步行过桥的问题，抽象成为一个 “一笔画”问题。他是这样想的：岛 B 与半岛 D 无非是桥梁的连接地点，两 岸陆地 A 与 C 也是桥梁通往的地点，这就不妨把这四处地点缩小，抽象为四 个点 A 、B 、C 、D ，而把七座桥抽象成七条线段，显然未改变问题的实质。这 样，原来的七桥问题，就抽象、概括成：能否一笔且无重复地画出图中右边 图形的问题。这个一笔画的几何图形，就是“七桥问题”的数学模型。这个 问题在拓扑学的历史发展中占有重要的地位。 接着，欧拉考虑了“一笔画”的结构特征。按照“一笔画”中每一点交 会的曲线段数的奇、偶数来分，有： 至多有两个点（即起点和终点）有可能通过奇数条曲线段； 其它的任何一个中间点（交点），每次总是沿着一条曲线段到达这点， 紧接着又必须沿另一条曲线段离开这点（用以满足“无重复”的要求）。因 此，在这些中间点交会的曲线段必为偶数条； 由于现在所要做的是封闭图形（即终点与起点必须重合），因此，可 以一笔且无重复地画出某一图形的条件（充要条件）是：图中各中间点的曲 线段总是偶数条。 然而，现在得出的图形中的四个交点 A 、B 、C 、D 处所通过的曲线段都是 奇数条，这就不符合“一笔画”所具有的特征。因此，可以断言这一图形是 不可能一笔且无重复地画出。也就是说，所提的“七桥问题”不可能实现。 可以看出，欧拉正是运用了数学抽象的方法，把具体的“七桥问题”概 括为一种数学结构关系，即相应的数学模型。这种数学结构（或数学模型）， 已经扬弃了具体事物中的非木质属性（如岛、河岸、桥等等），仅保留了对 象的量的特征。这种通过抽象、概括以建立客观事物的数学模型（即数学关 系结构）来揭示事物的本质特征及规律的方法，叫“数学模型方法”。 “七桥问题”的模型化方法的思路，可用下列框图表示：分析综合策略 及证题方法 分析与综合是抽象思维的基本方法，也是数学学习中最基本的方法。它 们同对比、分类、类比、归纳和演绎等方法并不是相互平行、完全独立的， 而是彼此联系、相互渗透的，在类比和归纳中要运用分析，在比较分类中就 有综合；而分析综合中又离不开比较、归纳和演绎等。 所谓分析，是将被研究对象的整体分为各个部分、方面、因素和层次， 并分别加以考察认识的一种思维方法，即由整体分解为部分的一种思维方 法，从心理学的角度看，分析过程是当划分的对象刺激大脑皮层时，引起大 脑皮层的兴奋和抑制，大脑皮层的兴奋和抑制就是分析的心理过程的生理基 础，从而把被认识的对象划分出不同的个体形式。 所谓综合，是将已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次的 认识联结起来，形成一个整体认识的一种思维方法，即由部分联合为整体的 一种思维方法。从心理学的角度看，综合过程是把分析过程大脑皮层的兴奋 和抑制的暂时神经联系接通，这两种神经联系的接通就是综合的心理过程的 生理基础，它把分析出来的不同的个体形式联合起来。 分析与综合是对立的统一，它们互相依存、互相渗透、互相转化。思维 既把相互联系的要素联合为一个统一体。同样也把意识的对象分解为它的要 素。没有分析就没有综合。分析的结果，也就是综合的出发点。科学认识的 发展总是沿着分析综合新的分析新的综合的轨道不断前进 的。 在逻辑学中，分析与综合都是思维的方法、发现的方法，是创造性思维 形式的要素，而不是证明的方法，应和数学中讲的两种推理和证明的方法： “分析法”和“综合法”有所区别。分析与综合虽然不是完全独立的思维方 法，但鉴于它们不仅是科学研究的方法，而且也是一种学习方法，并具有其 心理特征。为了在数学学习中更好地理解和运用分析与综合的抽象思维方 法，特对它们作些必要的单独讨论。 在数学学习中，把分析与综合的思维方法运用到逻辑证明上，就形成了 数学证明中的分析证法与综合证法。 1 . 分析证法 所谓分析证法（简称分析法），是从未知到已知的证明方法，其证明过 程是由“题断”出发，逐步逆追这个结论成立的条件，直到最后找到已知的 “题设”。由于它是从结果逆追到产生这一结果的原因的一种思维方法，故 也可称为“执果索因法”。由于它的思考顺序是执果索国，因而它是从结论 出发去步步寻找结论成立的充分条件。其证明模式为“要证，只须 证”，人们常用分析法来寻找解题思路，特别是在解应用题、证明几何 题和证明三角函数恒等式时用得较多。 若在推理过程中步步可逆时， 即任何两个相邻的论断都互为充要条件 （它 们互为等价命题）时，把这种特殊情况下的分析法称为“逆证法”。它在代 数恒等式及不等式的证明中常常用到。 但由于不能由推出，即仅是成立的必要条件，而不充分，即 与不是互为充要条件，它们不可逆，故不能用逆证法。 由此可见，逆证法仅是分析法的一种特例，而分析法并不是逆证法。 2 . 综合证法 所谓综合证法（简称“综合法”），是从已知到未知的证明方法，其证 明过程是由“题设”出发，逐步推导到这个题设可能得出的结论，直到最后 推出未知“题断”为止。由于它是从原因推导到由原因产生的结果的一种思 维方法，故也可称为“由因导果法”。由于它的思考顺序是“由因导果”， 因而它是从题设和已知的正确命题出发，步步寻找其必要条件，直至得到探 求的正确结论。其证明模式为：“因为，所以”。鉴于从平几学习 开始，这种综合法我们已做过许多次的训练，较为熟悉，就不再赘述。 相对比较这两种方法的应用，分析法的优点是推理方向明确，充分条件 易于寻找，但因是逆向思维，故容易叙述不清，且书写格式较繁；综合法的 优点是顺向思维，书写证明简洁清晰，但正确推理思路不易寻找，容易导致 错误思路，因此，学习时我们最好兼取二者之长：用分析法来帮助寻找正确 的解题思路，而用综合法来书写其证明过程。 3 . 分析综合证法 分析法和综合法，可以概括为“执果索因”和“由因导果”，难度较大 的题目单一地使用分析法或综合法去寻求解题思路难以奏效，而将两者结合 起来，交替使用，时而“由因导果”，由已知看可知，再推可知，；时 而“执果索出”，由未知寻需知，再找需知，。直至最后沟通可知与需 知的渠道，解题途径也就找到了。 转化策略与解题九法 有时解一个数学题，不直接解原题目，而将题进行转化，转化为一个已 经解决的或比较容易解决的数学题，从而使原题得到解决。 比如，对题目 A 常常有以下两种转化形式： A B C G H ； A B C G H 。 转换这种重要的思维策略有着广泛的应用，这首先取决于数学本身是客 观世界的空间形式和数量关系的反映，矛盾与对立不断地处于转化与统一之 中，在数学知识体系中充满了转换：通过符号法则，有理数四则运算就转换 成算术运算；解方程就是应用消元、降次的方法的一种转换；平面图形通过 延拓、折迭构成了空间形体；而空间中的问题通常要转换成平面的来研究； 在证明了两角和的余弦公式后通过对角的转换可以得到一系列的和角、差 角、倍角、半角的三角函数公式。在解题中转换更是一种重要的策略和基本 的手段。通常的转换有厂面几种。 1 . 把需要解决的问题从一个陌生的情境转换成熟悉的、直观的、简 单的问题 例 一个街区有 5 条横街 5 条纵街，一个人从左上角 A 处出发依最短途 径走到右下角 B 处，共有多少种不同的走法？ 评析：如果要具体计算各种不同的走法，将