2022年高中数学数列专题练习 2.pdf

学习好资料欢迎下载高中数学数列专题练习（精编版）1.已知数列nanN是等比数列,且130,2,8.naaa(1)求数列na的通项公式;(2)求证:11111321naaaa；(3)设1log22nnab,求数列nb的前 100 项和.2.数列an 中，18a，42a，且满足21nnaa常数 C(1)求常数 C 和数列的通项公式；(2)设201220|Taaa，(3)12|nnTaaa,nN3.已知数列nn2,na=2n1,n为奇数；为偶数；，求2nS名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载4.已知数列na的相邻两项1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,且11a.(1)求证:数列nna231是等比数列;(2)求数列nb的前n项和nS.5.某种汽车购车费用10 万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9 千元，汽车的维修费平均为第一年2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800 万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载7.在等比数列 an(n N*)中，已知 a11，q0设 bn=log2an，且 b1b3b5=6，b1b3b5=0(1)求数列 an、bn 的通项公式 an、bn；(2)若数列 bn 的前 n 项和为 Sn，试比较 Sn与 an的大小8.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an是 Sn与 2 的等差中项，数列 bn中，b1=1，点 P（bn，bn+1）在直线 x-y+2=0上。（1）求 a1和 a2的值；（2）求数列 an，bn的通项 an和 bn；（3）设 cn=anbn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn。9.已知数列na的前n 项和为11,4nS a且1112nnnSSa，数列nb满足11194b且13nnbbn(2)nnN且（）求na的通项公式；（）求证：数列nnba为等比数列;（）求nb前 n 项和的最小值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载10.已知等差数列an的前 9 项和为 153（1）求5a；（2）若，82a，从数列an中，依次取出第二项、第四项、第八项，第 2n项，按原来的顺序组成一个新的数列cn，求数列cn的前 n 项和Sn.11.已知曲线 C：xye（其中e为自然对数的底数）在点1,Pe 处的切线与x轴交于点1Q，过点1Q作x轴的垂线交曲线 C 于点1P，曲线 C在点1P处的切线与x轴交于点2Q，过点2Q作x轴的垂线交曲线 C 于点2P，依次下去得到一系列点1P、2P、nP，设点nP的坐标为,nnxy（*nN）（）分别求nx与ny的表达式；（）求1niiix y12.在数列)0,(2)2(,2111Nnaa，aannnnn中（1）求证：数列2()nnna是等差数列；（2）求数列na的前 n 项和nS；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载13.在等差数列na中，公差 d 0，且56a，（1）求46aa的值（2）当33a时，在数列na中是否存在一项ma（m正整数），使得3a，5a，ma成等比数列，若存在，求m的值；若不存在，说明理由（3）若自然数123t n ,n ,n ,n,(t为正整数)满足 5 1n2n tn，使得31t5nna ,a ,a ,a ,成等比数列，当32a时，用t 表示tn14.已知二次函数2()f xaxbx满足条件:(0)(1)ff;()f x的最小值为18.()求函数()f x的解析式;()设数列na的前n项积为nT,且()45fnnT,求数列na的通项公式;()在()的条件下,若5()nf a是nb与na的等差中项,试问数列nb中第几项的值最小?求出这个最小值.15.已知函数 f（x）=x24，设曲线 yf（x）在点（xn，f（xn）处的切线与 x轴的交点为（xn+1,0）（nN+），（）用 xn表示 xn+1；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载（）若 x1=4，记 an=lg22nnxx，证明数列na成等比数列，并求数列nx的通项公式；（）若 x14，bnxn2，Tn是数列 bn的前 n 项和，证明 Tn3.数列专题练习参考答案1.解：(1)设等比数列na的公比为q.则由等比数列的通项公式11nnaa q得3 131aa q,284,2q又0,22naqL L分数列na的通项公式是12223nnna分L L.123231111211111112221222212nnnaaaaLL11,2n6分L L11,117,2nn分QL L123111118.naaaa分LL L2132log21219,212112,nnnnnbnbbnnb由分又常数数列是首项为 3,公差为 2的等差数列11分L LQL L数列nb的前 100项和是100100991003210200122S分L L2解：（1）C2102nan，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载1256125671251256720520(2)|=(+a)=2()(+a)=2SS=260nnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaa (3)229 ,5409,5nnnnTnnn12321352124621352-12()()2(14)(-12222)(3711)341422(41)23nnnnnnnSaaaaaaaaaaaan nnnn3.解：）（4.解：证法 1:1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,.,211nnnnnnaabaa由nnnaa21,得nnnnaa23123111,故数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列.证法 2:1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,.,211nnnnnnaabaannnnnnnnnaaaa23123122312311111231231nnnnaa,故数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列.(2)解:由(1)得1131231nnna,即nnna1231.111121291nnnnnnnaab名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载1229112nn.nnaaaaS321nn11122223123221122311nn.2220.20.40.60.2(1)0.20.10.1.42100.90.10.1100.1.6nnnnnnnnnn5.解：维修费总费用分分210 100.1100.11213.9.10nnnnnn平均费用当时，汽车报废最合算分分6.解：(1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800(151)万元，第 n 年投入为 800(151)n1万元，所以，n 年内的总投入为an=800+800(1 51)+800(151)n1=nk 1800(151)k1=40001(54)n第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400(1+41)，第n 年旅游业收入 400(1+41)n1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+41)+400(1+41)k1=nk1400(45)k1.=1600(45)n1(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即：1600(45)n140001(54)n0，令 x=(54)n，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载代入上式得：5x27x+20.解此不等式，得 x52，或 x1(舍去).即(54)n52，由此得 n5.至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入.7.11121 3 5155613551321 31 323322522111(1),1,0,log,01,1,0.60,6,log6,264,164,8.81,.16.2nnnnnnnaa qaqababb baabbbbbbba aaaaaaa qqqaa qaaa q7.解由题设 有数列是单调数列又及知 必有即由及得即即由得115214116()2log5.(6)2()(9)(2)(1),5,.229,0,0,;12,47;168,;1 1 13 4 5 6 7 8,9 10 10 9 7 4,4 21,2 4 8nnnnnnnnnnnnnnnnnbann bbnnbn SnSaaSnSaaSnSaaS；分由知当 时当或 时或或当时、.,129,;3 4 5 6 7 8,.(13)nnnnnnnaSnaS综上所述 当或 或 时 有当时 有分、8.解：（1）an是 Sn与 2 的等差中项Sn=2an-2 a1=S1=2a1-2，解得 a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4 3分（2）Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又 SnSn-1=an，*),2(Nnnan=2an-2an-1，an0，*),2(21Nnnaann，即数列 an 是等比树立 a1=2，an=2n点P(bn，bn+1)在直线 x-y+2=0 上，bn-bn+1+2=0，bn+1-bn=2，即数列 bn 是等差数列，又 b1=1，bn=2n-1，8 分（3）cn=(2n-1)2nTn=a1b1+a2b2+anbn=12+322+523+(2n-1)2n，2Tn=122+323+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1因此：-Tn=12+(222+223+22n)-(2 n-1)2n+1，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载即：-Tn=12+(23+24+2n+1)-(2n-1)2n+1，Tn=(2n-3)2n+1+6 14分9.解：(1)由112221nnnSSa得1221nnaa,112nnaa2 分111(1)24naandn4 分(2)13nnbbn,11133nnbbn,1111111111113()3324364324nnnnnbabnnbnbn;11111113(1)2424nnnnbabnbn由上面两式得1113nnnnbaba,又1111913044ba数列nnba是以-30 为首项,13为公比的等比数列.8 分(3)由(2)得1130()3nnnba，11111130()30()3243nnnnban12111111130()(1)30()243243nnnnbbnn=221111130()(1)20()023323nn，nb是递增数列 11 分当 n=1时,11194b0；当 n=2时,23104b0；当 n=3时,351043b0，所以,从第 4 项起的各项均大于0,故前 3 项之和最小.且31101(1 35)3010414312S 13 分10.解：（1）15392292)(955919aaaaS175a5分（2）设数列an的公差为 d，则35174811512dadaadaa23nan9 分Saaaannnnn248213 2482232()26n12分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载11.解：（）xye，曲线 C：xye在点1,Pe 处的切线方程为1yee x，即 yex此切线与x轴的交点1Q的坐标为0,0，点1P的坐标为0,1 2 分点nP的坐标为,nnxy（*nN），曲线 C：xye在点nP,nnxy处的切线方程为nnxxnyeexx，4分令0y，得点1nQ的横坐标为11nnxx数列nx是以 0 为首项，1为公差的等差数列1nxn，1 nnye（*nN）8分（）1122331.niinnix yx yx yx yx y1234101232122112234.(1)(1)234.(1)(2)(1)(2)(1)1.(1)1(1)1(1)(1nnnnnnSeeeen eeSeeeen ee Seeen een eSee 得到：)e14 分12.解：（1）由1*1(2)2,(,0)nnnnaanN，可得11122()()1nnnnnnaa所以2()nnna是首项为 0，公差为 1 的等差数列.（2）解：因为2()1nnnan即*(1)2,()nnnannN设2312(2)(1)nnnTnn3412(2)(1)nnnTnn当1时，得2341(1)(1)nnnTn211(1)(1)1nnn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT13.解：（1）在等差数列na中，公差 d 0，且56a，则546462aaa ,aa12 3 分（2）在等差数列na中，公差 d 0，且56a，33a则11233014621nad3 d=,a ,anad2nN又235m aa a则3631m3a ,12=m ,m=92 7分（3）在等差数列na中，公差 d 0，且56a，3a2则1124461nad2 d=2 ,a2 ,a2n ,nNad又因为公比53632aq ,a首项32a，12 3ttn a又因为112442 332tttntttan ,2n,nnN12 分14.解:(1)由题知:200148ababa,解得1212ab,故211()22f xxx.2 分(2)221245nnnnTa aa,2(1)(1)211214(2)5nnnnTa aan,114(2)5nnnnTanT,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载又111aT满足上式.所以14()5nnanN 7 分(3)若5()nf a是nb与na的等差中项,则25()nnnf aba,从而21110()22nnnnaaba,得2239565()55nnnnbaaa.因为14()5nnanN是n的减函数,所以当35na,即3()nnN时,nb随n的增大而减小,此时最小值为3b;当35na,即4()nnN时,nb随n的增大而增大,此时最小值为4b.又343355aa,所以34bb,即数列nb中3b最小,且2223442245655125b.12 分15.解：（）由题可得()2fxx所以曲线()yf x在点(,()nnxf x处的切线方程是：()()()nnnyf xfxxx即2(4)2()nnnyxxxx令0y，得21(4)2()nnnnxxxx即2142nnnxx x显然0nx，122nnnxxx（）由122nnnxxx，知21(2)22222nnnnnxxxxx，同理21(2)22nnnxxx故21122()22nnnnxxxx从而1122lg2lg22nnnnxxxx，即12nnaa所以，数列na成等比数列故111111222lg2lg 32nnnnxaax 即12l g2l g 32nnnxx从而12232nnnxx所以11222(31)31nnnx（）由（）知11222(31)31nnnx，1242031nnnbx1111 12122223111113313133nnnnnnbb当1n时，显然1123Tb当1n时，21121111()()333nnnnbbbb名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载12nnTbbb111111()33nbbb111()3113nb133()33n综上，3nT(*)nN名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -