2022年高二数学期末知识点总结 .pdf

名师整理精华知识点高中数学基础知识点总结第一部分集合1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？一定要抓住集合的代表元素，如：xyxlg|与xyylg|及xyyxlg|),(2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3（1）含 n 个元素的集合的子集个数为n2，真子集（非空子集）个数为n21；（2）;BBAABABA（3）BCACBACUUU)(；BCACBACUUU)(。4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分函数与导数1映射：注意第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数定义域的求法：定义域即自变量x的范围。分母不为0；负数不能开偶次方；真数大于0；00没有意义；底数大于0 且不为 1；xytan（2kx）3函数值域的求法：分析法；配方法abacabxacbxaxy44)2(222；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式abba2；利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（xa、xsin、xcos等）；导数法4复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：已知函数)(xfy的定义域为D，求函数)(xgfy的定义域，只需Dxg)(解出x的范围为所求；已知函数)(xgfy的定义域为E，求函数)(Xfy的定义域，xE，求 g(x)的值域。X 相当与 g(x)（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数)(xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(ufy；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。5分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。（值域是各段函数值域的并集）6函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；)(xf是奇函数)(xf-)(xf-；)(xf是偶函数)(xf-)(xf奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(f；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；7函数的单调性单调性的定义：)(xf在区间M上是增函数Mxx21,当21xx时有)()(21xfxf；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -名师整理精华知识点)(xf在区间M上是减函数Mxx21,当21xx时有)()(21xfxf。单调性的判定定义法：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式乘积或作商的形式（会有（21xx）这个因式），以利于判断符号；导数法（导函数的正负就是原函数的增减）；复合函数法（同增异减）；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。8函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf（其中T为非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期xysin：2T；xycos：2T；xytan：T；)sin(xAy：2T；)cos(xAy：2Txaysinxbcos)sin(22xba2T(3)与周期有关的结论y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(x a)或 f(x2a)=f(x)(a0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数；若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为 2a的周期函数；若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则 f(x)是周期为 4a的周期函数；若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则 f(x)是周期为 2ba的周期函数；y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周期为 2ba的周期函数；y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)=)(1xf，则 y=f(x)是周期为 2a的周期函数；9对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）同底的对数函数与指数函数互为反函数（2）原函数与反函数图像关于直线y=x 对称。（3）有相同的单调性。10基本初等函数的图像与性质幂函数：axy)(Ra；指数函数：xay)10(aa且；对数函数:)1,0(logaaxya；naabbnloglog(a0,a1,b0,nR+);l og a N=aNbbloglog(a0,a1,b0,b1);l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆;a log a N=N(a0,a1,N0);正弦函数:xysin；余弦函数：xycos；（6）正切函数：xytan；一元二次函数：02cbxax；其它常用函数：正比例函数：)0(kkxy；反比例函数：)0(kxky；函数)0(axaxy；10二次函数：解析式：一般式：cbxaxxf2)(；顶点式：khxaxf2)()(，),(kh为顶点；零点式：)()(21xxxxaxf。二次函数问题解决需考虑的因素：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -名师整理精华知识点开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，。处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；11函数图象：图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换：)()(axfyxfy，)0(a 左“+”右“”；)0(,)()(kkxfyxfy 上“+”下“”；对称变换：)(xfy)0,0()(xfy；)(xfy0y)(xfy；)(xfy0 x)(xfy；)(xfyxy()xf y；翻转变换：)|)(|)(xfyxfy右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；)|)(|)(xfyxfy 上不动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象）；12函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上(2)证明图像 C1与 C2的对称性，即证明C1 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2,反之亦然；(3)曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(ya,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0);（4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线C2 方程为：f(2ax,2by)=0;（5）若函数 y=f(x)对 xR 时，f(a+x)=f(a x)恒成立，则 y=f(x)图像关于直线x=a 对称；（6）函数 y=f(x a)与 y=f(b x)的图像关于直线x=2ba对称；注：曲线C1:f(x,y)=0 关于点（0,0）的对称曲线C2 方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线C2 方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线C2 方程为：f(y,x)=0 13.方程 k=f(x)有解kD(D 为 f(x)的值域)；14.af(x)恒成立af(x)max,;af(x)恒成立af(x)min;15.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；16.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()()0f ug x uh x(或()00)()()0f aaubf b（或()0()0f af b）；17.掌握函数(0);(0)ax bb acayab acyxax cx cx的图象和性质；函数cxacbacxbaxy(b ac0)0(axaxy）定),(),(cc),0()0,(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -名师整理精华知识点义域值域),(),(aa),22,(aa奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当 b-ac0 时:分别在),(),(cc上单调递减；当 b-ac0 时:分别在),(),(cc上单调递增；在),(aa上单调递增；在,0(),0,aa上单调递减；图象18实系数一元二次方程2()0(0)f xaxbxca的两根21,xx的分布问题：根的情况kxx2112mxxn21xkx等价命题在),(k上有两根在(,)m n上有两根在),(k和),(k上各有一根充要条件0()02f kbka0()0()02f mf nbman()0f k注意：若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，得出结果，在令nx和mx检查端点的情况。19函数零点的求法：直接法（求0)(xf的根）；图象法；二分法.(4)零点定理：若y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0,N0）焦点所在轴：看分母的大小。另为更一般的形式122nymx统一形式：122NyMx（）焦点所在轴：看项的。另为更一般的形式122nymx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -名师整理精华知识点俯视图：从上往下看；注意：正视图与侧视图等高，正视图与俯视图等长，俯视图与侧视图等宽。4、斜二测画法画水平面的直观图关键是y轴与x轴成045（或0135），长度变为原来的一半。其他不变。5、面积1）、正方形2aS正方形长方形abS长方形；平行四边形ahS平行四边形；梯形hbaS2)(梯形。2）、三角形cbahchbhaS212121三角形。即21底高BcaCbaSsin21sin21三角形。特别地，边长为a 的正三角形的面积。直角边为 a 的等腰直角三角形的面积。多边形面积通常把它们分解成多个三角形或四边形的面积和求解3）、扇形弧长rl（注意：为扇形的圆心角的弧度数）另外，角度化为弧度乘以o180，弧度化为角度乘以o180。2rS圆；22121rrlS扇形；)(2121rrllbaS扇环。6、表面积和体积柱体底侧柱 SSS2hSV底柱锥体底侧锥SSShSV底锥31台体下底上底侧台SSSShSSSSV下底上底下底上底台31球24 rS球334rV球二、点、直线、平面的位置关系三种语言的转化；点、线、面的位置关系；平行、垂直的性质和判定。平面公理 1（文字语言）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。图形语言：符号语言：公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。图形语言：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -名师整理精华知识点符号语言：公理 2 三推论：1、经过直线和直线外一点，有且只有一个平面。2、经过两条相交直线，有且只有一个平面。3、经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。2、空间中线与线的位置关系：相交直线，平行直线，异面直线。其中，相交直线和平行直线都叫共面直线。平行直线和异面直线都没有公共点。公理 4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O 作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。特别的，当所成的角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直。3、空间中直线与平面之间的位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行其中直线与平面相交和直线与平面平行都叫直线在平面外。4、平面与平面之间的位置关系：平面与平面平行平面与平面相交名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -名师整理精华知识点三、平行的判定及其性质直线与平面平行的判定与性质线面平行的定义：判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。2、平面与平面平行的判定判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质定理：如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。性质：两个平面平行，那么一个平面内任一直线和另一个平面平面。四、垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直的判定线面垂直的定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线直线l与平面互相垂直。判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、平面与平面垂直的判定及其性质面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直。判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -名师整理精华知识点第三部分向量一、基本概念：向量的定义向量的模零向量单位向量相反向量共线向量相等向量二、加法与减法的运算及其几何意义：1、代数运算(1)、nnnAAAAAAAA113221“首尾相接，首尾连”(2)、若 a=（11,yx）,b=（22,yx）则 ab=（2121,yyxx）2、几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量AC=a+b,BD=ba,DB=ab三、向量的数乘运算及其几何意义：实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量。(1)a=a;(2)当0 时，a与a的方向相同；当0 时，a与a的方向相反；当=0 时，a=0(3)若a=（11,yx），则a=（11,yx）两个向量共线的充要条件：(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=a(2)若a=（11,yx）,b=（22,yx）则ab1221yxyx“两内之积等于两内之积”四、向量的数量积及其几何意义：1、向量的夹角：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -名师整理精华知识点已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则 AOB=（001800）叫做向量a与b的夹角。2、两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量则abcos叫做向量a与b的数量积，记作ab。所以ab=a bcos。我们规定，零向量与任一向量的数量积为0。3、向量的数量积的运算律：ab=ba;(a)b=(ab)=a(b);(ab)c=ac+bc4、向量的数量积的坐标表示、模、夹角若a=（11,yx）,b=（22,yx）则abab=002121yyxx（a，b为非零向量）;a=2121yxaa;变形求角cos=baba=222221212121yxyxyyxx第四部分导数及其应用、基本初等函数的导数公式：1)、C=0 这里 C 是常数。即常数的导数值为。2）、1nnxnx特别地：x；x11x3）、xxc o ss i n；4）、xxs i nc o s5）、aaaxxln；6）、xxee7）、axxaln1log8）、xx1ln2、导数的运算法则1）、和差的导数)()(xgxf)()(xgxf；2)、积的导数)()(xgxf)()(xgxf)()(xgxf；特别地)()(xf cxcf3）、商的导数)()(xgxf)()()()()(2xgxgxfxgxf。3、导数的概念和几何物理意义：1）、定义：一般地，函数)(xfy在0 xx处的瞬时变化率是xyx0limxxfxxfx)()(lim000我们称它为函数)(xfy在0 xx处的导数，记作)(0 xf或0 xxy，即)(0 xfxyx0limxxfxxfx)()(lim000。2）、几何、物理意义)(0 xf表示过曲线y=f(x)上的点 P()(,00 xfx)的切线的斜率。k)(0 xf位移关于时间的函数)(tss)(tsv表示瞬时速度（即时速度）。a=)(tv表示加速度。4、导数的应用：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -名师整理精华知识点1）、求切线的斜率。2）、导数与函数的单调性的关系函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，用导数来判断很方便，我们一定要掌握好。若0)(xf，则函数)(xfy为增函数；若0)(xf，则函数)(xfy为减函数。题型：用导数求单调区间的步骤：（1）、求导；（2）、令0)(xf，解出 x 的范围为单调递增区间；（3）、令0)(xf，解出 x 的范围为单调递减区间3）、求极值、求最值。注意：导数值为0 的点不一定是函数的极值点，也就是说，函数)(xfy在一点的导数值为0 是函数)(xfy在该点取极值的必要条件，而非充分条件。导数为0 的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性。法则：“两边导数改变为极值点”“左正右负，取得极大值”，“左负右正，取得极小值”。（一）、求函数极值的步骤：（1）求导)(xf；（2）令)(xf0，解方程求出所有根；（3）列表，根把在所求区间分为若干部分，分别判断导数在各个区间的符号，根据法则确定出根是否为极值点。注意：极值 最值。函数 f(x)在区间 a,b 上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。（二）、求函数最值的步骤：（1）、求出函数 f(x)在区间（a,b）内的极值；（2）、将函数各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。（三）生活中的优化问题1、审题，找出题中的关系式（审题慢）建立函数解析式，用变量表示题中关系，抽象成数学问题（变量少，求什么，设什么）用数学方法求出最优解（导数法，基本不等式法，二次函数配方法）做答。祝：同学们期末考试数学取得好成绩！名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -