2022年高等数学练习题附答案 2.pdf

第一章自测题一、填空题（每小题3 分，共 18 分）1.03limsintanln 12xxxx .2.2131lim2xxxxx .3.已知212lim31xxaxbx，其中为ba,常数，则a，b .4.若2sin2e1,0,0axxxfxxax在,上连续，则a .5.曲线21()43xf xxx的水平渐近线是，铅直渐近线是 .6.曲线121 exyx的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3 分，共 18 分）1.“对任意给定的1,0，总存在整数N，当Nn时，恒有2axn”是数列nx收敛于a的 .A.充分条件但非必要条件 B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件2.设2,02,0 xxg xxx，2,0,0 xxfxxx则gfx .A.22,02,0 xxxx B.22,02,0 xxxx C.22,02,0 xxxx D.22,02,0 xxxx3.下列各式中正确的是 .A01lim 1exxx B.01lim1exxx C.1lim 1exxx D.-11lim 1exxx4.设0 x时，tane1x与nx是等价无穷小，则正整数n .A.1 B.2 C.3 D.4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 18 页 -5.曲线221e1exxy .A.没有渐近线 B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线 D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6下列函数在给定区间上无界的是 .A.1sin,(0,1xxx B.1sin,(0,)xxxC.11sin,(0,1xxx D.1sin,(0,)xxx三、求下列极限（每小题5 分，共 35 分）1.222lim413xxxx2120limexxxx3.1lim 123nnnn4221sinlim21xxxx5.设函数1,0 aaaxfx，求21limln12nfffnn.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 18 页 -61402esinlim1exxxxx701coslim1cosxxx四、确定下列极限中含有的参数（每小题5 分，共 10 分）1.2212lim22xaxxbxx22lim21xxaxbx五、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0 xxabxf xababxx在0 x处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题 6 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 18 页 -六、设sinsinsin()limsinxtxtxtf xx，求()f x的间断点并判定类型.（本题 7 分）七、设()fx在0,1上连续，且(0)(1)ff.证明：一定存在一点10,2，使得1()2ff.（本题 6 分）第二章自测题一、填空题（每小题3 分，共 18 分）1.设()f x在0 x可导，且00()0,()1f xfx，则01limhhfxh .2.设21cosfxx，则()fx .3.2dd1xxx .4.设sin(e)xyf，其中()f x可导，则dy .5.设arccosyx，则12y .6.曲线1sinxyxy在点1,的切线方程为 .二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1.下列函数中，在0 x处可导的是 .A.|yx B.|sin|yx C.lnyx D.|cos|yx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 18 页 -2.设()yf x在0 x处可导，且0()2fx，则000(2)()limxf xxf xxx .A.6 B.6 C.16 D.163.设函数()f x在区间(,)内有定义，若当(,)x时恒有2|()|f xx，则0 x是()f x的 .A.间断点 B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f D.可导的点，且(0)0f4.设2sin,0(),0 xxf xxx，则在0 x处()f x的导数 .A.0 B.1 C.2 D.不存在5.设函数()f u可导，2()yf x当自变量x在1x处取得增量0.1x时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则(1)f .A.1 B.0.1 C.1 D.0.5三、解答题（共 67 分）1.求下列函数的导数（每小题4 分，共 16 分）(1)2ln e1exxy(2)111yxx(3)aaxaxayxaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 18 页 -(4)cos(sin)xyx2.求下列函数的微分（每小题4 分，共 12 分）(1)2lnsinyxxx(2)21cotexy(3)211xyxx3.求下列函数的二阶导数（每小题5 分，共 10 分）（1）2coslnyxx（2）11xyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 18 页 -4.设e,1(),1xxf xaxb x在1x可导，试求a与b.（本题 6 分）5.设sin,0()ln(1),0 xxf xxx，求()fx.（本题 6 分）6.设函数()yy x由方程22ln1xxyy所确定，求dy.（本题 6分）7.设()yy x由参数方程ln tancos2sintxatyat，求22dd,ddyyxx.（本题 6 分）8.求曲线3213122txtytt在1t处的切线方程和法线方程.（本题 5 分）第三章自测题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 18 页 -一、填空题（每小题3 分，共 15 分）1.若0,0ab均为常数，则30lim2xxxxab .2.2011limtanxxxx .3.30arctanlimln(12)xxxx .4.曲线2exy的凹区间，凸区间为 .5.若()exf xx，则()()nfx在点x处取得极小值.二、单项选择题（每小题3 分，共 12 分）1.设,a b为方程()0f x的两根，()f x在,a b上连续，(,)a b内可导，则()fx0在(,)a b内 .A.只有一个实根 B.至少有一个实根C.没有实根 D.至少有两个实根2.设()f x在0 x处连续，在0 x的某去心邻域内可导，且0 xx时，0()()0 xxfx，则0()f x是 .A.极小值 B.极大值C.0 x为()f x的驻点 D.0 x不是()f x的极值点3.设()f x具有二阶连续导数，且(0)0f，0()lim1|xfxx，则 .A.(0)f是()f x的极大值 B.(0)f是()f x的极小值C(0,(0)f是曲线的拐点D(0)f不是()f x的极值，(0,(0)f不是曲线的拐点4.设()f x连续，且(0)0f，则0，使 .A.()f x在(0,)内单调增加.B.()fx在(,0)内单调减少.C.(0,)x，有()(0)f xf D.(,0)x，有()(0)fxf.三、解答题(共 73 分)1.已知函数()fx在0,1上连续，(0,1)内可导，且(1)0f，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 18 页 -证明在(0,1)内至少存在一点使得()()tanff.（本题 6 分）2.证明下列不等式（每小题9 分，共 18 分）（1）当0ab时，lnbabbabaa.（2）当02x时，2sinxxx.3.求下列函数的极限（每小题8 分，共 24 分）（1）0ee2limsinxxxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 18 页 -（2）21sin0lim(cos)xxx（3）10(1)elimxxxx4.求下列函数的极值（每小题6 分，共 12 分）（1）1233()(1)f xxx（2）2,0()1,0 xxxf xxx5.求2lnxyx的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题 6 分）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 18 页 -6.证明方程1ln0exx只有一个实根.（本题 7 分）第一章自测题一、填空题（每小题3 分，共 18 分）1.2.3.，4.5.水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每小题3 分，共 18 分）1.C 2.D 3.D 4.A 5.D 6C 三、求下列极限（每小题5 分，共 35 分）解：1.2.3.，又.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 18 页 -4.5.6，所以，原式.7.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5 分，共 10 分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故2左边，右边故，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 18 页 -五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点六、解：，而，故，都是的间断点，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点七、证明：设，显然在上连续，而，故由零点定理知：一定存在一点，使，即第二章自测题一、填空题（每小题3 分，共 18 分）1.2.3.4.5.6.或名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 18 页 -二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 三、解答题（共67 分）解：1.(1).(2).(3).(4)两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4 分，共 12分）(1).(2).(3).3.求下列函数的二阶导数（每小题5 分，共 10 分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 18 页 -其次，由于在处可导，故，故，.5.，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 18 页 -第三章自测题一、填空题（每小题3 分，共 15 分）123 4.，5.二、单项选择题（每小题3 分，共 12 分）1B 2A 3 B，提示：由题意得，当时，；即当时，当时，从而在取得极小值4.C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，即三、解答题(共 73 分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件由拉格朗日 中 值 定 理 得，至 少 存 在 一 点，使 得即，又，得到，从而名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 18 页 -（2）令，则，从而当时单 调 递 增，即，故；令，则，即当时 单 调 递 减，即，故；从而当时，解：3.（1）.（2）.（3）.4.函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.，令得驻点，为不可导点.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 18 页 -当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，令得驻点，令得；列表得：-+-+-单减凸单减 凹极小值点单增 凹拐点单增凸6证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，所以方程只有一个实根名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 18 页 -