专题08 一元二次方程-走进新高一之2021年暑假初升高数学完美衔接课（解析版）.docx

一元二次方程1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般式：.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根.5.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程的实数根分别为、，则，.一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个：（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；（2）根据系参数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题；（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.例1：根的判别式的应用（1）（2）【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.【解析】（1）在中，方程有两个不相等的实数根；（2）方程是一元二次方程，常数项为0，无论取任何实数，均为非负数，故方程有两个实数根.例2：根的判别式的逆运用关于的一元二次方程.（1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）k为何值时，方程没有实数根？【解答】见解析【解析】.（1）方程有两个不相等的实数根，即，解得；（2）方程有两个相等的实数根，即，解得；（3）方程没有实数根，即，解得.例3：通过根的判别式推理论证求证：关于的方程没有实数根.【解答】见解析【解析】不论m取任何实数，即，巩固练习一选择题1已知一元二次方程a（x+m）2+n0（a0）的两根分别为3，1，则方程a（x+m2）2+n0（a0）的两根分别为（）A1，5B1，3C3，1D1，5【解答】B【解析】一元二次方程a（x+m）2+n0（a0）的两根分别为3，1，方程a（x+m2）2+n0（a0）中x23或x21，解得：x1或3，即方程a（x+m2）2+n0（a0）的两根分别为1和3.2方程的实数根的个数是（）A0个B1个C2个D3个【解答】A【解析】原方程可变形为，设，则x+2y2即，|y3|+|y5|1当0y3时，3y+（5y）1，解得y，由于y的值不在当y3的范围内，不合题意当3y5时y3+5y1，此时方程无解；当y5时，y3+y51，解得y，由于y的值不在当y5的范围内，不合题意综上原方程无解3若x为任意实数，且M（7x）（3x）（4x2），则M的最大值为（）A10B84C100D121【解答】C【解析】M（7x）（3x）（2+x）（2x）（7x）（2+x）（3x）（2x）（x2+5x+14）（x25x+6）（x25x）2+8（x25x）+84（x25x）42+100，10，M的最大值为1004已知x，y为实数，且满足x2xy+4y24，记ux2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m（）ABCD【解答】C【解析】x2xy+4y24，x2+4y2xy+4，ux2+xy+4y22xy+4，5xy4xy+（x2+4y24）（x+2y）244，当且仅当x2y，即，或时等号成立xy的最小值为，ux2+xy+4y22xy+4的最小值为，即3xy4xy（x2+4y24）4（x2y）24，当且仅当x2y，即或时等号成立xy的最大值为，ux2+xy+4y22xy+4的最大值为，即或由x2xy+4y24，得x2+4y2xy+4，ux2+xy+4y22xy+4设xyt，若x0，则4；x0时，将代入x2xy+4y24，得，即x4（t+4）x2+4t20，由（t+4）216t20，解得将代入方程，解得代入方程，解得，xy的最大值为，最小值为因此，.二填空题5若关于x的方程（1m2）x2+2mx10的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 【解答】m1或m2【解析】当1m20时，m1当m1时，可得2x10，x，符合题意；当m1时，可得2x10，x，不符合题意；当1m20时，（1m2）x2+2mx10，（1+m）x1（1m）x+10，关于x的方程（1m2）x2+2mx10的所有根都是比1小的正实数，解得m0，解得m2综上可得，实数m的取值范围是m1或m26若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+20有实根，则 【解答】【解析】方程有实根，0，即4（1+a）24（3a2+4ab+4b2+2）0，化简得：2a2+4ab+4b22a+10，（a+2b）2+（a1）20，而（a+2b）2+（a1）20，a+2b0，a10，解得a1，b，所以7已知，则的值等于 【解答】【解析】m2+4m3n13（m2）2+（n+6）20，则m20，n+60，所以m2，n6，所以8对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2（n+3）x3n20的两个根记为an、bn，则 【解答】【解析】由根与系数的关系得an+bnn+3，anbn3n2，所以（an3）（bn3）anbn3（an+bn）+93n23（n+3）+93n（n+1），则，原式.9已知a是方程x22013x+10一个根，求a22012a+的值为 【解答】2012【解析】a是方程x22013x+10的一个根，a22013a+10，a22013a1，原式2013a12012a+1201312012三解答题10当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由【解答】见解析【解析】当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10没有有理根理由如下：当m为整数时，假设关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10有有理根，则要b24ac为完全平方数，而（2m+1）24（2m1）4m24m+5（2m1）2+4，设n2（n为整数），即（2m1）2+4n2（n为整数），所以有（2m1n）（2m1+n）4，2m1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m，2m10时，m（不合题意舍去）所以当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10没有有理根11已知关于x的一元二次方程：x2（2k+1）x+4（k）0（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC的一边长a4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长【解答】（1）见解析；（2）10【解析】（1）证明：（2k+1）2414（k）4k212k+9（2k3）2，无论k取什么实数值，（2k3）20，0，无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）x，x12k1，x22，b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b2k1，c2，当a、b为腰，则ab4，即2k14，解得k，此时三角形的周长4+4+210；当b、c为腰时，bc2，此时b+ca，故此种情况不存在综上所述，ABC的周长为1012已知实数a，b，c满足：a2+b2+c2+2ab1，又，为方程（a+b）x2（2a+c）x（a+b）0的两个实根，试求的值【解答】4【解析】a2+b2+c2+2ab1，a2+b2+c2，2ab为方程x2x+0的二根，a2+b2+c22ab，由a2+b2+c22ab得（ab）2+c20，或把两组值代入原方程（a+b）x2（2a+c）x（a+b）0得到的方程相同即x2x10，2+2（+）23413已知关于x的方程（12k）x22x10（1）若此方程为一元一次方程，求k的值（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围【解答】（1）k；（2）1k2且k【解析】（1）由（12k）x22x10是一元一次方程，得12k0，解得k；（2）由（12k）x22x10为一元二次方程，且有实数根，得（2）24（12k）（1）0，且12k0，k+10，4k+4+4（12k）0，4k8，k2，即1k2，k此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围为1k2且k14今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值【解答】（1）x8.8；（2）6【解析】（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，由题意得：%，x8.8，答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；（2）由题意得：5000（1+m%）50（13m%）+m4049000，5（1+）（50m+m40）49，m25m60，m16，m21（舍）15某汽车专卖店经销某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价【解答】（1）98万元；（2）20万元【解析】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：1+814，则此时，平均每周的销售利润是：（2215）1498（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25x15）（8+2x）90，解得x11，x25，当x1时，销售数量为8+2110（辆）；当x5时，销售数量为8+2518（辆），为了尽快减少库存，则x5，此时每辆汽车的售价为25520（万元），答：每辆汽车的售价为20万元16某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？【解答】（1）售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元【解析】（1）设涨价x元，（10+x8）（20020x）700，解得x13，x25，此时的售价为10+313或10+515，答：售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）利润为：（10+x8）（20020x）20x2+160x+40020（x4）2+720，当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元17每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本如果将乙款笔记本的零售价提高元（a25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值【解答】（1）230本；（2）50【解析】（1）设乙款笔记本的数量为x本，则甲款2x本，丙款（9503x）本，根据题意，得22x+4x+6（9503x）3300解得x240，9503x230答：本次购进丙款笔记本230本（2）根据题意，得（42）30+（6+4）50（1a%）+（106）20（1+a%）260整理得a270a+10000解得a150，a220（不符合题意，舍去）答：a的值为5018某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？【解答】5元【解析】设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（10+x）（50020x）6000，解得：x5或x10，要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元；答：每千克应涨价5元19某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？【解答】20元【解析】设每件衬衫应降价x元，由题意得：（40x）（20+2x）1200，即2x260x+4000，x230x+2000，（x10）（x20）0，解得：x10或x20为了减少库存，所以x20故每件衬衫应应降价20元20某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天可多售出4箱（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明理由【解答】（1）应降价50元；（2）获利不可能达14500元【解析】（1）要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，（120x）（100+2x）14000，整理得x270x+10000，解得x120，x250；为了扩大销量，尽快减少库存，x50答：每箱应降价50元，可使每天销售饮料获利14000元（2）由题意得：（120x）（100+2x）14500，整理得x270x+12500，702412500，此方程无实数根，故该超市每天销售这种饮料的获利不可能达14500元21某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？【解答】20棵【解析】设应多种x棵桃树，则由题意可得：（100+x）（10002x）1001000（1+15.2%）整理，得：x2400x+76000，即（x20）（x380）0，解得：x120，x2380 因为所种桃树要少于原有桃树，所以x380不符合题意，应舍去，取x20，答：应多种20棵桃树22某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？【解答】应进货100个，定价60元【解析】设每个小家电的增加是x元，由题意，得（52+x40）（18010x）2000，解得x18，x2218010x180，x0，x8，则18010x100（个），52+860（元），答：商店若准备获利2000元，则应进货100个，定价60元