2022年高考数学空间向量与立体几何总复习 2.pdf

空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建二、课标及考纲要求空间向量与立体空间向量及其运算经历向量及其运算由平面向空间推广的过程了解空间向量的概念、基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直空间理解直线的方向向量与平面的法向量空间向量的定义及其运算空间向量运算的几何表示（如平行四边形法则）用空间向量表示点、线、面等元素建立空间图形与空间向量的联系利用空间向量运算解决立体几何问题空间向量运算的坐标表示（加减法、数乘、数量积）空间向量定义运算坐标表示加法减法数量积立体几何中的向量方法垂直关系平行关系空间距离空间角名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -2几何向量的运用能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用三、知识要点及考点精析（一）空间向量及其运算1空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等2空间向量的线性运算（1）空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算 加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量加法和数乘运算满足运算律：交换律，即a+b=b+a；结合律，即()()a+bcab+c；分配律，即()a=a+a及()a+bab（其中，均为实数）（2）空间向量的基本定理共线向量定理：对空间向量，ab(0)，bab的充要条件是存在实数，使a=b 共面向量定理：如果空间向量，ab不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数xy，使c=xya+b 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使xyzp=a+b+c其中，abc是空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底，abc惟一线性表示（线性组合）（3）两个向量的数量积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -两个向量的数量积是ab=|a|b|cos，数量积有如下性质：a,b,ca e=|a|cos（e为单位向量）；aaab=0；a a=|a|2；|a b|a|b|数量积运算满足运算律：交换律，即a b=b a；与数乘的结合律，即（a）b=（ab）；分配律，即（a+b）c=a c+b c3空间向量的坐标运算（1）给定空间直角坐标系xyzO和向量a，存在惟一的有序实数组使123aaaa=i+j+k，则123()aaa，叫作向量a在空间的坐标，记作123()aaa，a=（2）空间向量的直角坐标运算律若123123()()aaabbb，a=b=，则a+b112233()ababab，ab112233()ababab，123()aaa，a，a b),(332211bababa112233()abababR，ab，1 1223 30a ba ba bab若111222()()A xyzB xyz，则212121()ABxxyyzz，即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4直线的方向向量与向量方程（）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量OAa，则点A在空间的位置被a所惟一确定，a称为位置向量（）方向向量与向量方程：给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量tAPa，则此向量方程称为动点P对应直线l的参数方程，向量a称为直线l的方向向量典型例题分析：例 1若AB=(x2,1,3),CD=(1,-y2,9),如果AB与CD为共线向量,则()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -4A 1x，1yB21x,21yC61x,23yD61x,23y答案:C 例 2已知向量a(1，1，0)，b(-1，0，2)，且kab与 2 a-b互相垂直，则k的值是()A 1 B51 C53 D57答案:D 例 3已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),求平面 ABC的单位法向量解:设平面 ABC的法向量n=(x,y,1),则nAB且nAC,即nAB=0,且nAC=0,即,0354,0122yxyx即,1,21yxn=(21,-1,1),单位法向量n=(31,-32,32)（二）立体几何中的向量方法1利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系设直线1l 的方向向量是1u111()，abc，直线2l 的方向向量是2u222()abc，平面的法向量是1v111()xyz，平面的法向量是2v222()xyz，则有如下结论成立：（1）12llu1u2u1k2u212121,kcckbbkaa；（2）12ll12120uuu u1 2121 20a ab bc c；（3）1l11110uvu v11111 10a xb yc z；（4）1l111uvuk1v111111,kzckybkxa；（5）121vvvk2v121212，xkxykyzkz；（6）12120vvv v1212120 x xy yz z第一部分：平行问题 利用空间向量解决线线平行问题（06 山东模拟）已知直线OA平面，直线BD平面，OB，为垂足 求证：OABD名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -证明：以点O为原点，以射线OA为非负 z 轴，如图 1，建立空间直角坐标系Oxyz，ijk为沿，xyz轴的单位向量，且设BD()xyz，BD，BDi，BDj，()(100)0BDxyzx，i，BD j()(01 0)0 xyzy，(0 0)BDz，BDz k BDk，即OABD点评：由向量的共线的充要条件知，只要证明OABD 即可 利用空间向量解决线面平行问题（06 山西模拟）已知111ABCA B C 是正三棱柱，D是AC的中点，求证：1AB 平面1DBC 证法 1：建立如图2的空间直角坐标系Axyz设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，则1133(0 0 0)0(0)0022222aaaABaCabBabD，设平面1DBC 的法向量为()xyz，n，则11330 002222aaABabBDaDCb，由BDn，1DCn，得130202BDaxaDCybz，nn02xazyb，取得1y，得012ab，n由130 10222aaABabb，n，得1ABn，即1AB 平面1DBC 证法 2：如图 3，记1ABACAA，abc，则1111122ABDBABADDCDCCC，b+cacab11DBDCABac，11DB DC AB，共面又1B平面1C BD，1AB 平面1DBC 点评：用向量证明线面平行问题通常有两种方法：向量p与两个不共线的向量，ab 共面名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -6的充要条件是存在惟一的有序实数对()，xy，使xypab利用共面向量定理可证明线面平行问题，如证法2设 n 为平面的法向量，要证明a，只需证明0a n，如证法1 利用空间向量解决面面平行问题例题：已知正方体1AC 的棱长为 1，EFG，分别为1ABADAA，的中点，求证：平面EFG平面11B CD 证明：建立空间直角坐标系Dxyz，则111(10 0)(11 0)(01 0)(0 0 0)(101)(111)(0 01)ABCDABD，得111100 010222EFG，设1111()xyz，n为平面EFG的法向量，设2222()xyz，n为平面11B CD 的法向量空间计算：12(111)(111)，nn由12nn，得平面EFG平面11B CD 点评：设12，nn 分别为平面，的法向量，要证，只需证明：存在一个非零常数，满足12nn，则其实本题也可转化为线线平行，则面面平行即用向量先证明1D CGE，11D BEF，则有线面平行，从而平面EFG平面11B CD 第二部分：垂直问题 利用空间向量解决线线垂直问题（2003 年高考题）已知正四棱1111ABCDA B C D，112ABAA，点E为1CC 中点，点F为1BD 中点证明：EF为1BD 与1CC 的公垂线证明：如图1，在以C为的原点的空间直角坐标系中，111 1(010)(10 2)(0 0 2)(0 01)12 2BDCEF，由1 102 2EF，11(0 0 2)(112)CCBD，得111100EF BDEF CCEFBDEFCC，EF为1BD 与1CC 的公垂线点评：把推理论证（1EFCC）用向量运算（10EF CC）来代替，减少了构造辅助图形，降低了思维量 利用空间向量解决线面垂直问题（2005 年高考题）如图 2，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -312ABBCPAE，为PD的中点，在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC解：如图2，在以A为原点的空间直角坐标系中，1(31 0)(0 10)(0 0 2)012CDPE，设11(31 0)(0 0 2)2NExzACAP，由NE面PAC，得00NE ACNE AP，即133026101xxzz，3016N，点评：按照传统方法，要构造三条辅助线，多解两个三角形，画图、看图以及计算都增加了难度用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了难度 利用空间向量解决面面垂直问题（07 北京海淀）如图 3，在正方体1111ABCDA BC D 中，O为AC与BD的交点，G为1CC 的中点，求证：平面1A BD平面GBD分析：要证明平面1A BD平面GBD，只要证明平面内的一条直线1A O 垂直于平面GBD中的两条相交直线即可，而从图中观察，证11AOBDAOOG，较容易成功证明：设11111A BA DA A，abc 则000a bb ca c，而11111()()22cabAOA AAOA AABAD，baBDADAB，11111()()2222abcOGOCCGABADCC，1AO BD221()02c bc aba，1AO OG22211()042abc1AOBD，1AOOG 又BDOGO，1AO平面BDG又1AO平面1A BD，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -8平面1A BD平面GBD点评：向量a垂直于向量b的充要条件是a b0，据此可以证明直线与直线垂直，进而还可证明直线与平面垂直及两个平面垂直在证明一对向量垂直时，往往用一组基底先表示这一对向量，再考虑它们的数量积是否为零2利用空间向量解决空间距离问题（1）利用空间向量求线线距离如图 1，若CD是异面直线ab，的公垂线段，AB，分别为 ab，上的任意两点则两异面直线ab，间的距离为ABdnn（其中 n 与 ab，垂直，AB，分别为两异面直线上的任意两点）例题：如图2，在正方体1111ABCDA B C D 中，E为11A B 的中点求异面直线1D E 和1BC 间的距离？解析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图2 所示的空间直角坐标系，则11(21 0)(2 0 2)D EC B，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1)，n，则1100D EC B，nn即20220，21，(121)，n又11(0 2 0)D C，1142 636D C nn，所以异面直线1D E和1BC 间的距离为2 63（2）利用空间向量求点面距离如图 3，已知AB为平面的一条斜线段，n 为平面的法向量则点A到平面的距离ABACnn例题：如图 4，已知111ABCAB C 是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱1CC 的中点 求点C到平面1AB D 的距离解析：11ABB A为正方形，11ABAB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -易得平面1AB D平面11ABB A，1A B面1AB D，1A B是平面1AB D 的一个法向量设点C是平面1AB D 的距离为d，则111()0cos602422AC A BACA AABaadaaaA B（3）利用空间向量求线面、面面距离注意：利用空间向量求线面、面面距离的问题显然可以转换成利用空间向量求点面距离的问题例题：如图5，已知边长为4 2 的正三角形ABC中，EF，分别为BC和AC的中点，PA面ABC，且2PA，设平面为PF且与AE平行求AE与平面间的距离？解析：设AP AE EC，的单位向量分别为123，eee，选取123eee，作为空间向量的一个基底易知1213230e ee eee，123123122622()2622eeeeee，APAEECPFPAAEEC设123neeexy是平面的一个法向量，则 nn，AEPF 00nn，AEPF即222221232602620y ex eyee，022yx，1322nee直线AE与平面间的距离11322132222 3322eeeAP nneed例题：如图6，在棱长为1 的正方体1111ABCDA B C D 中求平面1ABC 与平面11AC D 间的距离解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面1AB C 与平面11AC D 平行设平面11AC D 的一个法向量(1)xy，n，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -10 则1100DADC，nn，即(1)(101)01(1)(011)01xyxxyy，(111)，n平面1AB C 与平面11AC D 间的距离222(10 0)(111)33(1)(1)1ADd，nn3利用空间向量解决空间角问题（1）利用空间向量求线线角设两异面直线ab，所成的角为，ab分别是 ab，的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是0 90，则有 coscos，a baba b（2006 广东模拟）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，21ABAF，试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60如图 1，建立空间直角坐标系Cxyz，则(2 0 0)(221)CDF，设(0)(02)P ttt，得(221)PFtt，又PF和CD所成的角是60，22(2)2cos60(2)(2)12ttt解得22t或3 22t（舍去），即点P是AC的中点点评：采用传统的平移法求异面直线所成角的大小，免不了要作辅助线和几何推理这里运用向量法，没有了这些手续，显得便当快捷（2）利用空间向量求线面角如图 2，点P在平面外，M为内一点，斜线MP和平面所成的角为，n 为的一个法向量，注意到斜线和平面所成角的范围是(090)，则有2MP，n，结合向量的夹角公式便可求（05 山东模拟）在正三棱柱111ABCA B C 中，已知1ABD，在棱1BB 上，且1BD，若AD与平面11AAC C 所成的角为，则 sin（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -232241046解：取AC中点E，连结BE，则BEAC，如图3，建立空间直角坐标系Bxyz，则3 10(0 01)22AD，则31122AD，平面ABC平面11AAC C，BEAC，BE平面11AAC C 30 02BE，为平面11AAC C 的一个法向量6cos4AD BE，6sinsin24AD BE，选（）点评：利用向量法求空间角，其操作只须按步骤进行，数值计算十分简单，对空间想象力和几何的逻辑推理能力要求不高，显得简洁明了（3）利用空间向量求面面角注意：求面面角的问题关键还是转化成求线线角，一般来说求二面角有两种方法：如图 4，OAO B，分别在二面角l的两个面内且垂直于棱，mn 分别是，的一个法向量，则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小：方法一：，OAO B 等于二面角的平面角；方法二：，mn 与二面角的平面角相等或互补（05 云南一模）如图 5，在三棱锥SABC中，ABC是边长为 4 的正三角形，平面SAC平面ABC，2 3SASC，MN，分别为 ABSB，的中点，求二面角NCMB的余弦值解：取AC中点O，连结 OSOB，SASCABBC，ACSO，且ACBO又平面SAC平面ABC，SO平面ABC，SOBO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -12 如图 5 所示，建立空间直角坐标系Oxyz则(2 00)(0 2 3 0)(2 0 0)(0 0 2 2)ABCS，(13 0)(032)(33 0)MNCM，(102)MN，设()xyz，n为平面CMN的一个法向量，则33020CMxyMNxz，nn取1z，则26xy则(261)，n又(0 0 22)OS，为平面ABC的一个法向量，1cos3n OSOSOS，nn二面角NCMB的余弦值为31点评：利用向量法求空间角的大小，经常用到平面的法向量求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求4用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中涉及的点、线、面，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）四、易错点分析1类比平面向量，是掌握空间向量的最好方法，平面向量的加、减、数乘等坐标运算公式及运算律对空间向量仍然成立虽然共面向量定理由两个约束条件变为三个约束条件，坐标由两个有序实数推广到三个有序实数，但其运算规律实质上是一样的例如线段的定比分点坐标公式（包括中点坐标公式、重心坐标公式）在空间直角坐标系中依然适用，有向线段表示向量的坐标仍然是终点减去始点坐标，平行、垂直的充要条件，夹角、距离公式等仍然适用2用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理如要证明线面平行，只需要证明平面外一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需要证明ba（R）即可名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -3空间两条直线之间的夹角是不超过90的角，因此，如果按照公式求出来的向量的数量积是一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角4利用法向量求二面角时，要注意法向量的方向问题，结合二面角的大小，这样最后确定所求得的角到底是二面角还是二面角的补角5在具体应用空间向量解决立体几何问题时要注意以下几点：（1）平行问题向量共线，注意重合（2）垂直问题向量的数量积为零，注意零向量（3）距离问题向量的模，注意向量的垂直（4）求角问题向量的夹角，注意角范围的统一6解决立体几何问题的三种方法的比较解决立体几何中的问题，可用综合法、向量法和坐标法一般我们遵循的原则是：以综合法为基础、以向量法为主导、以坐标法为中心（1）综合法是以逻辑推理为工具，利用立体几何的知识，运用空间观念解决问题的方法，其显著特点是在证题时经常需要构造辅助线、辅助面、逻辑思维量大，要求具有比较强的空间想象能力（2）向量法是根据空间向量的基本定理，运用向量的几何意义及向量数量积的概念解决立体几何的方法，是几何问题代数化的重要体现其显著特点是可以避开纷繁复杂的逻辑推理，使解题过程变的明快、简捷（3）坐标法是通过建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量的坐标运算来解决立体几何问题的方法坐标法关键是在于构建合适的空间直角坐标系注：构建空间直角坐标系主要有四种途径：利用共顶点的两两垂直的三条不共面的直线构建直角坐标系；利用线面垂直的位置关系构建直角坐标系；利用面面垂直的位置关系构建直角坐标系；利用正多边形的中心与几何体高所在直线构建直角坐标系五、作者寄语用向量研究立体几何问题是立体几何研究思路的一场革命由于向量兼俱数和形的双重特征，使得立体图形中的位置关系转化为代数中的数量关系如同探囊取物，特别是据题目条件可以建立空间直角坐标系时，这种优越性便发挥的淋漓尽致，求解思路也将有效地避开立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -14 体几何中繁琐的位置关系的演化，而变得直截了当，变得清晰、自然和流畅可以毫不客气地说：“只要建立了空间直角坐标系，剩下的便是纯属运算的问题了”名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -