2022年高中数学函数：题型分类 .pdf

1 高中数学函数学生常见问题以及函数常见题型、解法指导一、学生常见问题：（一）、认知层面的问题：这个问题是在高一学习函数时就一直在困扰学生的问题。我们要了解高一学生在学习数学时产生困难的原因，首先要了解学生的数学认知结构。即学生在对数学对象、数学知识和数学经验感知和理解的基础上形成的一种心理结构。通俗地说：数学认知结构就是人们按照自己的经验与理解，根据自己的感知、记忆、思维的特点，把数学知识在大脑中组合而成的具有内部规律的整体结构。数学认知结构受个体认知特点的制约，具有浓厚的认知主体性与鲜明的个性色彩。高一新生在学习数学时的困难正是由于数学认知结构的特点所决定。高一新生在学习高中数学时，碰到的困难比如无法理解函数的概念，无法建立对应的观念，对集合的概念理解不够透彻等问题，导致高中数学的学习存在很大的困难。（二）、基础知识层面的问题：在进行高三复习的时候，同学们普遍的反映都不太好。原因在于，同学们感觉学校老师复习得很快。学校老师的讲课思路是先大致的把知识点串讲一遍，接着在课上做一些例题，课后给同学发一些卷子以做为练习，这些练习在做完之后老师也不一定会仔细的讲解，知识点的落实也不太扎实。因此同学感觉老师的复习很快。（因此这里学生会出现的问题就是基础知识不扎实）那么我们在具体的操作中，首先应该了解学生复习的程度。在总复习的过程中侧重于整体性，所以可以先了解一下学生是否有一个整体的框架。（框架的作用是帮助PEC检查学生的知识体系是否完善）函数被分成了两块：横轴和纵轴。（参见策略库函数基本概念第一部分）六大基础函数抽象函数复合函数三要素解析式值域定义域性质周期性对称性奇偶性单调性图像对称旋转平移图象变换函数本身的图象名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 25 页 -2 接下来，就是要求学生能够对这个表格里的每个点都比较了解。（框架完善了，就要看基础知识点是否真的落实）首先这六大基础函数，学生是否都了解呢？包括：正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数。只有指数函数和对数函数是在高中的时候新学的，其他函数都是以前的时候就学过的。但是在考试当中会结合到一起，尤其是二次函数。抽象函数就是在考察的时候只告诉函数的一些基本性质，进行一些证明等等。复合函数就是xgf这种形式的函数，因此在跟学生交流的时候，如果学生没有这样一个整体知识框架，可以让学生首先熟悉这一块的内容，因为这是属于知识层面比较基础的部分。函数性质和图像的内容，同样要看学生是否都知道，如果掌握的不是特别清楚，那么都属于基础知识层面的问题。（三）、（接下来）基本题型的问题可以按照表格中体现出的顺序来考察学生基本题型的能力。（1）定义域相关的基本题型两类：1.给定函数式，在函数式当中有些限定性的条件，如存在，以及对数log要求大于零，以及存在分母（分母不能为零）等等基本的方式去求定义域。2.复合函数求定义域的问题。复合函数求定义域是很严格的。就是这样一层一层的函数顺序下来要求的。如21xtfxgf和，首先就要求其中21xtxg和必须符合xf的定义域的要求；其次我们才去看21xx 和各自要按照哪个函数要求去求定义域，1x 需要符合函数xg的定义域要求，2x 需要符合函数xt的定义域要求。其实就是两点：首先，只要是同一函数对应法则，括号内的式子的范围都是一样的。第二点就是求定义域，是求最核心的自变量x的范围。（2）值域相关的基本题型（其实关键的就是几种方法）1.二次函数的值域问题。而且这是最为关键的问题。简单的二次函数，就可以通过顶点和最值等来求值域。困难的地方在于函数有参数的问题。带有参数的二次函数值域的问题也被我们称为限定性的二次函数求值域问题。也就是说，自变量x的取值不是全体实数R，而是在一定范围之内，如bax,，求函数的值域的问题。解决的办法只有一种，即分类讨论。分类讨论时需要注意的是，对称轴abx2是在 a 的左端、在 b 的右端还是位于区间ba,之内，因此需要分类讨论的就是分这三类。（这个问题只要反复的练是可以达到效果的）2.换元法（也是最常用的方法），转换成二次函数。这种题的特点是，题目中的自变量的次数关系是倍半关系，如22,1,1,xxxx，都可以利用换元的方法把题目转换成上面第一类的问题。3.利用函数的单调性求值域。当前两种办法不能用的时候，都可以考虑函数的单调性。因此这里存在函数是否存在单调性的问题。有两种方式，一种就是平时题目的积累；一种就是猜测，去试这个函数的单调性(因为知道单调性要去证明单调性并不是一个困难的问题)，单调性的利用其实也是在利用函数的图像。4.运用均值不等式。但是均值不等式适用的范围比较窄，且函数的形式也是比较固定的。一名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 25 页 -3 般来说都是函数带有分母的。如1111xxyxxy或者等这样的形式可以利用均值不等式。5.数形结合。这种类型的题目也是比较特殊的。一般的形式如lnxmxcbxaxy22，两个根号的和的形式。根号下的函数可以转化为点线的距离和两点间的距离。6.反解法。这种方法也就是说这个函数的定义域是比较清晰的，就可以写出反函数，利用反函数来求原函数的值域。这种方法要求原函数得存在反函数，即yxxfy与的是一一对应的。这样反函数才存在，才可以反解。7.“”法。这种方法适用于cbxaxnmxy22这种形式的函数，“”法就是把分母乘到左边去，然后整理成一个关于x降幂排列的方程，然后利用0来求 y 的取值范围。这些方法中，常用的就是1、2、3、7 这几种方法。其他的几种就题型也是比较单一的。（3）求解析式（方法比较少，考得也不多）1.配 和 凑利用它的形式，凑出2kf这样的形式，这要求学生做题目比较有感觉。2.待定系数法。即设cbxaxxf2，再利用已知条件把cba,的取值确定。（4）单调性、周期性、奇偶性、对称性1.首先，得知道这几个性质的概念各自的确定的含义。学生面临的问题就是比较偏向于用一个特定的数代入函数，以此来判断函数的单调性或者奇偶性等。其实核心在于他们对于恒成立这个概念的理解存在偏差，比较模糊。因为函数的性质是对于定义域范围内任意的x 都成立的。因此，在证明的过程中，不能用一些特定的数代入函数，因为这只是猜测函数的性质的一种方法。2.各种性质的代数形式。单调性：定义域内2121,xfxfxx则有单调增奇偶性：定义域内xfxf为偶函数xfxf为奇函数周期性：定义域内xfaxf a 为周期对称性：包括关于轴对称，关于点对称，如关于函数关于ax对称，则xafxaf这个可以让学生去归纳。3.解题时，题目基本都是抽其中的一条性质或者两条性质结合起来考查。如 说到奇偶性轴对称偶函数：关于）对称，奇函数：关于（图像没有奇偶性）对称的，如，定义域是关于原点（y.200.1.3xfxf.21,1x00.1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 25 页 -4 如周期性在三角函数里运用的比较多另外就对称性就跟刚才需要学生去总结的内容相同。二、解决学生认知障碍的策略：（1）在高一新学期开始之时，做好如下几件事：一是要对学生进行高中数学知识结构特点和知识系统构成的讲解，使其尽快进入角色，尽快适应高中数学知识学习的要求。二是要帮助学生尽快调整相关心理结构，以尽快适应高中数学的认知结构。可以从认知方法、认知结构及认知层次等方面，给学生讲清初中与高中的认知差异及调整方法，从而帮助学生及早做好心理上的准备。三是要从高中与初中数学的思想方法和学习方法等方面给学生讲清二者之间的差异，让学生了解高中数学的思想方法和学习方法，为学习高中数学知识作好思想和方法上的准备。具体可以从初、高中的教材教法、思想方法和学习方法的差异入手进行调整，与高中比较，初中明显存在着时间多、形象记忆多、强化训练多，教材内容少、抽象思维少、灵活应用少；让学生了解在初中通过强化记忆和题海战术来提高成绩是可能的，甚至是行之有效的方法。但将此类方法克隆到高中的学习中则是行不通的，甚至是根本不可能实现的。（2）注重对比。从学生初中的数学知识和数学经验与新的高中数学知识的矛盾入手帮助学生消除数学认知障碍，尽快实现高中数学知识与初中数学知识和知识经验的重新组织。在这方面要充分发挥教师的主导作用，充分利用课堂教学的便利条件，在课堂教学过程中要有意识地进行新、旧知识和新、旧方法的对照、比较。让学生通过自己的观察、比较、反思、总结、批判达到吸收、消化、升华的目的。实现新的数学知识与初中的数学经验、数学知识互相促进、协调发展。（3）对于那些习惯于知识堆积的同学要有意识地对其进行高中数学思维特征及思想方法的辅导。一方面要积极发挥其直观、形象记忆好的优势，另一方面要通过课堂教学发展其抽象、形式的思维方法，树立学习信心，培养学习兴趣，以期尽快消除数学认知的障碍，走出数学学习的误区。（4）形象直观。由数学认知结构层次不同造成的数学认知障碍，解决方法是教师要通过课堂教学积极地加以引导，课堂教学要充分利用学生的直观、形象思维好的特点，在抽象性较强的概念教学时要通过创设恰当的问题情景与学习情景从实际问题和形象化入手，直观、形象的自然引入，尽量避免过多的抽象性讲解，帮助学生尽可能的缩短适应高中数学认知结构的过程，减少由于数学认知结构的层次不同所带来的认知障碍的负面影响。（5）针对学生由于数学认知结构的动态性所造成的认知障碍，还是要从动态性入手加以解决。首先要从其心理上加以调整，要学生明确这种心理障碍的存在是客观事物发展的必然规律，是人人都必须面对的客观事实，是每一个同学都会遇到的必然矛盾，它的存在并不可怕。关键是我们如何面对。正确的态度是认真对待、理智应对，尽快找到解决问题的方法，尽早消除此类认知障碍。其次在日常教育教学过程中要充分发挥数学认知结构动态能动性的积极作用，当新的问题情景出现的时候要积极引导学生用他们过去已有的数学认知结构对所面临的问题进行加工和处理，在这个过程中教师要通过创设不同的问题情景，强化新、旧知识结构和新、旧认知结构名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 25 页 -5 之间的联系，引导学生不断的补充、修正过去已有的知识结构和认知结构，加快建立新的知识结构和认知结构，以尽快适应高中数学知识结构和认知结构的要求。心理学的研究表明，认知一致性是人们认知结构发展的心理机制。无论是新概念的引入、新命题的发现，还是新问题的解决，都能导致学生的数学认知结构出现失衡。而在学生的学习过程中，通过概念的掌握、技能的形成以及数学问题的解决，其数学认知结构将会取得新的平衡。在旧的认知结构平衡被打破、新的认知结构平衡重新建立的过程中，数学教师起着重要的作用，只要我们能持之以恒，不断研究，就能够在一定程度上消除数学认知障碍，实现认知结构的平衡与和谐，从而实现有效学习，达到掌握学习的目的。函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.其中复合函数定义域的问题就是定义域中最复杂的问题，核心在于对函数的定义域概念的理解。（单纯考察定义域）例1已知函数1()1f xx的定义域为M，g(x)=ln(1)x的定义域为N，则 M N=（A）|1 x x（B）|1 x x（C）|11xx（D）命题意图:本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数1()1f xx的定义域 M=1,x x g(x)=ln(1)x 的定义域N=1,x xM N=|11 xx故选 C（考察常见函数的定义域）例2.函数2log2yx的定义域是()（A）(3,+)（B）3,+)（C）(4,+)（D）4,+)命题意图:本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由204.log20 xxx，故选 D.（复合函数的定义域）例3若函数的定义域是 0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的解答：函数是由 A到 B上的函数与 B到 C上的函数复合而成的函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 25 页 -6 函数的定义域是 0，1，B=0,1，即函数的值域为 0，1，即，函数的定义域 0，函数是由 A到 B上的函数与 B到 C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定义域是-3，1 点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。函数是由 A到 B上的函数与 B到 C上的函数复合而成的函数的定义域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域 B=-1，8）又是由到上的函数与 B 到 C 上的函数复合而成的函数，而,从而的值域的定义域是 1，）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 25 页 -7 例 4已知函数定义域是（a,b），求的定义域解：由题，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为说明：已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。如果能够将以上的函数定义域问题都解决，高中数学函数定义域的问题对于学生而言已经没有任何问题！函数解析式的求法综述在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知)(xgf或)(xfg，求)(xf或)(xg，或已知)(xf或)(xg，求)(xgf或)(xfg等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。常用的解法如下：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 25 页 -8 一、定义法：例 1：设23)1(2xxxf，求)(xf.解：21)1(3 1)1(23)1(22xxxxxf =6)1(5)1(2xx65)(2xxxf例 2：设21)(xxxff，求)(xf.解：设xxxxxxff111111121)(xxf11)(例 3：设33221)1(,1)1(xxxxgxxxxf，求)(xgf.解：2)(2)1(1)1(2222xxfxxxxxxf又xxxgxxxxxxxxg3)()1(3)1(1)1(3333故2962)3()(24623xxxxxxgf例 4：设)(sin,17cos)(cosxfxxf求.解：)2(17cos)2cos()(sinxxfxfxxx17sin)172cos()1728cos(.二、待定系数法：例 5：已知1392)2(2xxxf，求)(xf.解：显然，)(xf是一个一元二次函数。设)0()(2acbxaxxf则cxbxaxf)2()2()2(2)24()4(2cbaxabax又1392)2(2xxxf比较系数得：1324942cbaaba解得：312cba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 25 页 -9 32)(2xxxf三、换元（或代换）法：例 6：已知,11)1(22xxxxxf求)(xf.解：设,1txx则11tx则xxxxxxxftf11111)1()(2221)1()1(1111)11(11222tttttt1)(2xxxf例 7：设xxf2cos)1(cos，求)(xf.解：令1cos,1costxxt又0201cos2,1cos1txx即0,2,)1()()02(,)1()(22xxxftttf即例 8：若xxxfxf1)1()(（1）在（1）式中以xx1代替x得xxxxxxfxxf11)111()1(即xxxfxxf12)11()1(（2）又以11x代替（1）式中的x得：12)()11(xxxfxf（3）)1(112121)(2:)2()3()1(23xxxxxxxxxxf得)1(21)(23xxxxxf例 9：设)0,()1()()(ba，cbacxxbfxafxf且均不为其中满足，求)(xf。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 25 页 -10 解：cxxbfxaf)1()(（1）用x1来代替x，得xcxbfxaf1)()1(（2）由xbcacxxfbaba222)()(:)2()1(得xbabcacxxfba)()(222四、反函数法：例 10：已知2)(21xafx，求)(xf.解：设01xat，则txalog1即1log txa代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)(22ttttfaaa3log2log)(2xxxfaa五、特殊值法：例11：设)(xf是 定 义 在N 上 的 函 数，满 足1)1(f，对 于 任 意 正 整 数yx,，均 有xyyxfyfxf)()()(，求)(xf.解：由1)1(f，xyyxfyfxf)()()(设1y得：xxfxf)1(1)(即：1)()1(xxfxf在上式中，x分别用1,3,2,1t代替，然后各式相加可得：tttttf21211)1)(2(21)(2)(2121)(2Nxxxxf六、累差法：例 12：若af1lg)1(，且当),0(,lg)()1(,21Nxaaxfxfxx满足时，求)(xf.解：),0(lg)1()(1Nxaaxfxfx递推得：2lg)2()1(xaxfxf3lg)3()2(xaxfxf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 25 页 -11 2lg)2()3(affafflg)1()2(以上)1(x个等式两边分别相加，得：122lglglglg)1()(xxaaaafxf)1()2(21lg)1(xxaf12)1(2)1(lglg1lgxxxxaaaaxxlg 12)1(七、归纳法：例 13：已知afNxxfxf)1()(),(212)1(且，求)(xf.解：aaffaf2124212)1(212)2(,)1(aaff202124)212(212)2(212)3(aaff312124)413(212)3(212)4(aaff422124)81213(212)4(212)5(，依此类推，得axfxx132124)(再用数学归纳法证明之。八、微积分法：例 14：设2)1(,cos)(sin22fxxf，求)(xf.解：xxxf222sin1cos)(sin)1|(|1)(xxxf因此cxxdxxdxfxf221)1()()(2322112)1(ccf)1|(|2321)(2xxxxf反函数一、定义与简单说明名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 25 页 -12 1认知高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.若将某映射 f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射f-1:为原映射的逆映射.若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.定义:如果确定函数 y=f(x)，xA 的映射 f:A B(f:y=f(x),x A)是从 A 到 B 上的一一映射，则它的逆映射 f-1:BA(f-1:y x=f-1(y),yB).所确定的函数 y=f-1(x),xB 称为 y=f(x),x A 的反函数.2反函数存在的条件按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y 也有定义域中的唯一的一个元素x 和它相对应，即定义域中的元素x 和值域中的元素 y，通过对应法则 y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数 y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数例如：函数y=x2,xR，定义域中的元素 1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数而 y=x2,x 1 表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数3函数与反函数图象间的关系函数 y=f(x)和它的反函数 y=f-1(x)的图象关于 y=x 对称若点(a,b)在 y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数 y=f-1(x)的图象上4反函数的几个简单命题（1）一个奇函数 y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数二、说明及性质1由定义和 f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.如 f(x)=x2(xR)无反函数（非一一），g(x)=x2+1(x 0)有反函数，因为它是到1，+）上的一一映射.2f(x),x A 和 f-1(x),xB 互为反函数.3原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.4单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数.可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数 y=(x 0),其反函数与自身相同，但它在(-,0)(0,+)上不具单调性.5若 b=f(a),则 a=f-1(b),即(a,b)在函数图象上，则(b,a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.6xA,f-1f(x)=x;x B,ff-1(x)=x.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 25 页 -13 7原函数与反函数图象关于y=x 对称.8单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数.如：y=x3-x,当 y=0 时 x=0,1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x0,y0,其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.三、求反函数的一般步骤1求 D,因为原函数的值域R 是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.2在原函数的解析式中反求x，写成 x=g(y).3x,y 互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将 x 作为自变量.4下结论（注意给出反函数定义域）四、例题.例 1已知 f(x)=(0 x4),求 f(x)的反函数.分析：这里要先求f(x)的范围（值域）.解：0 x4,0 x216,9 25-x225,3y5,y=,y2=25-x2,x2=25-y2.0 x4,x=(3y5)将 x,y 互换，f(x)的反函数 f-1(x)=(3 x5).例 2已知.f(x+1)=x2-3x+2,x(-,),求.f-1(x).分析：本题是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接，因此可套用相应方法分别处理.解：(1)求 f(x)解析式（用换元法）令t=x+1,t,x=t-1,f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,t(-,).即 y=f(x)=x2-5x+6,x(-,).这是 f(x)的单调区间，存在反函数.(2)求反函数易知y(-,+).y=(x-)2-,(x-)2=y+,x,x-).x=-(y-).名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 25 页 -14 f-1(x)=-(x-).例 3已知 f(x)=，求 f-1(x).分析：求分数函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当 x0 时，y=x+11,y1,+),f-1(x)=x-1(x 1)当 x0 时，y=1-x21,y(-,1).反解 x2=1-y,x=-(y1)f-1(x)=-(x1)综上 f-1(x)=.例 4已知 f(x)=(x 3),求 f-1(5).分析：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设 f-1(5)=x0,则 f(x0)=5,即=5(x03)x02+1=5x0-5,x02-5x0+6=0.解得：x0=3 或 x0=2(舍）f-1(5)=3.例 5设点（4，1）既在 f(x)=ax2+b(a0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.分析：由前面总结的性质我们知道.点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b的点，也就有了两个求解a,b的方程.解：解得.a=-,b=,f(x)=-x+.另这个题告诉我们.函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上.这一点好些同学弄不清楚.例 6已知 f(x)=的反函数为 f-1(x)=,求 a,b,c 的值.分析：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1(x)=的反函数就是含字母的反函数f(x).解：求 f-1(x)=的反函数，令 f-1(x)=y 有 yx-3y=2x+5.(y-2)x=3y+5 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 25 页 -15 x=(y 2),f-1(x)的反函数为y=.即=，a=3,b=5,c=-2.典型题目题目一：（1999年全国高考试题）已知映射f:A B，其中，集合 A=-3,-2,-1,1,2,3,4，集合B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对任意的aA，在 B 中和它对应的元素是 a，则集合 B 中元素的个数是（）.A、4B、5C、6D、7 分析：根据映射的基本概念：“映射允许集合 A 中的不同元素在集合B 中有相同的象.”来解题.解：已知映射 f:A B，在集合 A=-3,-2,-1,1,2,3,4 中共有 7 个元素，其中两个不同元素-3,3对应 B 中相同的象|3|=3，-2，2 对应 B 中相同的象|2|=2，-1，1 对应 B 中相同的象|1|=1，4 对应 B 中的象|4|=4.故本题应选择（A）.评述：（1）映射是两个集合A 与 B 之间的一种特殊反应，它的特点是对于集合A 中任一元素，集合 B 中都有唯一元素和它对应；集合A 中不同的元素在 B 中可以有不同的象，也可以有相同的象；集合 B 中的元素可以有原象，也可以没有原象.（2）映射具有方向性，即从A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射一般是不同的映射.题目二:函数 y=f(x+1)与函数 y=f-1(x+1)的图象（）.A、关于直线 y=x 对称B、关于直线 y=x+1 对称C、关于直线 y=x-1 对称D、关于直线 y=-x 对称解答：y=f(x+1)与 y=f-1(x+1)图象是分别将 y=f(x),y=f-1(x)的图象向左平移一个单位所得，y=f(x)与 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称，y=x 向左平移一个单位而得y=x+1.故选 B.题目三:定义在 R 上的函数 y=f(x)有反函数，则函数 y=f(x+a)+b 的图象与 y=f-1(x+a)+b 的图象间的关系是（）.A、关于直线 y=x+a+b 对称B、关于直线 x=y+a+b 对称C、关于直线 y=x+a-b 对称D、关于直线 x=y+a-b 对称解答:将 y=x 向左平移 a 个单位，向上平移b 个单位得 y=x+a+b，故选 A.题目四：求下列函数的反函数：(1)y=x2+2x-2,x-3,-2;(2)y=.解：（1）y=(x+1)2-3,x-3,-2,-2y1 且(x+1)2=y+3.x+1=-,y=-1-,所求反函数 y=-1-2x1.(2)若 x0，则 y=x20,x=-.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 25 页 -16 若 x0,则 y=-x-1-1,x=-y-1.所求反函数 y=.评注：求函数 y=f(x)的反函数的一般步骤是（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域（2）由 y=f(x)的解析式求出 x=f-1(y).（3）将 x、y 交换位置得 y=f-1(x)（4）求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，它们联合在一起构成原函数的反函数题目五：已知点（1，2）既在 y=的图象上，又在它反函数的图象上，求a,b解：点（1，2）在 y=上，2=.(1)点（1，2）在 y=的反函数的图象上，点（2，1）在 y=上，1=.(2)由(1),(2)得 a=-3,b=7评议：本题目巧妙的运用了：若点(a,b)在 y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数 y=f-1(x)的图象上题目六：若函数 f(x)的图象过（0，1）点，则 f-1(x+4)的图象必过点 _分析：f(x)的图象过（0，1）点，f-1(x)的图象过（1，0）点，而 f-1(x+4)的图象是把 y=f-1(x)的图象向左平移 4 个单位而得到的，故f-1(x+4)的图象过(-3,0)点题目七：设 y=f(x)=,y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于 y=x 对称，求 g(3)的值解：由 y=f-1(x+1),f(y)=x+1.x=f(y)-1,y=f(x)-1 是 y=f-1(x+1)的反函数，即它们关于y=x 对称所以 g(x)=f(x)-1,g(3)=f(3)-1=-1=分析：还可以先求出 f-1(x)，然后求 f-1(x+4)，然后求出 f-1(x+4)的反函数就是 y=g(x)的表达式子.评注：灵活应用反函数的定义，显得轻盈活泼题目八：设 y=f(x)是单调函数，求证：f(x)的反函数 y=f-1(x)是单调函数，且其增减性与f(x)增减性一致证明：以 y=f(x)为增函数时情况加以证明，用反证法设 x1x2,y1=f-1(x1),y2=f-1(x2),证明 y1y2.反之若 y1y2,由于 f(x)是增函数，f(y1)f(y2),而 f(y1)=x1,f(y2)=x2,x1x2与 x1x2矛盾，y10)的两根满足：x11,1x20）.例题 2：讨论方程|x2-2x-3|=a,aR 的实数解的个数分析：通过观察方程两边可以令为两个函数，求方程解个数的问题就转换成了求函数图象交点个数的问题了.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 25 页 -18 解：作出函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4 的图象,保留其位于 x 轴上方的部分,将位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,便可得到函数 y=|x2-2x-3|的图象（如图）再讨论它与直线y=a的交点个数即可（1）当 a0 时,解的个数是 0；（2）当 a=0时或 a4 时,解的个数是 2；（3）当 0a4 时,解的个数是 4；（4）当 a=4时,解的个数是 3点评：将方程和函数紧密联系起来，利用数形结合思想解决问题比较方便.例题 3：已知方程(2-2k)2=ax(kN)在区间 2k-1，2k+1上有两个不等实根，求a 的取值范围.分析：将方程左、右两边看成一个二次函数和一个一次函数，画出它们的图像如图所示，则将原方程在区间 2k-1,2k+1上有两个不等实根问题，转化为两图像在此区间有两个交点问题.解：设 f(x)=(x-2k)2，g(x)=ax，x2k-1,2k+1，在同一坐标系中作出二者的图像，则原方程在 2k-1,2k+1上有两个不相等的实根等价于两图像在区间 2k-1,2k+1 上有两个不同的交点.所以直线 l：y=ax 应介于射线 Ox 与 OB（包括 OB）之间，B 点坐标为（2k+1,1）kOxklKOB，即 00),它表示一射线（不含端点），其中a 的几何意义是射线在x 轴上的端点.由图象可以得到当的时候，两曲线有交点，所以a的范围是点评：这个题目没有采用分类讨论的思想，采取数形结合的思想，避免了烦琐的代数运算，解题目的时候要灵活运用数学的思想方法.例题 5：解不等式x+a(a0).分析：一种方法是列出等价的不等式组求解；另一种方法是在同一坐标系内分别画出左、右两边函数的图像，再根据图像去分析.解一：转化为解不等式组或解得：-ax0.解二：令 y=和 y=x+a，在同一坐标系内作y=和 y=x+a的图像如图所示，并用解方程x+a 的方法求出交点 A 的横坐标为-a，由图像知原不等式的解集为：x|-ax0.（y=可以变形为，是一个圆的方程）点评：正确绘制图形,以反映图形中相应的数量关系.善于观察图形,以揭示图形中蕴含的数量关系.象这一类好字母系数的不等式问题，通过图象求解，直观而简洁，在求交点时需要计算，而在确定不等式解集时需要看图，体现数与形的结合.函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 25 页 -20 的思维和创新能力.例 1已知.|1|)(22kxxxxf（）若 k=2，求方程0)(xf的解；（）若关于 x 的方程0)(xf在（0，2）上有两个解 x1，x2，求 k 的取值范围，并证明.41121xx命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。（I）解：当.02|1|)(,222xxxxfk时分两种情况讨论：当时或即时11,112xxx，方程化为,01222xx131313.01,.222xx解得因为舍去 所以当11,012xx即时，方程化为 1+2x=0，解得21x，由得，.21,2310)(,2xxxfk或的解是方程时当（II）解：不妨设2021xx，因为,1|,1,1|,12)(2xkxxkxxxf所以1,0)(在xf是单调递函数，故1,00)(在xf上至多一个解，121212112221,(1,2),0,0,1,(1,2).21()0,1;17()0,2,1.271,()0(0,2).2xxx xxxf xkkxf xkxkxkf x若则故不符合题意因此由得所以由得所以故当时在上有两个解方法一：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 25 页 -21 2211222221222212180,1,210;48(1,2),41141(8),287778(,1),8()88,222114.kkxxxkxkkkxxkkkxxkkykkkkxx因为所以而方程的两根是因为所以则而在上是减函数则因此方法二：因为01,1,011kxx所以；因为012),2,1(2222kxxx所以，由消去 k，得21212221212111120,2.(1,2),4.x xxxxxxxxx即又因为所以复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例 1对于函数()2f xx，2()(2)fxx，()cos(2)f xx，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x是偶函数；命题乙：()f x在()，上是减函数，在(2)，上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（）命题意图:本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f xxf xxQ是偶函数，又函数2()(2)f xx开口向上且在()，上是减函数，在(2)，上是增函数故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f xx故选例 2函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff_.命题意图:本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.解：由12fxfx,得14()2fxf xfx，所以(5)(1)5ff，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 25 页 -22 115(5)(1)(12)5fffff.例 3已知求；已知，求例 4已知，求；已知，求点评：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。例 6已知是一次函数，满足，求；已知，求点评：当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定