2022年平面向量的概念及线性运算 .pdf

学习好资料欢迎下载 5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有 _又有 _的量；向量的大小叫做向量的 _(或称 _)平面向量是自由向量零向量长度为 _的向量；其方向是任意的记作 _ 单位向量长度等于 _的向量非零向量a 的单位向量为 a|a|平行向量方向 _或_的非零向量0 与任一向量 _或共线共线向量_的非零向量又叫做共线向量相等向量长度 _且方向 _的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 _且方向 _的向量0 的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b的差_法则aba(b)数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)|a|_；(2)当 0 时，a 的方向与a 的方向 _；当|b|，则 ab；(2)若|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且 a 与 b 方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量 a 与向量 b平行，则向量a 与 b 的方向相同或相反；(6)若向量 AB与向量 CD是共线向量，则A，B，C，D 四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例 2在 ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且GB2GE，设ABa，ACb，试用 a，b 表示AD，AG.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载在 ABC 中，E、F 分别为 AC、AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G 点，设 ABa，ACb，试用 a，b 表示AG.题型三平面向量的共线问题例 3设两个非零向量a与 b 不共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证：A、B、D 三点共线；(2)试确定实数k，使 kab 和 akb 共线.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使 1a2b0 成立，若 1a2b0，当且仅当120 时成立，则向量a、b不共线.如图所示，ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得 AN13AC，在 AB 上取一点 M，使得 AM13AB，在 BN 的延长线上取点P，使得 NP12BN，在 CM 的延长线上取点Q，使得 MQ CM时，APQA，试确定 的值.11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(14 分)如图所示，在ABO 中，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OAa，OBb.试用 a 和 b表示向量 OM.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然 OM能用 a、b 表示，那我们不妨设出OMmanb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设OMmanb，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载则AMOMOAmanba(m1)anb.ADODOA12OBOAa12b.3 分 又A、M、D 三点共线，AM与AD共线.存在实数t，使得 AMtAD，即(m1)anbt a12b.5 分(m1)anbta12tb.m1tnt2，消去 t 得，m1 2n，即 m2n1.7 分 又CMOMOCmanb14a m14anb，CBOBOCb14a14ab.又C、M、B 三点共线，CM与CB共线.10 分 存在实数t1，使得 CMt1CB，m14anbt114ab，m1414t1nt1，消去 t1得，4mn1.12 分 由得 m17，n37，OM17a37b.14 分 批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如ABCD且 AB 与 CD 不共线，则ABCD；若ABBC，则 A、B、C 三点共线.失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载 5.1平面向量的概念及线性运算(时间：60 分钟)A 组专项基础训练题组一、选择题1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 a b，则 a 与 b 共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4 2.设 P 是 ABC 所在平面内的一点，BCBA2BP，则()A.PAPB0 B.PCPA0 C.PBPC0 D.PAPBPC0 3.已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab.如果 cd，那么()A.k 1 且 c 与 d 同向B.k1 且 c 与 d 反向C.k 1 且 c 与 d 同向D.k 1 且 c 与 d 反向二、填空题4.设 a、b 是两个不共线向量，AB2apb，BCab，CDa2b，若 A、B、D 三点共线，则实数p 的值为 _.5.在平行四边形ABCD 中，E 和 F 分别是边CD 和 BC 的中点，若 AC AE AF，其中 ，R，则 _.6.如图，在 ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB211AC，则实数 m 的值为 _.三、解答题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载7.如图，以向量 OAa，OBb 为边作?OADB，BM13BC，CN13CD，用 a、b 表示OM、ON、MN.8.若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b起点相同，则当t 为何值时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直线上？B 组专项能力提升题组一、选择题1.已知 P 是 ABC 所在平面内的一点，若 CB PAPB，其中 R，则点 P 一定在()A.ABC 的内部B.AC 边所在直线上C.AB 边所在直线上D.BC 边所在直线上2.已知 ABC 和点 M 满足 MAMBMC0，若存在实数m 使得 ABACmAM成立，则 m 等于()A.2 B.3 C.4 D.5 3.O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OPOAAB|AB|AC|AC|，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题4.已知向量a，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b 共线的条件是_(将正确的序号填在横线上).2a3b4e，且 a2b 3e；存在相异实数、，使 a b0；x ay b0(实数 x，y 满足 xy0)；若四边形ABCD 是梯形，则 AB与CD共线.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载5.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点 M、N，若ABmAM，ACnAN，则mn 的值为 _.6.在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD2DB，CD13CA CB，则 _.7.已知直线xya 与圆 x2y24 交于 A、B 两点，且|OAOB|OAOB|，其中 O为坐标原点，则实数a 的值为 _.三、解答题8.已知点 G 是 ABO 的重心，M 是 AB 边的中点.(1)求GAGBGO；(2)若 PQ 过 ABO 的重心 G，且OAa，OBb，OPma，OQnb，求证：1m1n3.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载答案要点梳理1.大小方向长度模零01 个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.三角形平行四边形(1)ba(2)a(bc)三角形(1)|a|(2)相同相反0a a a a b3.b a基础自测1.OS2.b12a3.4.25.A 题型分类 深度剖析例 1变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为AB与CD共线，而 AB 与 CD 可以不共线即ABCD.(7)正确.(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.例 2解AD12(ABAC)12a12b；AGABBGAB23BEAB13(BABC)23AB13(ACAB)13AB13AC13a13b.变式训练 2解AGABBGAB BEAB2(BABC)12AB2(ACAB)(1)AB2AC(1)a2b.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载又AGACCGACmCFACm2(CACB)(1m)ACm2ABm2a(1m)b，1 m21m2，解得 m23，AG13a13b.例 3(1)证明ABab，BC2a8b，CD3(ab)，BDBCCD2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB.AB、BD共线，又 它们有公共点B，A、B、D 三点共线.(2)解kab 与 akb 共线，存在实数，使 kab(akb)，即 kab akb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，k k10，k210.k 1.变式训练312课时规范训练A 组1.C2.B3.D4.1 5.436.3117.解BAOAOBab，BM16BA16a16b，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载OMOBBM16a56b.又ODab，ONOC13CD12OD16OD23OD23(ab).MNONOM23a23b16a56b12a16b.即OM16a56b，ON23a23b，MN12a16b.8.解设OAa，OBtb，OC13(ab)，ACOCOA23a13b，ABOBOAtba.要使 A、B、C 三点共线，只需AC AB.即23a13btb a.有23 ，13t，?23，t12.当 t12时，三向量终点在同一直线上.B 组1.B2.B3.B4.5.2 6.237.2 8.(1)解GAGB2GM，又 2GMGO，GAGBGO GOGO0.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载(2)证明显然OM12(ab).因为 G 是ABO 的重心，所以 OG23OM13(ab).由 P、G、Q 三点共线，得 PGGQ，所以，有且只有一个实数，使PG GQ.而PGOGOP13(ab)ma13m a13b，GQOQOGnb13(ab)13a n13b，所以13m a13b13a n13b.又因为 a、b 不共线，所以13m1313n13，消去 ，整理得 3mnmn，故1m1n3.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -学习好资料欢迎下载名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -