2022年重积分习题及答案 .pdf

1 第九章重积分(A)1填空题(1)设yxyxP2,，23,yxyxQ，定义于:D10 x，10y，则dyxPD,DdyxQ,(2)设曲顶柱体的顶面是yxfz,，Dyx,，侧面是母线平行于z轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为V。(3)在极坐标系中，面积元素为。2利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)Ddyx2与Ddyx3，其中积分区域D由 x轴，y轴以及直线1yx所围成。(2)Ddyx2与Ddyx3，其中积分区域D是由圆周21222yx所围成。3利用二重积分性质，估计积分DdyxI92222的值，其中D是圆形闭区域422yx。4交换积分aaxaxxadyyxfdx2222,的积分次序。5交换积分2120,ydxyxfdy的积分次序。6交换二次积分aayyayxfdy022,的积分次序。7计算Ddyx23，其中D是由两坐标轴及直线2yx所围成的闭区域。8计算Ddyxxcos，其中D是顶点分别为0,0，0,和,的三角形区域。9计算Dydx sin1，其中D是顶点分别为0,0，0,1，2,1和1,0的梯形闭区域。10计算二重积分Ddxdy，其中区域D由曲线21xy与12xy围成。11计算二重积分Ddxy2，其中D是由圆周422yx及y轴所围成的右半闭区域。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 26 页 -2 12计算Dyxd22，其中D是圆环域4122yx。13计算Ddyx221ln，D：122yx，0 x，0y。14计算二重积分Ddxdyyx22，其中D：xyx222。15计算11022xydyedxx。16求区域cos1ara的面积。17求由xy2，2xy，2xy围成的平面图形的面积。18求椭圆抛物面4422yxz与平面0z所围成的立体体积。19设平面上半径为 a的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k，求该圆形薄片的质量。20由圆cos2r，cos4r所围成的均匀薄片，面密度为常数，求它关于坐标原点O的动惯量。(B)1选择题设空间区域1：2222Rzyx，0z，2：2222Rzyx，0 x，0y，0z，则（）A214dvzdvB214dvdvC212ydvydvD21zdvdv2根据二重积分性质，比较下列积分大小：(1)Ddyxln与Ddyx2ln，其中D是三角形区域，三顶点分别为0,1，1,1，0,2。(2)Ddyxln与Ddyx2ln，其中D是矩形闭区域：53x，10y。3估计积分值DdyxI10，其中D是由圆周422yx围成。4估计二重积分10|22sincos1001yxdyxI的值。5交换二次积分次序0112,ydxyxfdy。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 26 页 -3 6交换二次积分的次序：2232110,yydyyxfdy。7改变积分次序xxxdyyxfdx2,10。8计算二重积分Dxydxdyye，其中D是由直线1x，2x，2y及双曲线1xy所围成的区域。9计算二重积分xydyedx02102。10计算积分xdyyxxdx022101。11deyx其中D是由1|yx所确定的闭区域。12Ddxyx22，其中D是由直线2y，xy及xy2所围成的闭区域。13计算Ddxdyxy22，其中D由抛物线xy2及直线2xy所围成。14计算dxxyxdyy1210sin。15计算Dxydxdye，D是由曲线2xy，0y，1x所围成的区域。16计算axaaxdydxyxayx0222222241。17计算Ddxdyyxyx21222211，其中D为122yx在第一象限的部分。18计算122|yxdxdyyx。19计算1|yxdxdyxy。20计算dxdyxyyx10112|21计算三重积分xdw，其中由三个坐标面与平面12zyx所围成。22计算Vdxdydzzyxsin，其中V是平面2zyx和三个坐标平面所围成的区域。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 26 页 -4 23计算积分VxdxdydtI。24计算积分Vdxdydzzyx22，其中V为第一象限中由旋转抛物面22yxz与圆柱面122yx所围成的部分。25计算dxdydzyxI22，其中是由曲线022xzy绕 z轴旋转一周而成的曲面与平面2z，8z所围的立体。26求由下列曲面所界的体积，yxz，xyz，1yx，0 x，0y。27求由圆锥面224yxz与旋转抛物面222yxz所围立体的体积。28求平面1czbyax被三坐标面所割出部分的面积。29求底圆半径相等的两个直交圆柱面222Ryx及222Rzx所围立体的表面积。30 一个物体由旋转抛物面22yxz及平面1z所围成，已知其任一点处的体密度与到 z轴的距离成正比，求其质量m。31求由圆cosar，cos2ar所围成的均匀薄片的重心。32一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面22yxz和平面0z，ax|，ay|所围成的。(1)求其体积；(2)求物体的重心；(3)求物体关于 z 轴的转动质量。(C)1将下面积分化为重积分，并求I的值。sin0sinsin2222222222abaybycgtyxybyayxdydxedydxeI，其中ba0，20为常数。2设区域D为图中斜线部分，试将二重积分DdxdyyxfI,化为两种次序的二次积分。3计算三重积分dvzx，其中是由曲面22yxz与221yxz所围成的区域。4计算Ddxdyyx|43|，D：122yx。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 26 页 -5 5设yxf,连续，且Ddudvvuyfxyxf,，其中D是由xy1，1x，2y所围区域，求yxf,。6(1)计算deyx22，其中222|,Ryxyx；(2)试证022dxex。7求曲面：122yxz上任一点的切平面与曲面S：22yxz所围立体的体积。8设2222222tzyxdxdy dzzyxftF，其中uf为连续函数，0f存在，且00f，10f，求50limttFt。第九章重积分(A)1填空题(1)设yxyxP2,，23,yxyxQ，定义于:D10 x，10y，则dyxPD,DdyxQ,(2)设曲顶柱体的顶面是yxfz,，Dyx,，侧面是母线平行于z轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为VDdyxf|,|。(3)在极坐标系中，面积元素为rdrdd。2利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)Ddyx2与Ddyx3，其中积分区域D由 x轴，y轴以及直线1yx所围成。解：在区域D内，1yx，两边乘以2yx，得23yxyx，故由性质得：DDdyxdyx23名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 26 页 -6(2)Ddyx2与Ddyx3，其中积分区域D是由圆周21222yx所围成。解：令两被积函数相等，得0yx或1yx，直线1yx与圆周21222yx交点为0,1由图知：D位于1yx的 半 平 面 内 故32yxyx，因 而DDdyxdyx32。3利用二重积分性质，估计积分DdyxI92222的值，其中D是圆形闭区域422yx。解：因为4022yx，故17922922yx，故DDDddyxd10827417922936224交换积分aaxaxxadyyxfdx2222,的积分次序。解：由积分上下限画出积分区域D，2222:xaxyxaaxaD，故重积分交换积分次序为：ayaayadxyxfdyI0222,。5交换积分2120,ydxyxfdy的积分次序。解：画出积分区域图，易知xydyyxfdxdxyxfdy21102021,。6交换二次积分aayyayxfdy022,的积分次序。解：积 分 的 上 下 限 作 出 积 分 区 域 的 图 形，原 式aaaaxaaxadxyxfdxdyyxfdx220,22。7计算Ddyx23，其中D是由两坐标轴及直线2yx所围成的闭区域。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 26 页 -7 解：xDdyyxdxdyx20202323202023dxyxyx202224dxxx3203242032xxx。8计算Ddyxxcos，其中D是顶点分别为0,0，0,和,的三角形区域。解：原式xdyyxxdx00cos0sin2sindxxxx0c o s2c o s21xxxd00c o s2c o s21c o s2c o s21dxxxxxx239计算Dydx sin1，其中D是顶点分别为0,0，0,1，2,1和1,0的梯形闭区域。解：原式1010101cos11sin1dyxxydydxxx10101si n11xdxdxx10101021si n1si n12dxxxxxx2c o s1c o s2s i n21s i n2310计算二重积分Ddxdy，其中区域D由曲线21xy与12xy围成。解：解1122xyxy，得交点0,1，0,1D：2211xyx，11x原式1121111381222dxxdydxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 26 页 -8 11计算二重积分Ddxy2，其中D是由圆周422yx及y轴所围成的右半闭区域。解：原式224022ydxxydy224022221dyyxy15641013221222532242yydyyy12计算Dyxd22，其中D是圆环域4122yx。解：在极坐标系下计算积分D的边界曲线的极坐标方程为：1r，2r，极点在D内，射线与D的边界交于两点，1r，2r，故原式212120drdrdrdrD。13计算Ddyx221ln，D：122yx，0 x，0y。解：原式102201lnrdrrd102211ln4rdr10102221ln14rdrrr12ln2414计算二重积分Ddxdyyx22，其中D：xyx222。解：在极坐标下计算原式Ddrdr2223c o s20222c o sddrrd20393232316cos316d15计算11022xydyedxx。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 26 页 -9 解：需改变积分次序才能完成积分，积分区域如图所示原式yyDydxxdyedxdyex02102221022103226131dyeydyeyyy10106161uuueueduue12161e16求区域cos1ara的面积。解：区域在极坐标下可表示为22,c o s1|,arar故区域的面积为：cos122aardrdrdrddA2222222c o s12c o s12121daadraa22202222c o s2c o sc o s2c o s2dada224a17求由xy2，2xy，2xy围成的平面图形的面积。解：设所求面积为S，由221xyy，得交点1,2，2110222122102223dyyydyydxdydxdySyyyy212211022121ln22123yyy2ln214412ln243名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 26 页 -10 18求椭圆抛物面4422yxz与平面0z所围成的立体体积。解：考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可即dxdyyxVD44422故241602220444xdyyxdxV204160322212144dxyyxyx16431620232dxx19设平面上半径为 a的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为k，求该圆形薄片的质量。解：建立坐标系如图。则222|,ayxyx，在yx,处的密度为22yxk，取的微元d，于是dyxkddM22DdyxkdM22化为极坐标，有20,0|,arr，于是aaDakrkdrrdkrdrdkrM0404320224220由圆cos2r，cos4r所围成的均匀薄片，面密度为常数，求它关于坐标原点O的动惯量。解：由题意知转动惯量DdyxI220ddrrd203cos4cos2322cos16215245443120名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 26 页 -11(B)1选择题设空间区域1：2222Rzyx，0z，2：2222Rzyx，0 x，0y，0z，则（B）A214dvzdvB214dvdvC212ydvydvD21zdvdv2根据二重积分性质，比较下列积分大小：(1)Ddyxln与Ddyx2ln，其中D是三角形区域，三顶点分别为0,1，1,1，0,2。解：经过顶点1,1与0,2的直线方程为2yx，由于区域D在该直线下方，所以区域D中的点满足2yx，因而满足1lnyx。类似地又知区域D中的点满足1x，0y，因而满足1yx，进一步可知0lnyx，在不等式1lntx两边乘以1lnyx得yxyxlnln2，因而有DDdyxdyxlnln2。(2)Ddyxln与Ddyx2ln，其中D是矩形闭区域：53x，10y。解：在D上 有eyx，所 以1lnyx，2lnlnyxyx，因 而 有DDdyxdyxlnln2。3估计积分值DdyxI10，其中D是由圆周422yx围成。解；以下求出被积函数10,yxyxf的最大，最小值，再由二重积分性质估计积分值。在D内部，1xf，1yf，因此yxf,在区域内设有驻点，故最值一定在边界上达到，作L-函数：410,22yxyxyxF令0402102122yxyFxFyx，解得驻点为2,2，2,2，比较得2210m，2210M，积分区域的面名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 26 页 -12 积4222R，于是258258I。4估计二重积分10|22sincos1001yxdyxI的值。解：以下用二重积分的中值定理估计积分值，其本质上与用单调性估值是一致的，因为yxyxf22sincos1001,在 闭 区 域D上连 续，所以 在D上 至 少 有 一点,，使 得22co sc o s1001I，显然1001coscos1001102122，而200，所以210020010220051100I5交换二次积分次序0112,ydxyxfdy。解：原式xdyyxfdx1021,。事实上，由图即可知积分区域是由三条直线1yx，2x，0y所围成。6交换二次积分的次序：2232110,yydyyxfdy。解：积 分 区 域D：1032122yyxy，积 分 区 域321DDDD，1D：xyx20210，2D：10221yx，3D：23032xyx，则230321022120210,xxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxI。7改变积分次序xxxdyyxfdx2,10。解：由积分上下限画出积分区域D，积分区域D是由上半圆周41212yx，0y，抛物线xy2，0y；与名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 26 页 -13 直线1x三者所围成。原式14121112121041212102222,yyyydxyxfdydxyxfdydxyxfdy。8计算二重积分Dxydxdyye，其中D是由直线1x，2x，2y及双曲线1xy所围成的区域。解：采用先 x后y的次序积分(先y后 x将带来困难)原式121212121dxyedydxyedyxyyxy24212121221212112121eedyeedyeedyeeyyyxyyxy9计算二重积分xydyedx02102。解：直接计算有困难，先交换积分次序，原式101022121222dyyedxdyeyyy102210222dyeydyeyy10210222yyydedye21102102102222edyeyedyeyyy10计算积分xdyyxxdx022101。解：先对y积分较困难，先对 x积分可以用凑微分法求得，因此交换次序，原式122101ydxyxxdy10122221121dyyxdyxy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 26 页 -14 1031012322131131dyydyyxy41431104yy11deyx其中D是由1|yx所确定的闭区域。解：原式11101101xxyxxxyxdyedxedyedxe10110111dxeedyeexxyxxxyx101201112dxeedxeexx11012011122121eeeexxeexx12Ddxyx22，其中D是由直线2y，xy及xy2所围成的闭区域。解：原式yydxxyxdy2222020222323dyxxyxyy2023832419dyyy6131619814124192034yy13计算Ddxdyxy22，其中D由抛物线xy2及直线2xy所围成。解：画出D的图形，选择先对x积分，这时D表示为：2122yyxy，从而原式221222221222yyyyxydxxydy21623444dyyyyy356157345217345yyyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 26 页 -15 14计算dxxyxdyy1210sin。解：按原式所给的次序计算积分，需进行二次分部积分，若交换积分次序，求积分较易，将D：101yxy，重新表示为D：100 xxy，则原式dxxyxxydyxdxxx0100210cossin102c o s1dxxx1sin121sin211022xx15 计算Dxydxdye，D是由曲线2xy，0y，1x所围成的区域。解：原式2010 xxydyedx100102dxxxedxxexxxy21211210210101010eexdxexexdxxdexxx16计算axaaxdydxyxayx0222222241。解：本题采用极价值计算：原式sin2022044ararrdrd04s i n202ar c s i ndara0404sinarcsindd3222042名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 26 页 -16 17计算Ddxdyyxyx21222211，其中D为122yx在第一象限的部分。解：采用极坐标计算：原式104220422122111111rdrrrdrdrdrrrdrdrrDD1021021221021121141142tdttdtdtttrt令481241a r c si n421021210tt18计算122|yxdxdyyx。解：利用函数和积分区域的对称性，原式1|4Ddxdyyx(1D 为积分区域在第一象限的部分)r d rrrd1020s i nc o s4383c o ssi n410320r19计算1|yxdxdyxy。解：由于积分区域D是一个正方形，坐标轴将D分成四个相等的子区域，被积函数|xy关于这四个子区域是对称的，故原式10104|41xDydyxdxdxdyxy612221103210102dxxxxdxyxx20计算dxdyxyyx10112|解：根据绝对值，将积分区域分成两部分，;,;,|22222xyyxxyxyxy记区域D为11x，10y，21DlDD，1D：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 26 页 -17 12yx，11x；2D：1x，20 xy，则原式21|22DDdxdyxydxdyxy2202111211xxdyyxdxdyxydx11022111222222dxyyxdxyxyxx1042114221221dxxxdxxx1511532121053xxx21计算三重积分xdw，其中由三个坐标面与平面12zyx所围成。解：先对z 积分，z 的变化范围是yxz2210，D可表示为：210 x，xy210，原式zxddydxyxx2102102109612121212102210210dxxxdyyxxdxx22计算Vdxdydzzyxsin，其中V是平面2zyx和三个坐标平面所围成的区域。解：原式yxxdzzyxdydx202020sin12s i n1c o s202020dxxdyyxdxx。23计算积分VxdxdydtI。解：V：其中下底为平面0z，上底面为平面yxz21，它在XY平面上的投影xy是由0 x，0y以及12yx所围成，于是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 26 页 -18 yxyxdzdyxdxxdzdxdyIxy2102x10102101021022101021dxyxyyxdyyxxdxxyyx1032481241dxxxx注：若将V投影在YZ平面上再进行计算，则481210210210zyyxdxdzdyI24计算积分Vdxdydzzyx22，其中V为第一象限中由旋转抛物面22yxz与圆柱面122yx所围成的部分。解：采用柱面坐标计算原式100220210202222drzzrrdzzrrdrdrr1058232drr25计算dxdydzyxI22，其中是由曲线022xzy绕 z轴旋转一周而成的曲面与平面2z，8z所围的立体。解：用柱坐标计算428222082202202rdzrdrrddzrdrrdI3 3 62 8 848。26求由下列曲面所界的体积，yxz，xyz，1yx，0 x，0y。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 26 页 -19 解：由题意，DdxdyxyyxV，积分区域D是 x 轴，y轴及1yx直线围成的三角形，于是1010dxdyxyyxVxdxyxxyx1010221110212111dxxxxx2471213121103dxx27求由圆锥面224yxz与旋转抛物面222yxz所围立体的体积。解：选用极坐标计算DdxdyyxyxV2222214Drdrdrr242以下求立体在xoy平面上的投影区域D：由222224yxzyxz，得082 zz，2z，8z(舍)因此，D由422yx，即2r围成故得20204323220320832224rrrdrrrrdV。28求平面1czbyax被三坐标面所割出部分的面积。解：所求平面在xoy面上的投影区域D为以 a、b为直角边的直角三角形。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 26 页 -20 ybcxaccz，acxz，bcyz212222212211bcacyzxz。212222221accbbaabdxdyaccbbaabAD212222221212222222122222221211accbbaabaccbbaab29求底圆半径相等的两个直交圆柱面222Ryx及222Rzx所围立体的表面积。解：由对称性可知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面222Rzx上的部分面积的 16 倍，这部分曲面的方程为22xRzdxdyyzxzAD22116d x d yxRxD22220116220220221616xRRDdyxRRdxdxdyxRR20002216161622RRdxdxyxRRRRxR30 一个物体由旋转抛物面22yxz及平面1z所围成，已知其任一点处的体密度与到 z轴的距离成正比，求其质量m。解：由题意，密度22yxk，于是物体的质量为dxdydzyxkm22，其中为曲面22yxz及平面1z所围成的区域。在坐标面xoy上的投影区域D为圆122yx，过D内的任意点M引平面于 z轴的直线，其与表面相交两点的竖坐标z分别是22yxz与1z，于是名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 26 页 -21 1222222yxDdzyxdxdykdxdydzyxkmd x d yyxyxkD222211022201drrrdkk154注：在圆域D上二重积分是用极坐标计算的。31求由圆cosar，cos2ar所围成的均匀薄片的重心。解：两圆所围成的区域如图所示。由图形的对称性知，该薄片的重心在 x轴上，即0y。又222432aaaxd，而cos2cos22cosaardrrdxddrac o s2c o s22331c o s20432243c o s314cos37dada872214331433aa，所以axdx67，故所求重心坐标为0,67a。32一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面22yxz和平面0z，ax|，ay|所围成的。(1)求其体积；(2)求物体的重心；(3)求物体关于 z 轴的转动质量。(1)由图形的对称性知：aayxaadyyxdxdzdydxV022000044224440323833434aaadxaaxa(2)0yx2200041yxaazdzdydxVzdvMz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 26 页 -22 aadyyyxxdxV04224022adxaxaaxV052345322261575192512aaV(3)dvyxIx2222022004yxaadzyxdydx66042240451124528424aadyyyxxdxaa(C)1将下面积分化为重积分，并求I的值。sin0sinsin2222222222abaybycgtyxybyayxdydxedydxeI，其中ba0，20为常数。解：根据积分限画出积分区域，采用极坐标计算。由 两 个 积 分 限2222ybxya，sin0ay及22yaxyctg，sinsinbya，得积分区域D是在第一角限中由半径 a，b的两上同心圆：222byx，222ayx；x轴及直线xtgy所围成，以下利用极坐标计算。DrDyxrdrdedxdyeI22222220babareerdred2设区域D为图中斜线部分，试将二重积分DdxdyyxfI,化为两种次序的二次积分。解：由2222202aaxyyaxx，求得交点坐标aaa332,32，抛物线与 x轴的交点坐标为0,2a，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 26 页 -23 axxaaaxxaxaaaafdydxfdydxI2022222322222222222233223320yaayaaaayaaayaafdxdyfdxdy。3 计算三 重积分dvzx，其 中是 由曲 面22yxz与221yxz所围成的区域。解：由于曲面22yxz是一个圆锥面，曲面221yxz是上半单位球面，因此选用球面坐标计算最方便。作球坐标变换cossinsinsincosrzryrx，则曲面22yxz在,r坐标系中的方程为4，曲面221yxz在,r的坐标系中的方程为1r，2,0，2,0。因此积分区域变成：10r，20，40，1024020sincossincosdrrrrdddvzx注意到200cos d，因此1034020cossindrrdddvzx82s i n2c o ssi n240240d4计算Ddxdyyx|43|，D：122yx。解：本题可利用三角函数的周期性解。作极坐标变换cosrx，sinry，则D：20，10r，于是原式2010|sin4cos3|rdrd20020|s i n|35si n54c o s5335dd其中53sin0，54cos0。由周期函数的积分性质，有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 26 页 -24 原式2002320sin310|sin|35|sin|3500tdtdttdtt5设yxf,连续，且Ddudvvuyfxyxf,，其中D是由xy1，1x，2y所围区域，求yxf,。解：注意到Ddudvvuf,是个数。令DdudvvufA,，则A是常数，此时Ayxyxf,，等式两边同时取二重积分得2111,yDDdxAyxdydxdyAyxdudvvuf21241212121AdyAyAy即4121AA，得21A，故yxyxf21,6(1)计算deyx22，其中222|,Ryxyx；解：积分区域在极坐标系下表示为20,0|,Rrr，则RrDrDyxrdredrdrdede02022222221212002RRrRreedre.(2)试证022dxex。证：考虑正方形区域ayaaxayxD,|,，于是22222222aaxaayaaxaayyaayxdxedyedxedyeedxde作D内 切 圆 域222|,ayxyxDa与 外 接 圆 域ayxyxDa2|,222，于 是aaDDD2，因022yxe，故有aaDDyxyxDyxdedede2222222由(1)的结果，得2222211aaaxaedxee令 a，由夹逼准则，得22dxex即dxex2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 26 页 -25 因此，广义积分收敛，其值为，因2xe为偶函数，故0222dxedxexx，即202dxex7求曲面：122yxz上任一点的切平面与曲面S：22yxz所围立体的体积。解：以下先求切平面方程，然后求切平面与S的交线，它在xoy平面上的投影，最后求体积。(1)先求切平面方程设0000,zyxM是上任意点，则120200yxz，在点0M 的法向量1,2,200yxn，切平面方程是0000022yyyxxxzz，即yyxxyxz002020221(2)求切平面与S的交线及切平面与S所围立体在xoy平面的投影区域。交线yyxxyxzyxz00202022221在xoy平面的投影是yyxxyxyx00202022221，即12020yyxx。它围成的区域记为D，即在xoy平面投影区域。(3)求的体积VDdxdyyxyyxxyxV22002020221Ddxdyyyxx20201令0 xxu，0yyv上式12222vududvvu210220r d rrd8设2222222tzyxdxdy dzzyxftF，其中uf为连续函数，0f存在，且00f，10f，求50limttFt。解：先用球面坐标表示三重积分，再用洛必达法则求出。drrfrddtFt022020sin名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 26 页 -26 tdrrfr0224224tfttF，00F220220422040500lim54lim5454lim5limlimtftfttfttftttFttFttttt540540l i m540fufuft名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 26 页 -