2022年年北京市高考数学试卷_共页 .pdf

第 1 页，共 15 页2019年北京市高考数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共 40.0 分）1.已知集合 A=x|-1x2，B=x|x1，则 A B=（）A.B.C.D.(-1,1)(1,2)(-1,+)(1,+)2.已知复数 z=2+i，则 z?=（）-?A.B.C.3D.5353.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（）A.B.C.D.?=?12?=2-?=?12?=1?4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A.1B.2C.3D.45.已知双曲线-y2=1（a0）的离心率是，则 a=（）?2?25A.B.4C.2D.6126.设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2-m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是-52?1?226.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.B.C.D.1010.110.1?10.110-10.18.如图，A，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -第 2 页，共 15 页A.4?+4?B.4?+4?C.2?+2?D.2?+2?二、填空题（本大题共6 小题，共 30.0 分）9.已知向量=（-4，3），=（6，m），且，则 m=_?10.若 x，y 满足则 y-x 的最小值为 _，最大值为 _?2，?-1，4?-3?+1 0，11.设抛物线y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为_12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为_13.已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断：l m；m ；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 _三、解答题（本大题共6 小题，共 80.0 分）15.在ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12（）求 b，c 的值；（）求 sin（B+C）的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -第 3 页，共 15 页16.设an 是等差数列，a1=-10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列（）求 an的通项公式；（）记 an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000 名学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于 2000 元大于 2000 元仅使用 A27 人3 人仅使用 B24 人1 人（）估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人，求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人，发现他本月的支付金额大于2000 元结合（）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由18.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点（）求证：BD平面 PAC；（）若 ABC=60，求证：平面PAB 平面 PAE；（）棱 PB 上是否存在点F，使得 CF 平面 PAE？说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -第 4 页，共 15 页19.已知椭圆C：+=1 的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）?2?2?2?2（）求椭圆 C 的方程；（）设 O 为原点，直线l：y=kx+t（t1）与椭圆C 交于两个不同点P、Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N若|OM|?|ON|=2，求证：直线l经过定点20.已知函数f（x）=x3-x2+x14（）求曲线 y=f（x）的斜率为l 的切线方程；（）当 x-2，4时，求证：x-6 f（x）x；（）设 F（x）=|f（x）-（x+a）|（a R），记 F（x）在区间-2，4上的最大值为 M（a）当 M（a）最小时，求a 的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -第 5 页，共 15 页答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=x|-1 x2，B=x|x 1，A B=x|-1 x2 x|x1=（-1，+）故选：C直接由并集运算得答案本题考查并集及其运算，是基 础的计算题2.【答案】D【解析】解：z=2+i，z?=故选：D直接由求解本题考查复数及其运算性 质，是基础的计算题3.【答案】A【解析】解：在（0，+）上 单调递 增，和在（0，+）上都是减函数故选：A判断每个函数在（0，+）上的 单调性即可考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的 单调性4.【答案】B【解析】解：模 拟程序的运行，可得k=1，s=1 s=2 不满足条件 k3，执行循环体，k=2，s=2 不满足条件 k3，执行循环体，k=3，s=2 此时，满足条件 k3，退出循环，输出 s 的值为 2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -第 6 页，共 15 页故选：B由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 s的值，模 拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框 图的应用问题，解 题时应 模拟程序框 图的运行 过程，以便得出正确的 结论，是基础题5.【答案】D【解析】解：由双曲线-y2=1（a0），得 b2=1，又 e=，得，即，解得，a=故选：D由双曲 线方程求得 b2，再由双曲线的离心率及 隐含条件 a2+b2=c2联立求得 a值本题考查双曲线的简单性质，考 查计算能力，是基础题6.【答案】C【解析】解：设函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”?“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”?“b=0”，函数 f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件故选：C“b=0”?“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”?“b=0”，由此能求出结果本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基 础知识，考 查推理能力与计算能力，属于基础题7.【答案】A【解析】名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -第 7 页，共 15 页解：设太阳的星等是 m1=-26.7，天狼星的星等是 m2=-1.45，由题意可得：，则故选：A把已知熟 记代入 m2-m1=lg，化 简后利用 对数的运算性 质求解本题考查对数的运算性 质，是基础的计算题8.【答案】B【解析】解：由 题意可得 AOB=2 APB=2 ，要求阴影区域的面 积的最大 值，即为直线 QO AB，即有 QO=2，Q 到线段 AB 的距离 为 2+2cos ，AB=2?2sin=4sin，扇形 AOB 的面积为?2?4=4，ABQ 的面积为（2+2cos）?4sin=4sin+4sin cos=4sin+2sin2，SAOQ+S BOQ=4sin+2sin2-?2?2sin2=4sin，即有阴影区域的面 积的最大 值为 4+4sin故选：B由题意可得 AOB=2 APB=2 ，要求阴影区域的面 积的最大 值，即 为直线QO AB，运用扇形面积公式和三角形的面 积公式，计算可得所求最大 值本题考查圆的扇形面 积公式和三角函数的恒等 变换，考 查化简运算能力，属于中档 题9.【答案】8【解析】解：由向量=（-4，3），=（6，m），且，得，m=8故答案 为：8名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -第 8 页，共 15 页则，代入，解方程即可本题考查了平面向量的数量 积与垂直的关系，属基 础题10.【答案】-3 1【解析】解：由 约束条件作出可行域如 图，A（2，-1），B（2，3），令 z=y-x，作出直线 y=x，由 图可知，平移直 线 y=x，当直线 z=y-x 过 A 时，z有最小 值为-3，过 B 时，z 有最大 值1故答案 为：-3，1由约束条件作出可行域，令 z=y-x，作出直线 y=x，平移直线得答案本题考查简单 的线性规划，考查数形结合的解 题思想方法，是中档 题11.【答案】（x-1）2+y2=4【解析】解：如 图，抛物线 y2=4x 的焦点 为 F（1，0），名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -第 9 页，共 15 页 所求圆的圆心 F，且与准线 x=-1 相切，圆的半径 为 2则所求圆的方程 为（x-1）2+y2=4故答案 为：（x-1）2+y2=4由题意画出 图形，求得圆的半径，则圆的方程可求本题考查抛物线的简单性质，考 查直线与圆位置关系的 应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题12.【答案】40【解析】解：由三 视图还 原原几何体如 图，该几何体是把棱 长为 4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体 积 V=故答案 为：40由三视图还 原原几何体，然后利用一个 长方体与一个棱柱的体 积作和求解本题考查由三视图求面积、体 积，关 键是由三 视图还 原原几何体，是中档 题13.【答案】若 l ，l m，则 m【解析】解：由l，m 是平面 外的两条不同直 线，知：由线面平行的判定定理得：若 l ，l m，则 m 故答案 为：若l ，l m，则 m 由 l，m 是平面 外的两条不同直 线，利用线面平行的判定定理得若名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -第 10 页，共 15 页l ，l m，则 m 本题考查满足条件的真命 题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考 查推理能力与 计算能力，属于中档 题14.【答案】130 15【解析】解：当 x=10 时，顾客一次 购买草莓和西瓜各 1 盒，可得60+80=140（元），即有顾客需要支付 140-10=130（元）；在促销活动中，设订单总 金额为 m 元，可得（m-x）80%m 70%，即有 x，由题意可得 m 120，可得 x=15，则 x 的最大 值为 15元故答案 为：130，15 由题意可得 顾客一次 购买的总金额，减去x，可得所求值；在促销活动中，设订单总 金额为 m 元，可得（m-x）80%m 70%，解不等式，结合恒成立思想，可得 x 的最大值本题考查不等式在 实际问题 的应用，考查化简运算能力，属于中档 题15.【答案】解：（1）a=3，b-c=2，cosB=-12 由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=，9+(?-2)2-2 3(?-2)(-12)b=7，c=b-2=5；（2）在ABC 中，cosB=-，sinB=，1232由正弦定理有：，?=?sinA=，?=3 3273 314 sin（B+C）=sin（-A）=sinA=?3 314【解析】名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -第 11 页，共 15 页（1）利用余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可；（2）sin（B+C）=sin（-A）=sinA，根据正弦定理可求出 sinA本题考查了正弦定理余弦定理，属基 础题16.【答案】解：（）an 是等差数列，a1=-10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列（a3+8）2=（a2+10）（a4+6），（-2+2d）2=d（-4+3d），解得 d=2，an=a1+（n-1）d=-10+2n-2=2n-12（）由 a1=-10，d=2，得：Sn=-10n+=n2-11n=（n-）2-，?(?-1)221121214 n=5 或 n=6 时，Sn取最小值-30【解析】（）利用等差数列通 项公式和等比数列的性 质，列出方程求出 d=2，由此能求出an的通项公式（）由 a1=-10，d=2，得Sn=-10n+=n2-11n=（n-）2-，由此能求出 Sn的最小 值本题考查数列的通 项公式、前 n 项和的最小 值的求法，考查等差数列、等比数列的性 质等基础知识，考查推理能力与 计算能力，属于基础题17.【答案】解：（）由题意得：从全校所有的1000 名学生中随机抽取的100 人中，A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，仅使用 A 的有 30 人，仅使用B 的有 25 人，A，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40，估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数为：1000=400 人40100（）从样本仅使用B 的学生有 25 人，其中不大于2000 元的有 24 人，大于2000 元的有 1 人，从中随机抽取1 人，基本事件总数n=25，该学生上个月支付金额大于2000 元包含的基本事件个数m=1，该学生上个月支付金额大于2000 元的概率 p=?125（）不能认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -第 12 页，共 15 页发现他本月的支付金额大于2000 元的概率为，125虽然概率较小，但发生的可能性为125故不能认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化【解析】（）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100 人中，A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，仅使用 A 的有 30 人，仅使用 B 的有 25 人，求出 A，B 两种支付方式都使用的人数有40 人，由此能估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数（）从 样本仅使用 B 的学生有 25 人，其中不大于 2000元的有 24人，大于2000 元的有 1 人，从中随机抽取 1 人，基本事件总数 n=25，该学生上个月支付金额大于 2000元包含的基本事件个数m=1，由此能求出该学生上个月支付金额大于 2000元的概率（）从 样本仅使用 B 的学生中随机抽 查 1 人，发现他本月的支付金 额大于 2000元的概率 为，虽然概率 较小，但发生的可能性 为不能认为样 本仅使用 B 的学生中本月支付金 额大于 2000 元的人数有 变化本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基 础知识，考 查推理能力与计算能力，属于基础题18.【答案】证明：（）四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，BD PA，BD AC，PA AC=A，PA、AC平面 PAC，?BD 平面 PAC（）在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC=60，是等边三角形，?E 为 CD 的中点，?，?AB AE，PA 平面 ABCD，PA AE，PA AB=A，PA、AB平面 PAB，?AE 平面 PAB，AE?平面 PAE，平面 PAB 平面 PAE名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -第 13 页，共 15 页解：（）棱 PB 上存在中点F，使得 CF 平面 PAE理由如下：分别取PB、PA 的中点 F、G,连接 CF、FG、EG，在三角形PAB 中，且，?=12?在菱形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，所以CEAB，且，?=12?所以 CEFG，且，?=?即四边形CEGF 为 平行四边形，所以，?又，.【解析】（）推 导出 BD PA，BD AC，由此能证明 BD 平面 PAC（）推 导出 AB AE，PA AE，从而AE 平面 PAB，由此能证明平面 PAB平面 PAE（）棱 PB 上存在中点 F，分 别取 PB、PA 的中点 F、G,连接 CF、FG、EG，推导出四边形 CEGF 为 平行四 边形，所以，进而 CF 平面 PAE本题考查线面垂直、面面垂直的 证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基 础知识，考 查推理能力与 计算能力，属于中档 题19.【答案】解：（）椭圆 C：+=1 的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）?2?2?2?2可得 b=c=1，a=，?2+?22则椭圆方程为+y2=1；?22（）证明：y=kx+t 与椭圆方程x2+2y2=2 联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -第 14 页，共 15 页设 P（x1，y1），Q（x2，y2），=16k2t2-4（1+2k2）（2t2-2）0，x1+x2=-，x1x2=，4?1+2?22?2-21+2?2AP 的方程为y=x+1，令 y=0，可得 y=，即 M（，0）；?1-1?1?11-?1?11-?1AQ 的方程为y=x+1，令 y=0，可得 y=即 N（，0）?2-1?2?21-?2?21-?2（1-y1）（1-y2）=1+y1y2-（y1+y2）=1+（kx1+t）（kx2+t）-（kx1+kx2+2t）=（1+t2-2t）+k2?+（kt-k）?（-）=，2?2-21+2?24?1+2?2(?-1)21+2?2|OM|?|ON|=2，即为|?|=2，?11-?1?21-?2即有|t2-1|=（t-1）2，由 t1，解得 t=0，满足 0，即有直线l 方程为 y=kx，恒过原点（0，0）【解析】（）由 题意可得 b=c=1，由a，b，c 的关系，可得 a，进而得到所求 椭圆方程；（）y=kx+t 与椭圆方程 x2+2y2=2 联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定点的求法，计算可得 结论本题考查椭圆 的方程和运用，考 查联立直线方程和 椭圆方程，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档 题20.【答案】解：（）f（x）=，34?2-2?+1由 f（x）=1 得 x（x-）=0，83得?1=0，?2=83又 f（0）=0，f（）=，83827 y=x 和，?-827=?-83即 y=x 和 y=x-；6427（）证明：欲证x-6 f（x）x，只需证-6 f（x）-x0，令 g（x）=f（x）-x=，x-2，4，14?3-?2则 g（x）=，34?2-2?34?(?-83)可知 g（x）在-2，0为正，在（0，）为负，在 为正，8383，4 g（x）在-2，0递增，在 0，递减，在 递增，8383，4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -第 15 页，共 15 页又 g（-2）=-6，g（0）=0，g（）=-6，g（4）=0，836427-6 g（x）0，x-6 f（x）x；（）由（）可得，F（x）=|f（x）-（x+a）|=|f（x）-x-a|=|g（x）-a|在-2，4上，-6 g（x）0，令 t=g（x），h（t）=|t-a|，则问题转化为当t-6，0时，h（t）的最大值M（a）的问题了，当 a-3 时，M（a）=h（0）=|a|=-a，此时-a3，当 a=-3 时，M（a）取得最小值3；当 a-3 时，M（a）=h（-6）=|-6-a|=|6+a|，6+a3，M（a）=6+a，也是 a=-3 时，M（a）最小为 3综上，当M（a）取最小值时a 的值为-3【解析】（）求 导数 f（x），由 f（x）=1 求得切点，即可得点斜式方程；（）把所 证不等式 转化为-6f（x）-x0，再令g（x）=f（x）-x，利用导数研究g（x）在-2，4的单调性和极 值点即可得 证；（）先把 F（x）化 为|g（x）-a|，再利用（）的结论，引 进函数 h（t）=|t-a|，结合绝对值函数的 对称性，单调性，通过对称轴 t=a与-3 的关系分析即可此题考查了导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，难度较大名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -