六年级思维训练19不定方程(原卷+解析）.doc

六年级思维训练19 不定方程1.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？（每种铅笔至少1支）2.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗不计），问剩余部分的铝管最少是多少厘米73.若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过1 5元小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同问：至少有多少名小朋友？4. 某地电费，不超过10度时，每度0.45元；超过10度时，超过部分每度08元张家比李家多交电费3. 30元，如果两家的用电量都是整数度，问张家、李家各交电费多少元？5.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支问她最多能买多少支？最少能买多少支？6.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？7.表示一个十进制的三位数，若等于由a，b，c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数 8.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数若恰好投在两块（或三块）区域的交界线上，则得两块（或三块）区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖 9.甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛，计分办法是在30分的基础上，每答对一题加4分，答错一题扣1分，不答既不扣分也不加分赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少1分，但乙丙答对的题数却互不相同由此可知，甲所得总分最多为 10.华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年： “猛攻苦战是第一，熟练生出百巧来， 勤能补拙是良训，一分辛劳一分才”诗文中，不同的字对应不同的自然数，相同的字对应相同的自然数，不同汉字所对应的自然数可以排列为一串连续的自然数，如果这28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？11.老王和老张各有5角和8角的邮票若干张，没有其他面值的邮票，但是他们邮票的总张数一样多，老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同，老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余，但不够支付160元的邮资，问他们各有8角邮票多少张？游的人数是10的整数倍，如果两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆，如果两校都租用19个座位的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆现在知道两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满问，两校参加这次春游的人数各是多少？12.在一次数学竞赛中共出了A、B、C三题在所有25个参加竞赛的学生中，每个学生至少解出一题，在没有解出A的那些学生中，解出B的人数是解出C 的人数的两倍只解出A的人数，比余下的学生中解出A的人数多1只解出一题的学生中，有一半没有解出A，问有多少学生只解出B.13.甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400册与550册之间，问各班各有多少人？14.分母不超过100且最接近又不等于分数是 15.如果一个三位数是去掉百位数字后剩下的两位数的5倍，则称这样的数为“学而思数”请写出所有的“学而思数”： 16.用十进制数表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为 17. 9个不同的盘子排成一排，依次编号为1，2,3，。，9。每个盘子都放有至少2个乒乓球，9个盘子共放有80个乒乓球，已知任意编号相邻的4个盘子放的球的总个数相同，并且编号为1的盘子放有16个球，那么满足要求的放法有多少种。（注意，球是相同的） 18. 如果自然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“龙腾数”2012是将所有“龙腾数”从小到大排成一列的第一个 19. 数学竞赛团体奖的奖品是10000本数学课外读物奖品发给前五名代表队所在的学校名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次奖品的本数都是IOO的整倍数，如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和，那么，第三名最多可以获得_ 本 20. 动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多，一天，饲养员拿了十箱香蕉分给它们每只猩猩比每只狒狒多分一根，每只猴子比每只猩猩多分一根分完后，只剩下2根香蕉如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩有16只那么，动物园里有只猴子21.一个由某些正整数所组成的数组具有以下的性质： (l)这个数组中的每个数，除了1以外，都至少可被2,3或5中的一个数整除。 (2)对于任意整数”，如果此数组中包含有2n,3n或5n中的一个，那么此数组中必同时包含有n及2n，3n，5n 已知此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组有 个数_六年级思维训练19 不定方程参考答案1.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？（每种铅笔至少1支）【答案】12或16【分析】 设张明买甲级铅笔z支，乙级铅笔y支，根据题意，列方程7r+3y=60，容易得到317Z3【x又x670一8，所以原方程的解有，所以x+y16或122.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗不计），问剩余部分的铝管最少是多少厘米7【答案】2厘米【分析】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，剩余部分的铝管长度为以厘米，那么得方程36x+24y+a一374，显然“是偶数，要求a的最小值，故从a=0,2，开始枚举 当a=0时，36a+24y=374，由于3 36x+24y，而374不是3的倍数，所以无整数解； 当a=2时，36y+ 24y= 372，即3x+2y=1，此方程显然有解（只要x是不超过9的奇数即可） 所以剩余部分的铝管最少是2厘米3.若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的商品的总金额不得超过1 5元小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品的数量完全相同问：至少有多少名小朋友？【答案】25【分析】 这道题可以采用抽屉原理，难点在于确定抽屉数量，这可以借助代数方法去枚举设买x件5元的商品，y件3元的商品，则0<5x+3y15，故ox3；oy5，且x，y不同时为o (l)当x=0时，y=l，2，3，4，5，共5组 (2)当x=l时，y=o，1，2，3，共4组； (3)当x=2时，y=o，1，共2组； (4)当x= 3时，y=0，共1组； 所以总共有12种情况（抽屉），若至少有一种情况发生三次，小朋友至少有25人4. 某地电费，不超过10度时，每度0.45元；超过10度时，超过部分每度08元张家比李家多交电费3. 30元，如果两家的用电量都是整数度，问张家、李家各交电费多少元？【答案】 张家6.9元，李家3.6元【分析】1 8 x10 设用电量为x度，电费为y分，则y= 先用假设（反证）法判断两家用电量的范围： 若两家都未超过10度，则9Iy张一y李，但330不是9的倍数，矛盾； 若两家都超过10度，则80（x张-x李）=330，与x张，x李都是整数矛盾， 所以张家用电超过10度，李家用电未超过10度，所以 4510+80(x张-10)-45x李 =330 16x张- 9x李一136 16x张一136+9x李136+9XIO x张14 又x张>10，所以11X张14. 经试验得，z张=13，x李=8， 所以张家交电费6.9元，李家交电费3.6元5.小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支问她最多能买多少支？最少能买多少支？【答案】14，9【分析】 方法-： 设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y，z支，则：2x+3y+ 4z=31(*） 分析等式(*)的奇偶性，y必须是奇数，因为x，y，z1，3y=31-2x-4z25，y7列下表： x=12 10 8 6 4 2 y=1 z=1 2 3 4 5 6 x=l 3 5 7 9 y=3 z=0 4 3 2 1 x=2 4 6 y-5 2=3 2 l x=l 3 y -7 z=2 l 从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，最少能买9支圆珠笔方法二： 因为z，y，z1，所以从(*)式，2x+2 y+ 2z=31- y-2x<31-3=28，得到z+ y+z14. 取x=12，y=1，z=l满足(*)式，且x+y+z=14.小丽最多能买14支圆珠笔 类似，4x+4y+ 4z= 31+2z+y31+334,x+y+z8， 取z=2，y=1，z=6满足( *)式，并且，z+y+z=9小丽最少可以买9支圆珠笔6.李家和王家共养了521头牛，李家的牛群中有67是母牛，而王家的牛群中仅有是母牛，李家和王家各养了多少头牛？【答案】300;221【分析】 李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为lOOx，王家的牛群中仅有去是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程lOOx+13y=521(*)z和y是整数，分别取z=1，2，3，4，5.可以得到x=3，y=17.或者解同余方程(。)l ( *)式两边除13，9z三1(mod13)(*。)x=3是(*)式的解，得到y=17. IOOX3=300（头），13X17=221（头7.表示一个十进制的三位数，若等于由a，b，c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数【答案】132;264;396【分析】 =+ +100a+10b+c= 22(a+b+c)26a=4b+7c<119 =a3 (1)a=l时，4b+7c= 2617c2( mod4) 7c2+34=14(mod4)c2(mod4) 又c26一3，所以c=2，b=3，所以=132； ，一 (2)a=2时，4b+7c=52，同理解得6=6，c=4，所以=264； (3)a=3时，4b+7c=78，同理解得6=9，c=6，所以=396.8.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数若恰好投在两块（或三块）区域的交界线上，则得两块（或三块）区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖 【答案】 10 【分析】 假设投中17分、11分、4分的次数分别为x次、y次和z次，那么投中飞镖的总次数为(x+y+z)次，而总得分为17x+lly+4z分，要想获奖，必须17x+lly+4z=120. 由于17x<120，得到z6当z的值一定后，要使(z+y+z)最小，必须使y尽可能大 若x=6，得到lly+4z=18，此时无整数解； 若z=5，得到11y+4z= 35，此时y=l，z=6，z+_y+z=5 +1+1+6=12； 若x=4，得到lly+4z=52，此时y最大为4，当y=4时z=2，这种情况下x+y+z=10； 若x=3，得到lly_+4z=69，此时y=3，z=9，x+y+z=3+3+9=15; 若x=2，得到11y+ 4z= 86，此时y最大为6，当y=6时z=5，这种情况下z+y+z=13； 若x=1，得到lly+4z=103，此时y最大为9，当y=9时z=l，这种情况下z+y+z=11； 若z=o，得到lly+4z=120，此时y最大为8，当y=8时z =8，这种情况下x+ y+z= 16； 经过比较可知(z+y+z)的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖 79.甲乙丙三人参加一个共有30个选择题的比赛，计分办法是在30分的基础上，每答对一题加4分，答错一题扣1分，不答既不扣分也不加分赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数，乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少1分，但乙丙答对的题数却互不相同由此可知，甲所得总分最多为 【答案】 131 【分析】设乙做对a道题，做错6道题；丙做对m道，做错n道，则有4a-b= 4m-n，则有4l（b一n）要使得甲总分最高，由于乙丙仅比甲少1分，则乙丙也应尽可能总分最高，从而错题最少，若6=4，n=0，则a-m=1，a=26，m=25.此时乙得分为264- 4+30=130（分），丙得分为2540+30=130（分），甲得分为130+1=131（分）甲扣19分，只能53+4=19，别无其他方式，即只能错3题空1题，若b=5，n=l，则a-m=l，a=25，m=24.此时乙得分为254-5+30=126（分），甲得分为125 + 1 =126（分）这种得分不唯一，且得分不是最高，其他情况不可能超过131分，综上所述，甲的总分为131分，10.华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年： “猛攻苦战是第一，熟练生出百巧来， 勤能补拙是良训，一分辛劳一分才”诗文中，不同的字对应不同的自然数，相同的字对应相同的自然数，不同汉字所对应的自然数可以排列为一串连续的自然数，如果这28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？【答案】35【分析】“分”对应的自然数的最大可能值是35 2328=644，设这串连续自然数的起始数为m时，诗文中“分、是”各出现2次，“一”出现3次，设“分”对应m+x，“是”对应m+a，“一”对应m+b.则有+m+x+m+ a+2(m+b) = 644即 28m+276 + (a+ 2b) +x=644,28m= 368 - x- (a+ 2b) .m=但是 , x23,a+bl+ O ,b0 ,a+2b=a+b+6l.所以m+x=<35. 29另一方面，取m=12，x=23，a=9，b=0得到满足条件的解，其中“分”对应的自然数是3511.老王和老张各有5角和8角的邮票若干张，没有其他面值的邮票，但是他们邮票的总张数一样多，老王的5角邮票的张数与8角邮票张数相同，老张的5角邮票的金额等于8角邮票的金额用他们的邮票共同支付110元的邮资足够有余，但不够支付160元的邮资，问他们各有8角邮票多少张？ 【答案】 老王52张，老张40张 【分析】设老王有8角邮票z张，老张有5角邮票y张，可知老王的5角邮票也有x张，故老王邮票总张数为2x张，老张的8角邮票为8y张由于他们的总张数是一样的，则y=2x即y= x，x应为13的倍数；而老张和老王的邮资总和为xo.5+o8z=x，x为13的倍数，当x=39时，32.93=98.7元，不符合；当x=52时，32.94=131.6元，符合条件；当x=65时，32.95=164.5元，不符合；所以，老王有52张8角邮票；老张有52=40张8角邮票，12一小、二小两校春游的人数是10的整数倍，如果两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆，如果两校都租用19个座位的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆现在知道两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满问，两校参加这次春游的人数各是多少？【答案】一小430人，二小570人【分析】 设二小春游人数为m，一小春游人数n由已知乘19座旅游车二小比一小多租用7辆 那么196+lm -n198-1， 115m-n151 又已知两校共需租用14座旅游车72辆， 那么7014+2m+727214，982m+n1008. 同时已知m与n都是10的整数倍， 经检验，仅m=570，n=430符合题意13在一次数学竞赛中共出了A、B、C三题在所有25个参加竞赛的学生中，每个学生至少解出一题，在没有解出A的那些学生中，解出B的人数是解出C 的人数的两倍只解出A的人数，比余下的学生中解出A的人数多1只解出一题的学生中，有一半没有解出A，问有多少学生只解出B.【答案】6人【分析】考察容斥原理，关键是做好文氏图=的分析， 如右图所示，设不只解出A的为z人，仅解出B的为y人，没有解出A但解出B与C的为z人设仅解出c的为a，则y+z=2（a+z）a=有，由y>z>0知，5.5<x<，且只有x=7时y和x都是正整数，因此 故只解出B的人有6人。14甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册，乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400册与550册之间，问各班各有多少人？【答案】51，53，49【分析】甲乙丙三班人数分别为51，53，49。 ：设甲班有x人，乙班有y人，丙班有z人，那么三个班的捐书数目分别为： 11(x-3)+6+7+7=llx-13, 10(y一4)+6+83=lOy- lO, 9(z-8)+42+76=9z-22, ) y-10) +28即有 Oy+31 根据题意有：既有 又因为各班的捐书数目都在400到550之间，因此我们知道：捐书最多的甲班有1lx- 13550，而捐书最少的丙班有9z-22400， 从而有56311x=10y+ 31= (9z+ 89) +31422+89+31= 542，于是有52>x>49，所以有z=50或51经检验，当z=50时，y不是整数，而当x=51时，有了y=53,z=49，即甲乙丙三班人数分别为51，53，49.15分母不超过100且最接近又不等于分数是 【答案】【分析】设所求分数为，其中a100（！）若>,=,要使与最接近，先考虑的分子为1的情况，当13a-7a=1时，且a尽量大时与最接近。而对于不定方程13a-7a=1，变形可得a=2b-，所以b除以7余6，且不超过（7100+1）1353.9，所以b最大为48，此时a最大，为89，而=如果的分子大于1，则至少为2 ，此时>,即肯定比大，那么不是最接近的。，若<,=,类似的分析，当7a13b=1，a尽量大时与最接近此时解不定方程7a13b=1，可知a最大可分母小于100的分数为16如果一个三位数是去掉百位数字后剩下的两位数的5倍，则称这样的数为“学而思数”请写出所有的“学而思数”： 【答案】125，250，375 【分析】方法一：设“学而思数”为，由“学而思数”的定义，有=5，由位值原理得100a+=5化简得：100a=4，显然a3，则a=1时，=25 a=2时，=50 a=3时，=75所以，所有额的“学而思数”为：125,250,375方法二；原三位数是5的倍数，而后两位也是5的倍数，原三位又是后两位的5倍，所以三位数是25的倍数，则后两位只能是25,50,75，所以学而思数有三个；125,250,37517. 用十进制数表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为 【答案】624 【分析】若是四位数，则16（a+6+c+d）1636<1000矛盾，四位以上的自然数也不可能 若是两位数，则16（a+b）>10a+6=，也不可能，故只有三位数. 16（a+b+c）=lOOa + lOb+c，化简得28a=2b+ 5c.由于2b+5c<79=63, 所以a=l或a=2. a=l时，b=9，c=2，或b=4，c=4;a=2时.b=8，c=8. 所以所有自然数之和为192 +144+288= 624.18. 9个不同的盘子排成一排，依次编号为1，2,3，。，9。每个盘子都放有至少2个乒乓球，9个盘子共放有80个乒乓球，已知任意编号相邻的4个盘子放的球的总个数相同，并且编号为1的盘子放有16个球，那么满足要求的放法有多少种。（注意，球是相同的）【答案】 66【分析】设这9个盘子中的球数依次为以a1a2，a9，由任意编号相邻的4个盘子中所放的球的总个数相同，得a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5a1=a5， 同理，a1 =a5 =a9=16，a2=a6 ,a3 =a7 ,a4 =a8. 又由a1+a2+a9=80，得163+2（a2+a3+a4）=80，解得a2+a3+a4=16原题转化为求方程a2+a3+a4=16有多少组不小于2的正整数解，其数量为=66种 19. 如果自然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“龙腾数”2012是将所有“龙腾数”从小到大排成一列的第一个【答案】38【分析】本题也可转化为不定方程解的数量确定的问题挖位“龙腾数”的n个组成数码满足a1+a2+an=51，a20，a3O，ano且a1至an都是数码，因而n位“龙腾数”的个数为=，因而一位“龙腾数”有1个，二位“龙腾数”有=5个，三位“龙腾数”有 =15个，四位“龙腾数”需要单独考虑，千位为1的四位“龙腾数”有=15个，千位为2的直至2012有2003，2012，所以2012是从小到大排列的“龙腾数”中的第1+5+15+15 + 2=38（个） 20 数学竞赛团体奖的奖品是10000本数学课外读物奖品发给前五名代表队所在的学校名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次奖品的本数都是IOO的整倍数，如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和，那么，第三名最多可以获得_ 本【答案】1700【分析】本题是不定方程整数解问题 设前五名获奖品数分别为a>b>c>d>e，那么依题意a+b+c+d+e =0000，a=b+c，b=d+c 于是(b+c)+b)+c+b= 10000.即3b+2c=10000. 又已知b=l00x，c= l00y（x，y是自然数），于是有3x+2y=100. 显然3x是偶数，故x为偶数 由b>c可以推出x>y，从而有5x>3x+ 2y=100，即5x>100,.x>20. 又因为z为偶数，所以x22 由此可知y17.因此，第三名最多可得1700本，21 动物园里猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多，一天，饲养员拿了十箱香蕉分给它们每只猩猩比每只狒狒多分一根，每只猴子比每只猩猩多分一根分完后，只剩下2根香蕉如果每箱香蕉数量相同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩猩有16只那么，动物园里有只猴子【答案】19【分析】 由题意知，共吃了香蕉400500根，且个位数是8 设有猴子n只，则有狒狒(n-6)只因为猩猩的数量介于猴子与狒狒之间，所以17n21. 再设每只猴子吃了。根香蕉，则每只猩猩吃了(a-l)根，每只狒狒吃了(a-2)根共吃香蕉 an+(a-l)X16+(a-2)(n-6) =an+16a - 16 + an- 2n- 6a+ 12 =2an+l0a- 2n -4 =2a(n+ 5)- 2n-4 =X X的个位数是8，且400<X<500 若n=17，则X=44a-38，a的个位只能是4或9，不满足400<X<500； 若n=18，则X=46a-40，a的个位只能是3或8，不满足400<X<500； 若n=19，则x=48a-42，a的个位只能是o或5，当a=10时，x=438，符合题意； 同理，n=20或21都不符合题意，所以有猴子19只22一个由某些正整数所组成的数组具有以下的性质： (l)这个数组中的每个数，除了1以外，都至少可被2,3或5中的一个数整除。 (2)对于任意整数”，如果此数组中包含有2n,3n或5n中的一个，那么此数组中必同时包含有n及2n，3n，5n 已知此数组中数的个数在300和400之间，那么此数组有 个数_ 【答案】 364 【分析】 假设该数中某一数为，且m能被2整除，则也在数组中，以此类推，m能被整除则爹也在数组中同理能被整除，则等也在数组中，而将m中所有含2,3，5的因数都除去后，剩下的可也在数组中，并且没有质因数2,3,5了，而除了1以外，数组中任意数都可被2，3或5中一个数整除，因此该数只能为1- 结论：数组中所有数含的质因数只有2，3，5 如果数组中含，那么就知道，3，5都在其中，以此类推，3，35，5，都在其中，再以此类推，（a+b+ck）都在数组中，同理，若数组中含或，则都有同样的结论，即（a+b+ck）都在数组中； 我们只需将是分类：当k=0时，a=b=c=0，数组中只有l一个这样的数；当k=l时，a+b+c=1，有3组解，数组中就会对应含有2，3，5这三个数；19