2022年年高考数学专题复习突破训练_构造函数解决高考导数问题 .pdf

构造函数解决高考导数问题1.（2015课标全国理）设函数aaxxexfx)12()(，其中1a，若存在唯一的整数0 x使得0)(0 xf，则a的取值范围是（）A)1,23eB)43,23eC)43,23eD)1,23e2.（2016课标全国 II 卷理）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（x+1）的切线，则b=3.（2016 北京理）（本小题13 分）设函数 f(x)=xaxe+bx，曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e1)x+4，（I）求 a,b 的值；(II)求 f(x)的单调区间4.（2017全国 III 卷文）（12 分）已知函数()f x=lnx+ax2+(2a+1)x（1）讨论()f x的单调性；（2）当 a0 时，证明3()24f xa5.（2016?四川卷文）（本小题满分14 分）设函数 f(x)=ax2alnx，g(x)=1xeex，其中 aR，e=2.718 为自然对数的底数.（）讨论f(x)的单调性；（）证明：当x1 时，g(x)0；（）确定a 的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间（1，+）内恒成立.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -6.（2016?课标全国文）（本小题满分12 分）已知函数()(1)ln(1)f xxxa x.（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；（）若当1,x时，()0f x，求a的取值范围.7.（2017天津文）（本小题满分14 分）设,a bR，|1a.已知函数32()63(4)f xxxa axb，()e()xg xf x.（）求()f x 的单调区间；（）已知函数()yg x 和xye 的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()f x 在0 xx 处的导数等于0；（ii）若关于 x 的不等式()exg x在区间001,1xx上恒成立，求b 的取值范围.8.（2016 江苏）（本小题满分16 分）已知函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设 a=2，b=12求方程 f（x）=2 的根；若对于任意xR，不等式 f（2x）mf（x）6 恒成立，求实数m 的最大值；（2）若 0a1，b1，函数 g（x）=f（x）2 有且只有1 个零点，求ab 的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -9.（2016 山东理）(本小题满分13 分)已知221()ln,xf xa xxaRx.（I）讨论()f x的单调性；（II）当1a时，证明3()2f xfx对于任意的1,2x成立.10.(2017江苏文)（本小题满分16 分）已知函数3210fx=xaxbx(a,bR)有极值，且导函数fx的极值点是fx的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a;(3)若fx，fx这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求 a 的取值范围.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -构造函数解决高考导数问题答案1.（2015课标全国理）设函数aaxxexfx)12()(，其中1a，若存在唯一的整数0 x使得0)(0 xf，则a的取值范围是（）A)1,23eB)43,23eC)43,23eD)1,23e【答案】D【解析】由题意，存在唯一的整数x0，使得 f(x0)0，即存在唯一的整数x0，使0 xe(2x01)a(x01)设 g(x)ex(2x1)，h(x)a(x1)g(x)ex(2x1)2exex(2x1)，从而当 x，12时，g(x)单调递减；当x 12，时，g(x)单调递增又 h(x)a(x1)必过点(1，0)，g(0)1，当 g(0)h(0)时，a0（1）101.而 g(1)3e，当 g(1)h(1)时，a03e1（1）32e，要满足题意，则32ea1，选 D.【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数x0，使得 f(x0)0”转化为“若存在唯一的整数x0，使得0 xe(2x01)a(x01)”测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用考查转化与化归思想2.（2016课标全国II 卷理）若直线y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线y=ln(x+)的切线，则b=【答案】1 ln 2【解析】设ykxb 切 yln x2 的切点为(x1，y1)，切 yln(x1)的切点为(x2，y2)由导数的几何意义和切点的特征可知kx1bln x12y1，k1x1，kx2bln（x21）y2，k1x21.由消去 x1，y1整理可得 b1ln k，由消去 x2，y2整理可得 bln kk1.联立可得1ln k ln kk1，k2，b1ln k1ln 2.【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系还需注意切点既在函数图像上，也在切线上对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -求解测训诊断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练(2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分3.（2016 北京理）（本题满分13 分）设函数 f(x)=xaxe+bx，曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e1)x+4，（I）求 a,b 的值；(II)求 f(x)的单调区间解：(1)因为 f(x)xea-xbx，所以 f(x)(1x)ea-xb.依题设，有f（2）2e2，f （2）e1，即2ea-22b2e2，ea-2be1.解得 a2，be.(2)由(1)知 f(x)xe2-xex，由 f(x)e2-x(1xex-1)及 e2-x0 知，f(x)与 1xex-1同号令 g(x)1xex-1，则 g(x)1ex-1.令 g(x)0，得 x1.所以当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)故 f(x)的单调递增区间为(，)【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解(2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错4.（2017全国 III 卷文）（12 分）已知函数()f x=lnx+ax2+(2a+1)x（1）讨论()f x的单调性；（2）当 a0 时，证明3()24f xa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -解：（1）)0()1)(12(1)12(2)(2xxxaxxxaaxxf当0a时，0)(xf，则)(xf在),0(单调递增当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减.（2）由（1）知，当0a时，max111()()ln1224f xfaaa1311()(2)ln()12422faaaa，令tty1ln（021at），令011ty，解得1ty在)1,0(单调递增，在),1(单调递减.max(1)0yyy，即)243()(maxaxf，243)(axf.5.（2016?四川卷文）（本题满分14 分）设函数 f(x)=ax2alnx，g(x)=1xeex，其中 aR，e=2.718 为自然对数的底数.（）讨论f(x)的单调性；（）证明：当x1 时，g(x)0；（）确定a 的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间（1，+）内恒成立.解：(1)f(x)2ax1x2ax21x(x0)当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0 得 x12a.当 x 0，12a时，f(x)0，f(x)单调递增(2)证明：令s(x)ex-1x，则 s(x)ex-11.当 x1 时，s(x)0，所以 ex-1x，从而 g(x)1xeex0.(3)由(2)知，当 x1 时，g(x)0.当 a0，x1 时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当 0a1.由(1)有 f12a0.所以此时f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当 a12时，令 h(x)f(x)g(x)(x1)，则 h(x)2ax1x1x2e1-xx1x1x21xx32x1x2x22x1x20.因此，h(x)在区间(1，)内单调递增又因为 h(1)0，所以当 x1 时，h(x)f(x)g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立综上，a12，.【点评】关键点拨：第(1)问中对 a 的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题(2)考生失分主要体现两点：分类讨论不全面；在第(3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误6.（2016?课标全国文）（本小题满分12 分）已知函数()(1)ln(1)f xxxa x.（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；（）若当1,x时，()0f x，求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x1x3，f(1)2，f(1)0.所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln xa（x1）x10.设 g(x)ln xa（x1）x1，则 g(x)1x2a（x1）2x22（1a）x1x（x1）2，g(1)0.当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1 x22x10，即 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当 a2 时，令 g(x)0 得 x1a1（a1）21，x2a1（a1）21.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -因此 g(x)0，所以 mf（x）24f（x）对于任意 xR 恒成立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -而f（x）24f（x）f(x)4f（x）2f（x）4f（x）4，且f（0）24f（0）4，所以 m4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g(x)f(x)2有且只有1 个零点，而 g(0)f(0)2a0b020，所以 0 是函数 g(x)的唯一零点因为 g(x)axln abxln b，又由 0a1 知 ln a0，所以 g(x)0 有唯一解 x0logbaln aln b.令 h(x)g(x)，则 h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意xR，h(x)0，所以 g(x)h(x)是(，)上的单调增函数于是当 x(，x0)时，g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数下证 x00.若 x00，则 x0 x020，于是 gx02alog2a20，且函数g(x)在以x02和 loga2 为端点的闭区间上的图像不间断，所以在x02和 loga2 之间存在 g(x)的零点，记为x1.因为 0a1，所以 loga20又x020，所以 x10，同理可得，在x02和 loga2 之间存在 g(x)的非 0 的零点，矛盾因此，x00.于是ln aln b 1，故 lg aln b0，所以 ab1.【解析】【点评】关键点拨：注意分离参数方法在解与函数有关的不等式求参问题中的应用；根据函数零点个数求参数值时，注意应用零点存在定理，利用换元法求解时一定要注意新元的取值范围测训诊断：(1)本题难度大，主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查学生综合运用数学思想分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -意在让学生得分(2)本题若出错，一是思路受阻；二是运算错误9.（2016 山东理）(本题满分 13 分)已知221()ln,xf xa xxaRx.（I）讨论()f x的单调性；（II）当1a时，证明3()2f xfx对于任意的1,2x成立解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f (x)aax2x22x3（ax22）（x1）x3.当 a0 时，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减当 a0 时，f(x)a（x1）x3x2ax2a.0a2 时，2a1，当 x(0，1)或 x2a，时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x1，2a时，f(x)0，f(x)单调递减a2 时，2a1，在 x(0，)内，f(x)0，f(x)单调递增a2 时，02a1，当 x 0，2a或 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x2a，1 时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当 a0 时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当 0a2 时，f(x)在(0，1)内单调递增，在1，2a内单调递减，在2a，内单调递增；当 a2 时，f(x)在(0，)内单调递增；当 a2 时，f(x)在 0，2a内单调递增，在2a，1 内单调递减，在(1，)内单调递增(2)由(1)知 a1 时，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -f(x)f (x)xln x2x1x2 11x2x22x3xln x3x1x22x31，x1，2设 g(x)xln x，h(x)3x1x22x31，x1，2，则 f(x)f(x)g(x)h(x)由 x1，2，得 g(x)x1x0，可得 g(x)g(1)1，当且仅当x1 时取得等号又 h(x)3x22x6x4.设 (x)3x22x6，则 (x)在 x1，2内单调递减因为 (1)1，(2)10，所以?x0(1，2)，使得 x1，x0)时，(x)0，x(x0，2时，(x)0.所以 h(x)在1，x0)内单调递增，在(x0，2内单调递减由 h(1)1，h(2)12，可得 h(x)h(2)12，当且仅当x2 时取得等号所以 f(x)f(x)g(1)h(2)32，即 f(x)f(x)32对于任意的x1，2成立【点评】刷有所得：求函数的单调区间，应在函数定义域的限制之下，讨论函数导数值的符号若函数的导数含参数，应分类讨论，分类的标准是根据函数导数对应方程的根与定义域的关系证明函数不等式f(x)g(x)，主要有两种方法：一是构造函数h(x)f(x)g(x)，将问题转化为函数h(x)f(x)g(x)的最小值大于0；二是证明f(x)ming(x)max.测训诊断：本题难度大，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数与方程、分类讨论、转化与化归的数学思想，考查分析解决问题的能力、推理能力若错一是求函数单调区间时忽视函数的定义域为(0，)；二是在第(1)问中不能准确地对参数a 进行分类讨论；三是(2)中的求解在构造函数f(x)f(x)xln x3x1x22x31 后不能将函数分解为g(x)xln x 与 h(x)3x1x22x31 两个函数，而是将等式右边的式子作为一个整体构造函数，从而不能求得其最值10.(2017江苏文)（本小题满分16 分）已知函数3210fx=xaxbx(a,bR)有极值，且导函数fx的极值点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -是fx的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a;(3)若fx，fx这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求 a 的取值范围.解：（1）因为2()32fxxaxb，令()620fxxa，解得3ax，所以()03af，所以2239aba，因为24120ab，所以3a.（2）263214539813baaaa，23459(27)813yttta令因为对称轴135278t，所以min(27)0yy，所以 b23a.（3）由（1）可设fx的极值点的横坐标为1x，2x；fx极值点为3ax，由（1）得12122,3axxx xb332212121212()()()()()2f xf xxxa xxb xx22121212121212()()3()2()2xxxxx xaxxx xb xx3422202733abaaf2127()()(),332aaf xf xfb即22237932aaa解得 36a.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -