2022年高一数学必修一函数及其表示函数的概念 .pdf

1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念【教学目的】1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、复习引入提问 初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？回答 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。讲述 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。提问 问题 1：y=1（xR）是函数吗？问题 2：y=x与y=xx2是同一函数吗？投影 观察对应：分析 观察分析集合A 与 B 之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课函数的概念（一）函数与映射投影函数：设 A，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -数x，在集合 B 中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y=)(xf，xA。其中x叫自变量，x的取值范围A 叫做函数y=)(xf的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合)(xf|xA，叫做函数y=)(xf的值域。函数符号y=)(xf表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf。函数的三要素：对应法则f、定义域 A、值域)(xf|xA 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射：设,A B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射.如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫合A中的元素x的象.映射概念的理解(1)映射BAf:包含三个要素:原像集合 A,像集合 B(或 B 的子集)以及从集合A 到集合 B 的对应法则f.两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从 A 到 B 的映射与从B 到 A 的映射是不同的;(2)任意性:集合 A 中的任意一个元素都有像,但不要求 B 中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合 A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射BAf:函数ByAxxfy,),(集合 A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A 中任一元素a,在集合 B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合 B 中任一元素b,在集合 A 中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.注意（1）函数实际上就是集合A 到集合 B 的一个特殊对应f：AB。这里 A，B 为非空的数集。（2）A：定义域，原象的集合；)(xf|xA：值域，象的集合，其中)(xf|xAB；f：对应法则，xA，yB（3）函数符号：y=)(xf，y是x的函数，简记)(xf回顾（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数)(xf=axb(a0)：定义域R，值域R2、反比例函数)(xf=xk(k0)：定义域 x|x0，值域 y|y0 3、二次函数)(xf=ax2bxc(a0)：定义域R，值域：当a0 时，y|yabac442；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -当a0时，y|yabac442。（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若)(xf=x23x1，求)2(f。解：)2(f=22321=11 注意（1）在y=)(xf中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；（2）)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；（3）)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数，)(af是)(xf的一个特殊值。（四）区间的概念投影 设a、b是两个实数，而且ab，我们规定：（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；（3）满足不等式axb或者axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为),ba、,(ba；（4）实数集R可以用区间表示为（,）；满足不等式xa，xa，xb，xb的实数x的集合可以分别表示为a,)，（a,），（,b，（,b）。注意 注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如axa。三、实例提升例析 例 1、设集合M=x|0 x2，N=y|0y2，从 M 到 N 有 4 种对应如下图所示：其中能表示为M 到 N 的函数关系的有。解析根据对应的含义和函数的概念，可以看出能表示M 到 N 的函数关系。例析 例 2、求下列函数的定义域：21)(xxf；)(xf=23x；)(xf=1xx21解析函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=)(xf，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。解：x2=0，即x=2 时，分式21x无意义，而x2 时，分式21x有意义这个函数的定义域是x|x2。3x20，即x32时，根式23x无意义而 3x20，即x32时，根式23x才有意义这个函数的定义域是x|x32。当x10 且 2x0，即x 1 且x2 时，根式1x和分式x21同时有意义名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -这个函数的定义域是x|x1 且x2 另解：要使函数有意义，必须：x10 且 2x0 x 1 且x2 这个函数的定义域是：x|x 1 且x2 强调 解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型：（1）当)(xf为整式时，定义域为R；（2）当)(xf为分式时，定义域为使分母不为0 的x的集合；（3）当)(xf为 n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；（4）当)(xf是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x的取值的集合。例析 例 3、已知函数)(xf=3x25x2，求)3(f，)2(f，)1(af。解析解：f(3)=332532=14；)2(f=3(2)25(2)2=852；)1(af=3(a1)25(a1)+2=3a2a。例析 例 4、下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）2)(xy；（2）33xy；（3）2xy解析解：（1）y=x，x0，y0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（2）y=x，xR，yR，定义域值域都相同，是同一个函数；（3）y=|x|=)0()0(xxxx，y0；值域不同，不是同一个函数。例析 例 5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1xxxy52xy（定义域不同）（2）111xxy)1)(1(2xxy（定义域不同）（3）21)52()(xxf52)(2xxf（定义域、值域都不同）注意 两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练反馈1、函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是（）A),31(B)1,31(C)31,31(D)31,(2、下列各组，函数)(xf与)(xg表示同一个函数的是（）A)(xf=1，)(xg=x0 B)(xf=x0，)(xg=xx2C)(xf=x2，)(xg=4)(xD)(xf=x3，)(xg=93)(x3、已知函数)(xf=2x3，求：（1）)0(f，)2(f，)5(f；（2）)(xff；（3）若x0，1，2，3，求函数的值域。4、若4,3,2,1A，,cbaB，,a b cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -A到B的函数有个演练反馈答案：1、B 2、D 3、（1）)0(f=3，)2(f=1，)5(f=7；（2）)(xff=4x9；（3）值域为 3，1，1，3 4、81,64,81五、课堂小结本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f：AB，其中集合 A，B 必须是非空的数集；)(xfy表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(af表示)(xf在x=a时的函数值，是常量；而)(xf是x的函数，通常是变量。【教后札记】本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念，主要包括函数的概念、三要素的理解，难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重新定义函数时，学生并不陌生，重要的是让学生认识到它的优越性，从根本上揭示了函数的本质由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，通过例题解析让学生充分理解函数的概念。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -板书 函数的概念（一）函数与映射函数的三要素：对应法则f、定义域 A、值域)(xf|xA 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数)(xf=axb(a0)：定义域R，值域R2、反比例函数)(xf=xk(k0)：定义域 x|x0，值域 y|y0 3、二次函数)(xf=ax2bxc(a0)：定义域R，值域：当a0 时，y|yabac442；当a0时，y|yabac442。板书（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若)(xf=x23x1，求)2(f。解：)2(f=22321=11 板书（四）区间的概念（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；（3）满足不等式axb或者axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为),ba、,(ba；（4）实数集R可以用区间表示为（,）；满足不等式xa，xa，xb，xb的实数x的集合可以分别表示为a,)，（a,），（,b，（,b）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -