2022年复合函数求导数 .pdf

指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系1mnbxay)(；232lnxey；3)32(log322xxy；4)1(sin3xxy。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程解：函数的复合关系分别是1nmbxauuy,；22,3,lnxevvuuy；332,log,322xxvvuyu；4.1,sin,3xxvvuuy说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果二、复合函数的求导法则定理2 设函数 y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f(x)也可导.且或或证：设变量 x 有增量x，相应地变量u 有增量u，从而 y 有增量y.由于 u 可导，即推论设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f(x)也可导，且例求下列函数的导数143)12(xxxy；22211xy；3)32(sin2xy；421xxy。，xuxuyy，)()(xufyx.xuuyxydddddd.0lim0ux所以xuuyxx00limlim，xuxuuyxuuy00limlim.xuxuyyxuuyxyxx00limlim.xvuxvuyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -分析：选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数解：1解法一：设43,12uyxxxu，则).116()12(4)116(42233223xxxxxxxuuyyxux解法二：xxxxxxxxxy121241233343.116124223xxxxx2解法一：设22121,xuuy，则.21)21(2212421214212223223223xxxxxxxxuuyyxux解法二：212221211xxy.21)21(2)21(2)4()21(2121)21(21222322322232xxxxxxxxx3解法一：设32,sin,2xvvuuy，则.324sin2232cos32sin22cos2xxxvuvuyyxvux解法二：32sin32sin232sin2xxxy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -.324sin2232cos32sin23232cos32sin2xxxxxx4解法一：.1422xxxxy设4221,xxuuy，则.1211)21(2)42()(21)42(21222242332142321xxxxxxxxxxxxxxxxuuyyxux解法二：)1(1)1(222xxxxxxy.1211122222xxxxx说明：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导例1 设y=(2x+1)5，求 y.解把 2x+1 看成中间变量u，将y=(2x+1)5看成是y=u5，u=2x+1复合而成，由于所以例2 设y=sin2x，求 y.解这个函数可以看成是y=sinxsinx,可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将y=sin2 x 看成是由y=u2，u=sinx 复合而成.而所以例3 设y=sin3x，求 .解：例4 设y=lncosx，求,5)(45uuyu.2)12(xux.)12(102544xuuyyxux,2)(2uuyu.cos)(sinxxux.cossin2cos2xxxuuyyxux，则，xuuysin3xuuyxyddddddxu cos32.cossin32xxyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -解：例5 设解：例6 设y=etan x，求 y.解y=etan x 可以看成是由y=eu，u=tanx 复合而成，所以复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.例7 求 y.解例8 设f(x)=arcsin(x2)，求 f(x).解例9 求 y.解例 10 求 y.解例11 求 y.xuuxuxxuyy)(tan)(e.secsec22xuxxtanee,12xy设xxxxy)1()1(212212.12xxxxxxf)(11)(24.124xx,sinlnxy设xxxxxy)(sinsin1)(xxxx)(cossin1.cot21xx,xxye设xxxxxxy)()(2121eexxxxxx)()()(2121eexxxxx)(1)(2121ee).1()(2121xxxee21xxy设，则，xuuycoslnxuuyxydddddd)sin(1xu.tan)sin(cos1xxx.)12(sin3yxy，求xy)12(sin3xx)12(sin()12(sin32xxx)12()12cos()12(sin322)12cos()12(sin32xx.)12cos()12(sin62xx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -解先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.例12 设y=sin(xlnx)，求 y.解先用复合函数求导公式，再用乘法公式y=cos(xlnx)(xlnx)=cos(xlnx)(x(lnx)+x lnx)=(1+lnx)cos(xlnx).例13 解先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数的求导.补证一下 (x)=xeln所以(x)=(elnx)=elnx(lnx)例求下列函数的导数（其中)(xf是可导函数）1xfy1；2).1(2xfy分析：对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。先设出中间变量，再根据复合函数的导数运算法则进行求导运算。一般地，假设中间变量以直接可对所设变量求导，不需要再次假设，如果所设中间变量可直接求导，就不必再选中间变量。解：1解法一：设xuufy1),(，则.111)(22xfxxufuyyxux解法二：.111112xfxxxfxfy2222)1()1(1)(xxxxxy222112211xxxxx.)1(1)1(1)1(2322222xxxxx)1ln(2xx求21x)1ln(2xx)1(1122xxxx)1(11122xxx221111xxxx.112x，因为lnlnxxxeexx1lne.11xxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -2解法一：设1,),(2xvvuufy，则).1(121121)1(221)(222221xfxxxxxxfxvufvuyyxuux解法二：)1()1()1(222xxfxfy).1(1.2)1()1()1()1(21)1(22212222122xfxxxxxfxxxf说明：理解概念应准确全面，对抽象函数的概念认识不足，显示了一种思维上的惰性，导致判断复合关系不准确，没有起到假设中间变量的作用。其次应重视)(xf与)(xf的区别，前者是对中间变量)(x的求导，后者表示对自变量x的求导例 1 函数4)31(1xy的导数.解：4)31(1xy4)31(x设4uy，xu31，则xuxuyyxuxu)31()(4)3(45u55)31(1212xu5)31(12x例 2 求51xxy的导数解：511xxy，541151xxxxy254)1()1(1151xxxxx254)1(1151xxx5654)1(51xx例 3 求下列函数的导数教名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -xy23解：（1）xy23令u=3-2x，则有y=u，u=3-2x由复合函数求导法则xuxuyy有y=xuxu)23(=xu231)2(21在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u，于是前面可以直接写出如下结果：y=xxx231)23(2321在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y=xx231)2(2321例 4 求下列函数的导数（1）y=x21cos x（2）y=ln(x+21x)解：（1）y=x21cos x由于y=x21cos x是两个函数x21与 cos x的乘积，而其中x21又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x21导数时再用复合函数求导法则，于是y=(x21)cos x-x21sin x=xxcos212)2(-x21sin x=xx21cos-x21sin x（2）y=ln(x+21x)由于y=ln(x+21x)是u=x+21x与y=ln u复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求xu时用函数和的求导法则，而求(21x)的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -y=211xx?1+(21x)=211xx?21221xx =211xx?2211xxx=211x例 5设)1ln(xxy求y.解利用复合函数求导法求导，得)1(11)1ln(222xxxxxxy)1(11122xxx)1(121111222xxxx111111222xxxxx.小结对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4 中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.例 6 求y=(x23x+2)2sin3x的导数.解：y=(x23x+2)2 sin3x+(x2 3x+2)2(sin3x)=2(x23x+2)(x23x+2)sin3x+(x23x+2)2cos3x(3x)=2(x23x+2)(2x3)sin3x+3(x23x+2)2cos3x.1求下函数的导数.（1）cos3xy（2）21yx(1)y=(5x3)4(2)y=(2+3x)5 (3)y=(2 x2)3 (4)y=(2x3+x)2(1)y=32)12(1x (2)y=4131x (3)y=sin(3x6)(4)y=cos(1+x2)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -32)2(xy；2sin xy；)4cos(xy；)13sin(lnxy1求下列函数的导数 (1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy (3)2(log2xa2.求)132ln(2xx的导数一、选择题（本题共5小题，每题 6分，共 30分）1.函数y=2)13(1x的导数是（）A.3)13(6xB.2)13(6x C.3)13(6xD.2)13(6x3.函数y=sin（3x+4）的导数为（）A.3sin（3x+4）B.3cos（3x+4）C.3sin2（3x+4）D.3cos2（3x+4）4.曲线nxy在 x=2 处的导数是12，则 n=（）A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数y=cos2x+sinx的导数为（）A.2sin2x+xx2cosB.2sin2x+xx2cos名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -C.2sin2x+xx2sinD.2sin2xxx2cos6.过点 P（1，2）与曲线y=2x2相切的切线方程是（）A.4x y2=0 B.4x+y 2=0 C.4x+y=0 D.4x y+2=0 二、填空题（本题共5 小题，每题6 分，共 30 分）8.曲线y=sin3x在点P（3，0）处切线的斜率为_。9.函数y=xsin（2x2）cos（2x+2）的导数是。10.函数y=)32cos(x的导数为。11._,2)(,ln)(00 xxfxxxf则。复合函数的导数1.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y=u3,u=1+sin3x 8.3 9.y=21sin4x+2xcos4x 10.)32cos()32sin(xx 11.xxx1sin1cos122名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -