【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 计数原理（精解精析）.docx

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 计数原理（精解精析）一、选择题1(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A60种B120种C240种D480种【答案】C解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解2(2020年高考数学课标卷理科)的展开式中x3y3的系数为()A5B10C15D20【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题3(2019年高考数学课标卷理科)的展开式中的系数为()A12B16C20D24【答案】A【解析】因为，所以的系数为，故选A【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。4(2018年高考数学课标卷（理）)的展开式中的系数为()ABCD【答案】C解析：展开式的通项公式为，令，解得，故含的系数为，故选C5(2017年高考数学新课标卷理科)展开式中的系数为()ABCD【答案】 C 【解析】因为,则展开式中含的项为,展开式中含的项为,故前系数为,选C 【考点】二项式定理 【点评】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好的项共有几项,进行加和这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式展开式中的不同 6(2017年高考数学课标卷理科)的展开式中的系数为()ABC40D80【答案】 C 【解析】, 由 展开式的通项公式: 可得: 当 时, 展开式中 的系数为 , 当 时, 展开式中 的系数为 , 则 的系数为 故选C 【考点】二项式展开式的通项公式 【点评】(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且nr,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项 (2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 7(2017年高考数学课标卷理科)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种B18种C24种D36种【答案】 D【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力为主【解析】解法一：分组分配之分人首先 分组将三人分成两组，一组为三个人，有种可能，另外一组从三人在选调一人，有种可能；其次 排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有种可能；共计有36种可能解法二：分组分配之分工作工作分成三份有种可能，在把三组工作分给3个人有可能，共计有36种可能解法三：分组分配之人与工作互动先让先个人个完成一项工作，有种可能，剩下的一项工作在有3人中一人完成有种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以，共计有36种可能解法四：占位法其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有中可能；剩下的两项工作由剩下的两个人去完成，即有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两个隔板，有种可能，在分配给3人工作有种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1排列组合；2二项式定理，几乎二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出8(2016高考数学课标卷理科)如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()()A24B18C12D9【答案】B【解析】有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法故选B9(2015高考数学新课标1理科)的展开式中，的系数为()A10B20C30D60【答案】C解析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解10(2013高考数学新课标2理科)已知的展开式中的系数为5，则等于()A4B3C2D1【答案】D 解析：中含的项为：，即考点：（1）1071求二项展开式的指定项或指定项系数；难度：B 备注：高频考点11(2013高考数学新课标1理科)设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则()A5B6C7D8【答案】解析：由题知=，=，13=7，即=，解得=6，故选B考点: （1）1072求最大系数或系数最大的项；（2）1311函数与方程思想难度：备注：高频考点 12(2012高考数学新课标理科)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种B10种C9种D8种【答案】A解析：第一步，为甲地选一名老师和两个学生，有=12种选法；第二步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有261=12种考点：（1）1062分步乘法计数原理的应用；（2）1065组合问题难度：A备注：高频考点二、填空题13(2020年高考数学课标卷理科)的展开式中常数项是_(用数字作答)【答案】解析：其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题14(2018年高考数学课标卷（理）)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种。(用数字填写答案)【答案】16解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，方法二，间接法：种15(2016高考数学课标卷理科)的展开式中，的系数是 (用数字填写答案)【答案】10【解析】设展开式的第项为，当时，即故答案为1016(2015高考数学新课标2理科)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则_【答案】分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，其系数之和为，解得考点：二项式定理17(2014高考数学课标2理科)的展开式中，的系数为15，则=_(用数字填写答案)【答案】 解析：故考点：（1）求二项展开式的指定项或指定项系数；（2）组合数的运算。难度：B备注：常考题18(2014高考数学课标1理科)的展开式中的系数为_(用数字填写答案)【答案】 20 解析:展开式的通项为, , 的展开式中的项为,故系数为20 考点:(1)求二项式展开式的指定项系数(2)二项式的通项公式(3)函数与方程的思想 难度:B