反三角函数与简单三角方程_(2).doc
1、反三角函数：概念：把正弦函数，时的反函数，成为反正弦函数，记作.，不存在反函数.含义：表示一个角；角；.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数增奇函数增函数反余弦函数减非奇非偶减函数反正切函数R 增奇函数增函数反余切函数R 减非奇非偶减函数其中： （1） 符号arcsinx可以理解为，上的一个角(弧度)，也可以理解为区间，上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为0，上的一个角(弧度)，也可以理解为区间0，上的一个实数； （2） yarcsinx等价于sinyx, y，, yarccosx等价于cosyx, x0, , 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, 的运用的条件； （4） 恒等式arcsinxarccosx, arctanxarccotx的应用。2、最简单的三角方程方程方程的解集其中：（1）含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若，则；若，则； 若，则；若，则； （4）会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。例题精讲例1. 分析与解：例4.分析与解：例5. 分析与解：例6.使成立的x的取值围是( )分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值围，故需把x从反三角函数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。例7. 分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域。例8.求值：(1) (2)分析：问题的关键是能认清三角式的含义与运算次序，利用换元思想转化为三角求值。解：例9.知函数（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式： 解：（1）由得 又的定义域为，值域为又时，单调递减，单调递减，从而递增的单调递增区间是，同理的单调递减区间是（2）即 解不等式组得不等式的解集为简单的三角方程例1.写出以下三角方程的解集(1); (2); (3)解集x|x=(k+arctg3)2，kZ例2.求方程在上的解集.说明 如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解例3.解方程解：方程化为说明 可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解例4. 解方程除以cos2x化为2tg2x-3tgx-2=0 说明 关于sinx，cosx的齐次方程的解法：方程两边都除cosnx(n=1，2，3，)(cosx=0不是方程的解)，转化为关于tgx的方程来解例5.解方程：(1) (2)思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程2x-30°=k180°+(-1)k30°x=k90°+(-1)k15°+15°(kZ)所以解集是x|x=k90°+(-1)k15°+15°，kZ于是x=k60°+(-1)k10°+22°38，(kZ)原方程的解集为x|x=k60°(-1)k10°+22°38，kZ最简单的三角方程例6.解方程解原方程可化为，即解这个关于的二次方程，得，由，得解集为；由，得解集为所以原方程的解集为说明方程中的可化为，这样原方程便可看成以为未知数的一元二次方程，当时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解拓展提高例1.若方程存在实数解，求的取值围解一 由原方程，得 ，即 解这个以为未知数的一元二次方程，因为要使方程有解，只需解得所以的取值围为说明有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以为未知数的一元二次方程的，而且必须考虑的值在解二 由原方程得 ， 得因为，所以所以的取值围为说明 当方程有解时，必须满足，则原题就转化为求的最大值、最小值问题例2.求方程的解集解一由原方程得，得，由，得解集为；由，得解集为所以原方程的解集为解二由原方程得，即得或，即或，所以原方程的解集为解三由原方程得，即得或，即或，所以原方程的解集为说明 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解（1），则或；（2），则或；（3），则巩固练习反三角函数1.的值是 ( )A. B. C. D.2.以下关系式中正确的是 ( )A. B. C. D.3.函数的定义域是 ( )A. B.C. D.4.在上和函数相同的函数是 ( )A. B. C. D.5.函数的反函数是.6.求在上的反函数.7.比较与的大小.8.研究函数的定义域、值域与单调性.9.计算:10.求以下函数的定义域和值域： (1) yarccos; (2) yarcsin(x2x); (3) yarccot(2x1), 解：(1) yarccos, 0<1, x1, y0, ). (2) yarcsin(x2x), 1x2x1, x, 由于x21(x)2, 1x2x, yarcsin. (3) yarccot(2x1), 由于2x1>1, 0< arccot(2x1)<, xR, y(0, ).11.求函数y(arccosx)23arccosx的最值与相应的x的值。 解：函数y(arccosx)23arccosx, x1, 1, arccosx0, 设arccosxt, 0t, yt23t(t)2, 当t时,即xcos时, 函数取得最小值， 当t时,即x1时，函数取得最大值23.简单的三角方程1.解以下方程.(1) (2)(2)5x=2k+3x或5x=2k+-3x或2.方程sin2xsinx在区间(0, 2)的解的个数是 3个 . 解：作出函数ysin2x和ysinx的图象，由图象知，它们的交点有3个。3.(1) 方程tan3xtgx的解集是x| xk, kZ. (2) 方程sinxcosx在区间0, 4上的所有的解的和是 9.4.解方程解一因为（使的的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以，得解关于的二次方程，得，由，得解集为；由，得解集为所以原方程的解集为- 13 - / 13
