2022年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入.数系的扩充与复数的引入学案北师大版选修- .pdf

1 1数系的扩充与复数的引入1了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程2理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念(重点)3掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件(易混点)4理解复数的几何表示(难点)基础初探 教材整理 1 复数的有关概念及分类阅读教材 P73部分，完成下列问题1复数的有关概念(1)复数定义：形如abi 的数叫作复数，其中a，bR，i 叫作虚数单位a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部表示方法：复数通常用字母z表示，即zabi.(2)复数集定义：复数的全体组成的集合叫作复数集表示：通常用大写字母C表示2复数的分类及包含关系(1)复数abi，a，bR.实数b，虚数b0纯虚数a0，非纯虚数a(2)集合表示：图 4-1-1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 12 页 -2 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi 为虚数()(2)若a为实数，则za一定不是虚数()(3)bi 是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理 2 复数的有关概念阅读教材 P74“1.2 复数的有关概念”以下至P75“练习”以上部分，完成下列问题1两个复数相等abi cdi 当且仅当ac，且bd.2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)一一对应复平面内的点Z(a，b)；(2)复数zabi(a，bR)一一对应复平面向量OZ(a，b)3复数的模设复数zabi 在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|a2b2.如果(xy)i x1，则实数x，y的值分别为()Ax1，y 1 B x0，y 1 Cx1，y0 D x0，y0【解析】(xy)i x1，xy0，x10，x1，y 1.【答案】A 质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_ 解惑：_ 疑问 2：_ 解惑：_ 疑问 3：_ 解惑：_ 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 12 页 -3 小组合作型 复数的概念与分类(1)若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是()A 1 B 1 C1D 1 或 2(2)已知复数za(a21)i是实数，则实数a的值为 _(3)当实数m为何值时，复数zm2m6m(m22m)i为：实数？虚数？纯虚数？【精彩点拨】依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解【自主解答】(1)(x21)(x23x2)i是纯虚数，x210，x23x20.由x210，得x1，又由x23x20，得x 2 且x 1，x1.(2)z是实数，a210，a1.【答案】(1)B(2)1(3)当m22m0，m0，即m2 时，复数z是实数当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数当m2m6m0，m22m0，即m 3 时，复数z是纯虚数利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解 要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0 且b0.再练一题 1复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件是()A|a|b|B a0且abD a0 且ab名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 12 页 -4【解析】要使复数z为纯虚数，则a2b20，a|a|0，a0，ab.故选 D.【答案】D 复数相等(1)下列命题：若abi 0，则ab0；xyi 22i?xy2；若yR，且(y21)(y1)i 0，则y1.其中正确命题的个数为()A0 B 1 C2 D 3(2)已知x，yR，(x2y1)(x3y4)i 105i，求x，y.【精彩点拨】根据复数相等的充要条件求解【自主解答】(1)命题中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题错误；命题中，yR，从而y21，(y 1)是实数，根据复数相等的条件得y210，y0，y1，故正确【答案】B(2)因为x，yR，所以(x2y1)，(x3y4)是实数，所以由复数相等的条件得x2y110，x3y45，解得x3，y4.所以x3，y4.1复数z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，则z1z2?ac且bd.2复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法转化过程主要依据复数相等的充要条件基本思路是：(1)等式两边整理为abi(a，bR)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3)解方程组，求出相应的参数 再练一题 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 12 页 -5 2(1)(2016 重庆高二检测)若(xy)(2x3)i(3xy)(x2y)i(其中x，y为实数)，则x_，y_.(2)已知(2x8y)(x6y)i 1413i，则xy_.【解析】(1)由复数相等的意义得xy 3xy，2x3x2y，所以x1，y1.(2)由复数相等的意义，得2x8y14，x6y 13，解得x 1，y2.所以xy 2.【答案】(1)1 1(2)2 探究共研型 复数的几何意义探究 1 若向量OZ1对应的复数是54i，向量OZ2对应的复数是54i，如何求OZ1OZ2对应的复数？【提示】因为向量OZ1对应的复数是54i，向量OZ2对应的复数是54i，所以OZ1(5，4)，OZ2(5,4)，所以OZ1OZ2(5，4)(5,4)(0,0)，所以OZ1OZ2对应的复数是0.探究 2 若复数(a1)(a1)i(aR)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？【提示】a满足a10，a10，即 1a1.(1)已知复数z的实部为 1，且|z|2，则复数z的虚部是()A3 B.3i C3i D 3(2)求复数z168i 及z2122i 的模，并比较它们模的大小【精彩点拨】(1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解(2)用求模的公式直接计算【自主解答】(1)设复数z的虚部为b，|z|2，实部为 1，1b24，b3，选 D.【答案】D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 12 页 -6(2)因为z168i，z2122i，所以|z1|628210，|z2|1222232.因为 1032，所以|z1|z2|.1复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值2计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算3两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小 再练一题 3(1)复数 43i 与 25i 分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是 _(2)已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围【解析】(1)因为复数 43i 与25i 分别表示向量OA与OB，所以OA(4,3)，OB(2，5)，又ABOBOA(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量AB表示的复数是68i.【答案】68i(2)z3ai(aR)，|z|32a2，由已知得32a24，a20，cos 2z2的m值的集合是什么？使z1z2时，m值的集合为空集；当z1z2时，m值的集合为 0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 12 页 -