2022年高中物理经典力学问题---弹簧问题解决策略专题分类归纳 .pdf

高中物理经典力学问题-弹簧问题解决策略专题分类归纳一、弹簧弹力大小问题弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即 F=kx，其中 x 是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量）。不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对象，设两端受到的弹力分别为F1、F2，根据牛顿第二定律，F1+F2=ma，由于 m=0，因此 F1+F2=0，即 F1、F2一定等大反向。弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx 与形变量x 成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。）例 1质量分别为m 和 2m 的小球 P、Q 用细线相连，P 用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是A若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q 的加速度大小均为g B若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q 的加速度大小分别为0 和 g C若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q 的加速度大小均为g D若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q 的加速度大小分别为3g 和 0 解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P 的拉力仍为3mg 竖直向上，因此剪断瞬间 P 的加速度为向上2g，而 Q 的加速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q 的拉力也立即变为零，因此P、Q 的加速度均为竖直向下，大小均为g。选 C。例 2如图所示，小球P、Q 质量均为m，分别用轻弹簧b 和细线 c 悬挂在天花板下，再用另一细线 d、e 与左边的固定墙相连，静止时细线d、e 水平，b、c 与竖直方向夹角均为=37o。下列判断正确的是A剪断 d 瞬间 P 的加速度大小为0.6gB剪断 d 瞬间 P 的加速度大小为0.75gC剪断 e 前 c 的拉力大小为0.8mg D剪断 e后瞬间 c 的拉力大小为1.25mg解：剪断 d 瞬间弹簧b 对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前d 对 P 的拉力大小相等，为0.75mg，因此加速度大小为0.75g，水平向右；剪断e 前 c 的拉力大小为1.25mg，剪断 e 后，沿细线方向上的合力充当向心力，因此c 的拉力大小立即减小到0.8mg。选 B。二、临界问题两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。这种临界问题又分以下两种情况：1仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。例 3如图所示，两个木块A、B 叠放在一起，B 与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，P Q c P b Q d e 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -用竖直向下的力F 压 A，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力 F，A、B 将被弹出且分离。下列判断正确的是A木块 A、B 分离时，弹簧的长度恰等于原长B木块 A、B 分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B 的重力C木块 A、B 分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B 的总重力D木块 A、B 分离时，弹簧的长度可能大于原长解：以 A 为对象，既然已分开，那么A就只受重力，加速度竖直向下，大小为g；又未分开，A、B 加速度相同，因此B 的加速度也是竖直向下，大小为g，说明 B 受的合力为重力，所以弹簧对 B 没有弹力，弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物体质量是否相同无关。例 4如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端与木块B 相连，木块 A 紧靠木块B 放置，A、B 与水平面间的动摩擦因数均为。用水平力F 向左压 A，使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F，A、B 向右运动，下列判断正确的是AA、B 一定会在向右运动过程的某时刻分开B若 A、B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长C若 A、B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短D若 A、B 在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长解：若撤去F 前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B 克服摩擦阻力做的功，那么撤去F 后，A、B 虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长A、B 就停止滑动，没有分离。只要 A、B 在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时A、B 间的弹力为零，因此A 的加速度是 aA=g；而此时A、B 的加速度相同，因此B 的加速度aB=g，即 B 受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选B。2除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不是原长。例 5如图所示，质量均为m=500g 的木块 A、B 叠放在一起，轻弹簧的劲度为k=100N/m，上、下两端分别和B 与水平面相连。原来系统处于静止。现用竖直向上的拉力F 拉 A，使它以a=2.0m/s2的加速度向上做匀加速运动。求：经过多长时间A 与 B 恰好分离？上述过程中拉力 F 的最小值 F1和最大值F2各多大？刚施加拉力F 瞬间 A、B 间压力多大？解：设系统静止时弹簧的压缩量为x1，A、B 刚好分离时弹簧的压缩量为x2。kx1=2mg，x1=0.10m。A、B 刚好分离时，A、B 间弹力大小为零，且aA=aB=a。以 B 为对象，用牛顿第二定律：kx2-mg=ma，得x2=0.06m，可见分离时弹簧不是原长。该过程 A、B 的位移 s=x1-x2=0.04m。由221ats，得 t=0.2s 分离前以A、B 整体为对象，用牛顿第二定律：F+kx-2mg=2ma，可知随着A、B 加速上升，弹簧形变量x 逐渐减小，拉力F 将逐渐增大。开始时x=x1，F1+kx1-2mg=2ma，得 F1=2N；A、B刚分离时x=x2，F2+kx2-2mg=2ma，得 F2=6N 以 B 为对象用牛顿第二定律：kx1-mg-N=ma，得 N=4N 三、弹簧振子的简谐运动轻弹簧一端固定，另一端系一个小球，便组成一个弹簧振子。无论此装置水平放置还是竖直放置，在忽略摩擦阻力和空气阻力的情况下，弹簧振子的振动都是简谐运动。弹簧振子做简谐运动过程中机械能守恒。水平放置的弹簧振子的总机械能E 等于弹簧的弹性势能 Ep和振子的动能Ek之和，还等于通过平衡位置时振子的动能（即最大动能），或等于振子位于最大位移处时弹簧的弹性势能（即最大势能），即 E=Ep+Ek=Epm=EkmA B F A B F A B F k 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -简谐运动的特点之一就是对称性。振动过程中，振子在离平衡位置距离相等的对称点，所受回复力大小、位移大小、速度大小、加速度大小、振子动能等都是相同的。例 6如图所示，木块P 和轻弹簧组成的弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，O 为平衡位置，B、C 为木块到达的最左端和最右端。有一颗子弹竖直向下射入P 并立即留在P 中和 P 共同振动。下列判断正确的是A若子弹是在C 位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变B若子弹是在B 位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期变小C若子弹是在O 位置射入木块的，则射入后振幅不变，周期不变D若子弹是在O 位置射入木块的，则射入后振幅减小，周期变大解：振动能量等于振子在最远点处时弹簧的弹性势能。在 B 或 C 射入，不改变最大弹性势能，因此不改变振动能量，也不改变振幅；但由于振子质量增大，加速度减小，因此周期增大。振动能量还等于振子在平衡位置时的动能。在 O 点射入，射入过程子弹和木块水平动量守恒，相当于完全非弹性碰撞，动能有损失，继续振动的最大动能减小，振动能量减小，振幅减小；简谐运动周期与振幅无关，但与弹簧的劲度和振子的质量有关。子弹射入后，振子质量增大，因此周期变大。选D。例 7如图所示，轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A 位置有一只小球。小球从静止开始下落，在 B 位置接触弹簧的上端，在 C 位置小球所受弹力大小等于重力，在 D 位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列判断中正确的是A在 B 位置小球动能最大B在 C 位置小球加速度最大C从 AC 位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加D从 BD 位置小球重力势能的减少小于弹簧弹性势能的增加解：AC 小球受的合力一直向下，对小球做正功，动能增加；CD 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，因此在C 位置小球动能最大。从B 到 D 小球的运动是简谐运动的一部分，且 C 为平衡位置，因此在C、D 间必定有一个B 点，满足 BC=B C，小球在 B 点的速度和加速度大小都和在B点时相同；从C 到 D 位移逐渐增大，回复力逐渐增大，加速度也逐渐增大，因此小球在D 点加速度最大，且大于g。从 AC 小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，因此重力势能的减少大于动能的增大。从BD 小球重力势能减小，弹性势能增加，且B 点动能大于 D 点动能，因此重力势能减少和动能减少之和等于弹性势能增加。选D。四、弹性势能问题机械能包括动能、重力势能和弹性势能。其中弹性势能的计算式221kxEp高中不要求掌握，但要求知道：对一根确定的弹簧，形变量越大，弹性势能越大；形变量相同时，弹性势能相同。因此关系到弹性势能的计算有以下两种常见的模式：1利用能量守恒定律求弹性势能。例 8如图所示，质量分别为m 和 2m 的 A、B 两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A 靠紧竖直墙。用水平力F 将 B 向左压，静止后弹簧储存的弹性势能为E。若突然撤去F，那么 A离开墙后，弹簧的弹性势能最大值将是多大？解：A 离开墙前A、B 和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧恢复原长过程，弹性势能全部转化为B 的动能，因此A 刚离开墙时刻，B的动能为E。A 离开墙后，该系统动量守恒，机械能也守恒。当A、B 共速时，系统动能最小，因此弹性势能最大。A 刚离开墙时刻B 的动量和A、B 共速时 A、B 的总动量相等，由动能和动量的O P B C A B C D A B F 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -关系 Ek=p2/2m 知，A 刚离开墙时刻B 的动能和A、B 共速时系统的动能之比为32，因此 A、B共速时系统的总动能是2E/3，这时的弹性势能最大，为E/3。2利用形变量相同时弹性势能相同。例 9如图所示，质量均为m 的木块 A、B 用轻弹簧相连，竖直放置在水平面上，静止时弹簧的压缩量为l。现用竖直向下的力F 缓慢将弹簧再向下压缩一段距离后，系统再次处于静止。此时突然撤去压力F，当 A 上升到最高点时，B 对水平面的压力恰好为零。求：F 向下压缩弹簧的距离x；压力F 在压缩弹簧过程中做的功W。解：右图、分别表示未放A，弹簧处于原长的状态、弹簧和A 相连后的静止状态、撤去压力 F 前的静止状态和撤去压力后A 上升到最高点的状态。撤去 F 后，A 做简谐运动，状态A 处于平衡位置。状态弹簧被压缩，弹力等于A 的重力；状态弹簧被拉长，弹力等于 B 的重力；由于A、B 质量相等，因此、状态弹簧的形变量都是 l。由简谐运动的对称性，、状态A 到平衡位置的距离都等于振幅，因此x=2l到过程压力做的功W 等于系统机械能的增加，由于是“缓慢”压缩，机械能中的动能不变，重力势能减少，因此该过程弹性势能的增加量E1=W+2mgl；到过程系统机械能守恒，初、末状态动能都为零，因此弹性势能减少量等于重力势能增加量，即E2=4mgl。由于、状态弹簧的形变量相同，系统的弹性势能相同，即E1=E2，因此W=2mgl。五、解决弹簧问题的一般方法解决与弹簧相关的问题，一定要抓住几个关键状态：原长、平衡位置、简谐运动的对称点。把这些关键状态的图形画出来，找到定性和定量的关系，进行分析。例 10如图，质量为m1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体 B 相连，弹簧的劲度系数为k，A、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地面时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。解：画出未放 A 时弹簧的原长状态和挂C 后刚好使B 离开地面的状态。以上两个状态弹簧的压缩量和伸长量分别为x1=m1g/k 和 x2=m2g/k，该过程 A 上升的高度和C 下降的高度都是x1+x2，且 A、C 的初速度、末速度都为零。设该过程弹性势能的增量为E，由系统机械能守恒：m1g(x1+x2)-m3g(x1+x2)+E=0 将 C 换成 D 后，A 上升 x1+x2过程系统机械能守恒：m1g(x1+x2)-(m1+m3)g(x1+x2)+E+(2m1+m3)v2/2=0 由以上两个方程消去E，得kmmgmmmv31221122A B A B B A B A B x l l A B m1 m2 km2 B A m1 kC m3 B m2 x1 x2 B A m1 m2 kC m3 x1+x2 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -