2021七年级数学下册 1.2 幂的乘方与积的乘方深度解析（教材知识详析+拉分典例探究+误区警醒+知能提升训练+探究创新+迷你数学世界pdf） （新版）北师大版.pdf
幂的乘方与积的乘方学 习 目 标 导 航能区别幂的乘方与同底数幂的乘法能用幂的乘方及积的乘方进行求值运算并能解决实际问题教 材 知 识 详 析要点幂的乘方法则(重点)()法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘()公式:(am)namn(a,m,n为正整数)()推广:(am)n)pam n p()误区:(am)namn归纳整理:()幂的乘方的结果的底数与原来的底数相同,指数是原来幂的指数与乘方的次数的乘积,即(am)nam n()幂的乘方(am)nam n,显然这个等式也可以写成am n(am)n(an)m,这就是法则的逆向应用()幂的乘方应与同底数幂的乘法区别开来,前者是(am)nam n,后者是amanamn,即若幂做三级乘方运算,则指数做二级乘法运算;若幂做二级乘法运算,则指数做一级加法运算()“幂的乘方”与“同底数幂相乘”最容易混淆,为了弄清它们的关系,列表如下:法则名称条件结论公式运算的变化同底数幂相乘同 底 数 的幂相乘底数不变;指数相加amanamn由 幂 相 乘 降 为指数相加幂的乘方幂的乘方底数不变;指数相乘(am)nam n由 幂 的 乘 方 降为指数相乘例用两种方法计算下列各题:()(a)(a);()(x)(x)精析:本题的计算既要用到幂的乘方法则,又要用到同底数幂的乘法法则这里要求用两种不同的方法,即依次运用这两个法则计算时要注意由于指数的概念不清可能发生的错误,此题就是为纠正可能把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆而设置的纠正错误的方法是注意每一项得来的依据,在理解的基础上进行练习,做到计算熟练、正确解答:()方法一:先利用同底数幂的乘法,再利用幂的乘方(a)(a)(a)(a)a 方法二:先利用幂的乘方,再利用同底数幂的乘法(a)(a)aa a a()方法一:先利用幂的乘方,再利用同底数幂的乘法(x)(x)x x x x 方法二:先利用积的乘方,再利用同底数幂的乘法和幂的乘方(x)(x)(xx)(x)(x)x 此例可以视a,x,x为一整体来解题,也可以把底数看作a,x来解题要点积的乘方法则(重点)积的乘方,等于各个因式的乘方的积,即(a b)nanbn(a b,且n为正整数)()法则:积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘()公式:(a b)mambm(n为正整数)()推广:(a b c)mambmcm()误区:(a b c)ma b cm归纳整理:()积的乘方是指底数是乘积形式的乘方,如(a b)n表示a与b的积的乘方即(a b)nanbn(n为正整数)()积的乘方法则中的底数的因式可以是单个数字或字母,也可以是单项式或多项式,因式的个数也可以推至多个,即(a b c)nanbncn(n为正整数)()积的乘方是幂运算中的一个重要的运算律,应注意运用,特别是逆向运用,这样可以使计算简便,因为运算法则改变了计算顺序,从而简化了计算过程例计算:()();()(a)a(a)a(a)精析:()底数是用科学记数法表示的,结果也可以用科学记数法表示,但要注意格式;()分清幂的乘方与同底数幂相乘,不可混淆两者运算法则解答:()()();()(a)a(a)a(a)()(a)a(a)(a)aaa aaa a a()科学记数法a n的a满足a;()先乘方再乘除后加减括号优先,同级运算按从左到右的顺序要点巧妙地运用幂的乘方与积的乘方来解决问题(难点)()解答时,对每个题,要先观察,识别题型,以便正确地使用幂的乘方法则、积的乘方法则;()对所学的有关图形的面积公式、几何体的体积公式要熟练掌握,避免发生错误例一个棱长为 个单位的正方体,在某种物质的作用下,体积以每秒扩大到原来的 倍的速度膨胀求 秒后该正方体的体积精析:根据正方体的体积公式及本题的数量关系,不难列式,再运用幂的乘方的性质运算解答:V()()(立方单位)故 秒后这个正方体的体积为 立方单位本题是幂的乘方以及同底数幂相乘运算的综合运用,在计算的过程中,要注意运算的顺序,以及“扩大到”和“扩大了”的区别要点法则的逆向运用()amnaman(m,n为正整数)()am n(am)n(an)m(m,n为正整数)()anbn(a b)n(n为正整数)法则逆向运用时要注意以下几点:()将一个数的正整数次幂拆成同底的两个正整数次幂的积,即将指数分拆成两个正整数的和;()将指数拆分成两个正整数的积,在拆分时要注意已知条件和数据特征;()两个幂的指数必须相同,计算时要注意变形例已知 m,n,求 mn的值精析:在我们所学知识的范围之内,无法直接求出m,n的值,但本题可以逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则,即amnaman及am n(am)n(m,n都是正整数),将问题转化解答:mn m n(m)(n)将所求代数式化为符合幂的运算法则的形式是综合正、逆用幂的运算法则的关键拉 分 典 例 探 究综合应用例(要点)已知mn,求m n的值精析:m n并不符合同底数幂的乘法,但 可以化成以为底的幂的形式,这样就可以把所求式转化以为底的幂相乘的形式解答:由已知mn,得mn,(mn),即mn,所以m nm()nmnmn 技法规律:解决有关代数式的求值问题的关键是将需求值的代数式化为幂的形式,然后将已知代入即可求得结果,有时需把某个代数式看作一个整体,代入要求的代数式,可使问题简化例(要点)若a,b,c,则a,b,c的大小关系是()AbcaBabcCcabDabc精析:各个幂的指数均有因数,因此将各个幂化成a 的形式,比较底数即可设法将a,b,c的指数变成一样的,因,的最大公约数是,故a(),b(),c()显然,故bca选A解答:A归纳演绎:三个底数虽不同,但指数均有因数,然后逆用了amanamn;(am)n(an)m的性质,抓住其特点可使难题变易探究创新例(要点)计算:()()精析:在此题的求解过程中巧妙地运用了积的乘法运算一般地,当两个或多个不同的数的幂相乘时,如果底数相乘结果为或时,通常采用此种解法解答:()()()()()()()()()()归纳演绎:逆用积的乘法运算是解题的关键例(要点)若n为正整数,且an,求(an)(a)n的值精析:此题应先利用积的乘方计算,再利用幂的乘方计算,而且本题巧妙的运用了(an)an(an),(a)nan(an)解答:(an)(a)nanan(an)(an)技法规律:将未知转化为已知,充分利用已知条件解题,如本题将(an)转化为(an)误 区 警 醒【误区】幂的乘方与同底数幂相乘相混淆例计算:(x)错解:(x)xx 正解:(x)xx 警醒:(x)表示有个x相乘,此时视x为一个整体,幂的乘方法则与同底数幂相乘法则要进行比较记忆,防止相混淆【误区】积的乘方时系数或符号易出错例计算:(a b)错解:(a b)ab;或(a b)ab正解:(a b)ab警醒:积的乘方是指底数是乘积形式的乘方,系数与字母均要乘方,要防止计算时诸如()之类的错误发生知 能 提 升 训 练夯基固本(要点、)(x);(x)(要点、)(a);(a)(要点、)(a);(a)(要点、)xm(m)()m(要点)若xm,则xm(要点、)(x y);()(要点、)下列计算正确的是()A(xm)nxmnB(a)aC(m)m D(b)b(要点、)计算(a b)的结果是()Aa bBa bCabDab(要点、)给出下列四个算式:;()();();()()其中计算结果等于的是()ABCD综合应用(要点)计算(a)(a)的结果是()Aa Ba Ca Da (要点、)计算:()(x)(x)(x);()(a)(b);()(abc);()(a)(a)(a)(a);()(x)(x)(x)(x);()();()();()()();()()(要点)计算:(x)(xx)x x x xx(要点)已知 x,y,求 xy的值(要点)已知ax,ay,求:()axy;()axy探究创新(要点、)比较大小 ,(要点、)已知,观察上面算式的规律,试判断 的个位数字是多少(要点)用简便方法计算:()()答案全析全解 xxa a aaxm xy B D B B()()a b()a bc()a()x()()()()x ()()()()()()()()()迷 你 数 学 世 界已知a ,b ,c,比较a,b,c的大小精析:本题个幂的底数或指数皆不相同,故不可直接比较若逆用幂的乘方法则,将其转化为底数相同或指数相同的情况,则问题迎刃而解解答:a (),b (),c(),abc幂的大小比较策略有多种,根据题目特点,选择合适的方法一般地,指数比较法、底数比较法、作商比较法常常要逆用幂的运算性质P 做一做()();()(a)aaaaa;()(am)amamammamam;()(am)nam n不变相乘P 随堂练习()()a()x P 习题()()()a()b()yn()bn()xn(p)()a()tm()()错误,应该为(x)x;()错误,应该为aaa P 做一做()()mm()nn各个因式的乘方的积P 随堂练习()n()xy()aP 习题()b()ab()a()yz()xmym()pnqn()xynxnyn()x()错误,应为ab;()错误,应为pq略太阳 的 半 径 约 是 地 球 半 径 的 倍,那么太阳的体积约是地球体积的()倍,又地球的体积约为 k m,故太阳的体积约是 (k m)();()anbncn
