2022年高中数学函数解题技巧方法总结-学生版 .pdf

高中数学函数知识点总结一、.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)二、.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。三、.如何求复合函数的定义域？的定，则函数，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf义域是 _。复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。四、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=2x-2x+5，x-1，2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+1 1例：y（x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=25xlog31x（2x10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y）在圆 x2+y2=1上，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -2,(2),2(,20,(1)的取值范围(2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2即也是直线 d dyxxykyk xxR dxbyxbR例求函数 y=)2(2x+)8(2x的值域。例求函数 y=1362xx+542xx的值域9、不等式法利用基本不等式 a+b2ab，a+b+c3abc3（a，b，cR），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x(3-2x)(0 x1.5)xx+3-2x =xx(3-2x)(应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数 y=32xx的值域332(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -2320121112202222012时，时，=00 xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2)参照图象：若函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x)的图象关于直线xa 对称，则函数 f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：函数 f(x)与 f(x)c(c 是常数)是同向变化的函数 f(x)与 cf(x)(c是常数)，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x)与1()fx在 f(x)的同号区间里反向变化。若函数 u(x)，x，与函数 yF(u)，u()，()或 u(),()同向变化，则在 ，上复合函数 yF(x)是递增的；若函数u(x),x，与函数 yF(u)，u()，()或 u()，()反向变化，则在 ，上复合函数 yF(x)是递减的。（同增异减）如：求的单调区间yxxlog1222f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -六、.如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x()()0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx()0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa013()值是（）七、函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()()()若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()()()注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx()2221又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx()()()()1101241求在，上的解析式。f x()11八.判断函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x)=0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)3、复合函数奇偶性九、.你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0()()函数，T是一个周期。）如：若，则f xaf x()我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t.推导：()()0()(2)()(2)0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。如：()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值十.你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy()()与的图象关于轴 对称联想点（x,y）,(-x,y)f xf xx()()与的图象关于轴 对称联想点（x,y）,(x,-y)f xfx()()与的图象关于 原点 对称联想点（x,y）,(-x,-y)f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇 非偶奇偶奇偶非 奇 非偶奇偶偶偶偶偶名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -f xfxyx()()与的图象关于 直线对称1联想点（x,y）,(y,x)f xfaxxa()()与的图象关于 直线对称2联想点（x,y）,(2a-x,y)f xfaxa()()()与的图象关于 点，对称20联想点（x,y）,(2a-x,0)将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa()()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00注意如下“翻折”变换：()|()|x()(|)yf xf xf xfx把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面如：f xx()log21作出及的图象yxyxloglog2211y y=log2x O 1 x 十一、你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0)y=b O(a,b)O x x=a（）一次函数：10ykxb k(k 为斜率，b 为直线与 y 轴的交点)（）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxabcxxxxxxaaaVV根的关系：2212121212()()()()(mn()()()(,2()()()(,)(,)f xaxbxcf xa xmnf xa xxxxxxf xa xxxxhx hx h二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间 m，n上的最值。2max(),min()2max(),min()2224min,maxmax(),()4m,n0bnff mff nabmff nff mabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边（）也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论的情况）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020()y(a0)O k x1x2x 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -y O x kk一根大于，一根小于kkf k()00mn22()0()0mn()()0bmnaf mf nf m f n在区间（，）内有 根在区间（，）内有 1根（）指数函数：，401yaaax（）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！）y y=ax(a1)(0a1)1 O 1 x(0a0 且 a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（yx）f（x）f（y）5.三角函数型的抽象函数f（x）t gx-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxff（x）cot x-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）f（x）f（y），且当 x0时，f(x)0，f(1)2 求 f(x)在区间 2,1 上的值域.分析：先证明函数 f（x）在 R上是增函数（注意到f（x2）f （x2x1）x1 f（x2x1）f名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -（x1）；再根据区间求其值域.例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy）2f（x）f（y），且当 x0 时，f(x)2，f(3)5，求不等式f（a22a2）0,xN；f（ab）f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用数学归纳法证明.例 6 设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1）f（1）；（2）若 f（x）f（x8）2，求 x 的取值范围.分析：（1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例 7 设函数 y f（x）的反函数是 yg（x）.如果 f（ab）f（a）f（b），那么 g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设 f（a）m，f（b）n，则 g（m）a，g（n）b，进而 m nf（a）f（b）f（ab）f g（m）g（n）.例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数）；当 0 x2a 时，f（x）0.试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用 f （x1x2）f （x1x2），判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例 9 已知函数 f（x）（x0）满足 f（xy）f（x）f（y），（1）求证：f（1）f（1）0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x21）0.分析：函数模型为：f（x）lo ga|x|（a0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令y 1；（3）由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（|x|）.例 10 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足 f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当 x0时，f（x）1，求证：（1）当 x0 时，0f（x）1；（2）f（x）在 xR上是减函数.分析：（1）先令 xy0 得 f（0）1，再令 yx；（3）受指数函数单调性的启发：由 f（xy）f（x）f（y）可得 f（xy）)()(yfxf，进而由x1x2，有)()(21xfxff（x1x2）1.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数 x、y 都成立，则（）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0 或 1 （D）以上都不对2.若对任意实数 x、y 总有 f（xy）f（x）f（y），则下列各式中错误的是（）（A）f（1）0 （B）f（x1）f（x）（C）f（yx）f（x）f（y）（D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当 x0 时，f（x）1，则当 x0 时，f（x）的取值范围是（）（A）（1，）（B）（，1）（C）（0，1）（D）（1，）4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f（x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数 x、y 满足 f（xy）f（xy）2 f（x）f（y），则函数 f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数函数典型考题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -1.若函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A.1B.2C.3D.42已知函数()f x是定义域在R上的偶函数，且在区间(,0)上单调递减，求满足22(23)(45)fxxfxx的x的集合3.若 f(x)是偶函数，它在0,上是减函数,且 f（lgx）f(1),则 x 的取值范围是（）A.(110，1)B.(0，110)U(1，)C.(110，10)D.(0，1)U(10，)4.若 a、b 是任意实数，且ab,则（）A.a2b2B.ab0 D.12a12b5.设 a,b,c都是正数，且346abc，则下列正确的是（）(A)111cab (B)221Cab (C)122Cab (D)212cab6对于函数21fxaxbxb（0a）（）当1,2ab时，求函数()f x的零点；（）若对任意实数b，函数()f x恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围6.二次函数2yaxbxc中，0a c，则函数的零点个数是（）A 0 个B 1 个C 2 个D 无法确定8若函数baxxxf2的两个零点是2 和 3,则函数12axbxxg的零点是（）A1和2B1和2C21和31D21和319下面四个结论：偶函数的图象一定与y 轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y 轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是()f x0（xR），其中正确命题的个数是（）A 4B 3 C 2 D 1 10.已知函数 f(x2-3)=lg622xx,(1)f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性；(3)求 f(x)的反函数;(4)若 f)(x=lgx,求)3(的值。11.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -（A）y=2xxee（B）y=lgxx11（C）y=-x3（D）y=x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -