2010年高考数学压轴题系列训练二 doc--高中数学 .doc
永久免费组卷搜题网2010年高考数学压轴题系列二1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ³ a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n)2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为1，1，且满足：f (1) = f (1) = 0 ，对任意u ,vÎ1，1，都有|f (u) f (v) | | u v | .(1) 判断函数p ( x ) = x2 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ¹ 1)的图象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).(1) 求证：| ac | ³ 4;(2) 求证：在(1，+）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.4（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中R，i=0,1,2,3,4），当x= 1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称（1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（3） 若，求证：5（本小题满分13分）设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程6（本小题满分12分）过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.7（本小题满分14分）设函数在上是增函数.（1） 求正实数的取值范围；（2） 设，求证：8(本小题满分12分)如图，直角坐标系中，一直角三角形，、在轴上且关于原点对称，在边上，的周长为12若一双曲线以、为焦点，且经过、两点(1) 求双曲线的方程；(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由9(本小题满分14分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；(3) 求证：，（）来源:学。科。网2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n ³ a , 证明f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n)解: (1) fn ( x ) = nx n 1 n ( x + a)n 1 = n x n 1 ( x + a)n 1 , a > 0 , x > 0, fn ( x ) < 0 , f n ( x )在（0，+）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于x的减函数, 当n ³ a时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n £ n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n < ( n + 1 ) nn ( n + a)n = ( n + 1 ) nn ( n + a )( n + a)n 1 2分( n + 1 )fn(n) = ( n + 1 )nn n 1 ( n + a)n 1 = ( n + 1 )n n n( n + a)n 1 , 2分( n + a ) > n ,f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n) . 2分2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为1，1，且满足：f (1) = f (1) = 0 ，对任意u ,vÎ1，1，都有|f (u) f (v) | | u v | .(1) 判断函数p ( x ) = x2 1 是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v Î 1，1， |p(u) p (v)| = | u2 v2 |=| (u + v )(u v) |，取u = Î1，1，v = Î1，1, 则 |p (u) p (v)| = | (u + v )(u v) | = | u v | > | u v |，所以p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若u ,v Î 1，0，则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；20. 若u ,v Î 0，1， 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，满足题设条件；30. 若uÎ1，0，vÎ0，1，则： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 若uÎ0，1，vÎ1，0, 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ¹ 1)的图象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).(1) 求证：| ac | ³ 4;(2) 求证：在(1，+）上f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.证：(1) tÎR, t ¹ 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 ³ 0 ， c ¹ 0, c2a2 ³ 16 , | ac | ³ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 设1 < x1 < x2, 则f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 < x1 < x2, x1 x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,f (x2) f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , x ³ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ( x ) = > 0 得x ¹ 1, x > 1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）f ( x )在x > 1时单调递增，| c | ³ > 0 , f (| c | ) ³ f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.4（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中R，i=0,1,2,3,4），当x= 1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称（4） 求f (x)的表达式；（5） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（6） 若，求证：解：（1）5分来源:Zxxk.Com （2）或10分 （3）用导数求最值，可证得15分5（本小题满分13分）设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程解：设点的坐标则1分 3分 由（1）（2）可得6分 又MNMQ，所以 直线QN的方程为，又直线PT的方程为10分 从而得所以 代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.13分6（本小题满分12分）过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设由得：来源:学&科&网Z&X&X&K3分直线PA的方程是：即 同理，直线PB的方程是： 由得：点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得： 10分 所以来源:学科网ZXXK故存在=1使得12分解法（二）：（1）直线PA、PB与抛物线相切，且直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得：10分来源:学#科#网Z#X#X#K故存在=1使得12分7（本小题满分14分）设函数在上是增函数.（3） 求正实数的取值范围；（4） 设，求证：解：（1）对恒成立，对恒成立又 为所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函数，即8分另一方面，设函数在上是增函数且在处连续，又当时， 即综上所述，14分8(本小题满分12分)如图，直角坐标系中，一直角三角形，、在轴上且关于原点对称，在边上，的周长为12若一双曲线以、为焦点，且经过、两点(1) 求双曲线的方程；(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 设双曲线的方程为，则由，得，即（3分）解之得，双曲线的方程为（5分）(2) 设在轴上存在定点，使设直线的方程为，由，得来源:学_科_网Z_X_X_K即（6分），来源:学_科_网Z_X_X_K，即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得来源:学科网其中且，即且 （10分）代入，得，化简得 当时，上式恒成立因此，在轴上存在定点，使（12分）9(本小题满分14分)已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记(1) 求；(2) 试比较与的大小（）；来源:学科网ZXXK(3) 求证：，（）解：(1) ，来源:学科网，得，来源:学.科.网即（3分）在中令，可得是首项为，公比为的等比数列，（4分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由(2)知 ，（）当时，（10分）（当且仅当时取等号）另一方面，当，时，来源:学科网ZXXK，（当且仅当时取等号）（13分）（当且仅当时取等号）综上所述，（）（14分） 永久免费组卷搜题网
