2022年高中数学必修⑤..《正弦定理》教学设计 .pdf

课题：必修1.1.1 正弦定理三维目标：1、知识与技能（1）通过对任意三角形边长和角度关系的合作探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；（2）能运用正弦定理与三角形内角和定理及相关的三角知识解斜三角形的两类基本问题；（3）通过简单运用，初步理解公式的结构及其功能，为下一步学习打好基础。2、过程与方法引领学生从已有的几何、三角知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、分析、实践、交流，由特殊到一般归纳出正弦定理，在体验由特殊到一般的推理过程及合作探究过程的同时，不断认识三角、向量知识的工具性作用及所带来的分类讨论思想、转化思想及数形结合思想；通过用向量推导三角公式，体会向量的强大威力，锻炼自己的抽象思维能力和推理论证能力；通过公式的推导与应用，进一步体会三角知识的本质联系以及数学工具应用的广泛性与重要性；培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观（1）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（2）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（3）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：用向量法推导正弦定理及其基本应用教学难点：公式的探索、推导以及已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：同学们，前面我们已全面学习了三角的基本知识，通过初步运用，我们也初步感受到了三角知识的强大威力和无限魅力，同学们可以回顾一下相关的三角公式 在初中，我们也学习了一些基本的三角知识，比如：勾股定理体现了直角三角形的性质：边、角的关系，对于非直角三角形，有没有关于边名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -、角的性质呢？今天，我们一起探讨这个问题二、创设情境合作探究：【创设情境】在初中，我们已学过如何解直角三角形，直角三角形中，有勾股定理来体现边的关系，有没有更深入的边与角的关系呢？如图 11-1，固定ABC的边 CB及B，使边 AC绕着顶点 C转动。A 思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用 一 个 等 式 把 这 种 关 系 精 确 地 表 示 出 来？C B(图 11-1)下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在 RtABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,A 则sinsinsinabccABC b c 从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC C a B(图 11-2)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -【思考】那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？【合作探究】（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）：如图 11-3，当ABC是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C 同 理 可 得sinsincbCB，b a 从而sinsinabABEMBED Equation.DSMT4 sincCA c B (图 11-3)【思考】是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A作jAC，C 由向量的加法可得ABAC CB则()jAB jAC CB A B jABjACjCBj00cos 900cos 90j ABAj CBC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -sinsincAaC，即sinsinacAC同理，过点 C作jBC，可得sinsinbcBC从而sinsinabABEMBED Equation.DSMT4 sincC类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理【点评】（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsinsinabABsincC等 价 于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAEMBED Equation.DSMT4 sincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABEMBED Equation.DSMT4 sincC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -三、互动达标巩固所学：问题.1 在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。【分析】可先利用三角形内角和为1800求出角 C,然后用正弦定理求出其它两边即可【解析】根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA【点评】此问题是利用正弦定理解决的第一类基本问题：已知三角形的任意两角及其一边求其他边和角，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。问题.2 在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到 1cm）。【分析】知两边和一边的对角，直接利用正弦定理求另一边的对角的正弦即可：【解析】根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00B0180，ba,所以064B，或0116.B 当064B时，00000180()180(4064)76CAB，00sin20sin7630().sinsin40aCccmA 当0116B时，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -00000180()180(40116)24CA B，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA【点评】此问题是利用正弦定理解决的第二类基本问题：已知两边和其中一边的对角解三角形要注意分析是由一解还是有两解，根据所给的两边的大小容易得之。四、思悟小结：知识线：（1）正弦定理；（2）相关的三角公式和性质；（3）向量性质的运用。思想方法线：（1）公式法；（2）等价转化思想；（3）分类讨论思想方法。题目线：（1）已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -五、针对训练巩固提高：（一）学案上的题目：（二）补充：1已知ABC中，A060，3a,求sinsinsinabcABC分析：可通过设一 参数 k(k0)使sinsinabABEMBED Equation.DSMT4 sinckC,证明出sinsinabABEMBED Equation.DSMT4 sincCsinsinsinabcABC解：设sinsinabABEMBED Equation.DSMT4(o)sinck kC则有sinakA，sinbkB，sinckC从而sinsinsinabcABC=sinsinsinsinsinsinkAkBkCABC=k又sinaAEMBED Equation.DSMT4 032sin60k，所以sinsinsinabcABC=2 评 述：在ABC 中，等 式sinsinabABEMBED Equation.DSMT4 sincC0sinsinsinabck kABC恒成立。2已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c（答案：1：2：3）【作业】课本：第 10 页 1，2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -