2022年高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质 .pdf

学习好资料欢迎下载专题二利用导数研究函数的性质2009-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。考点展示1.二次函数yfx()的图象过原点且它的导函数yfx()的图象是如图所示的一条直线，则yfx()图象的顶点在第一象限2如图，函数()f x的图象是折线段ABC，其中ABC，的坐标分别为(0 4)(2 0)(6 4)，则(0)ff2；函数()f x在1x处的导数(1)f-2 3.曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为454.设曲线2axy在点（1，a）处的切线与直线062yx平行，则a1 5.设Ra，若函数axeyx，Rx有大于零的极值点，则a 的取值范围1a6.已知二次函数2()f xaxbxc的导数为()fx，(0)0f，对于任意实数x，有()0f x，则(1)(0)ff的最小值为2 7.已知函数3()128f xxx在区间3 3，上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_32_ _ 8.过点 P（2，8）作曲线3xy的切线，则切线方程为_ 12x-y-16=0 或 3x-y+2=0 样题剖析例 1、设函数323()(1)1,32af xxxaxa其中为实数。（）已知函数()fx在1x处取得极值，求a的值；（）已知不等式2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围。解:(1)2()3(1)fxaxxa，由于函数()f x在1x时取得极值，所以(1)0f即310,1aaa(2)方法一：由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立即22(2)20a xxx对任意(0,)a都成立设22()(2)2()g aa xxx aR,则对任意xR，()g a为单调递增函数()aR所以对任意(0,)a，()0g a恒成立的充分必要条件是(0)0g即220 xx，20 x于是x的取值范围是|20 xx方法二：由题设知：223(1)1axxaxxa对任意(0,)a都成立即22(2)20a xxx对任意(0,)a都成立于是2222xxax对任意(0,)a都成立，即22202xxx20 x于是x的取值范围是|20 xx点评：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0，反过来，函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。变式 1.若 f(x)=21ln(2)2xbx在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是1b由题意可知()02bfxxx，在(1,)x上恒成立，即(2)bx x在(1,)x上恒成立，由于1x，所以1b，变式 2.已知函数11()3xpfx，22()2 3xpfx（12,xR pp为常数）则12fxfx对所有实数x成立的充分必要条件（用12,pp表示）为（1）由()fx的定义可知，1()()f xfx（对所有实数x）等价于12fxfx（对所有实数x）这又等价于1232 3xpxp，即123log2332xpxp对所有实数x均成立.（*）由于121212()()()xpxpxpxpppxR的最大值为12pp，故（*）等价于1232pp，即123log 2pp，这就是所求的充分必要条件变式 3.函数3()31f xaxx对于1,1x总有()0f x成立，则a=4 解：若0 x，则不论a取何值，0fx显然成立；2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -学习好资料欢迎下载当0 x即(0,1x时，3()310f xaxx可化为，2331axx设2331g xxx，则43 12xgxx，所以g x在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142g xg，从而4a；当0 x即1,0 x时，3()310f xaxx可化为2331axx，43 12xgxx0g x在区间1,0上单调递增，因此ma14ng xg，从而4a，综上4a例 2、如图，等腰梯形 ABCD 三边 AB，BC，CD 分别与函数2,2,2212xxy的图像切于点P，Q，R，求梯形 ABCD 面积的最小值解：设 P 的坐标)221,(200 xxP，)0,24(020 xxA)2,21(0 xB)2124(20020 xxxS利用基本不等式得，最小值为24变式：设函数()bf xaxx，曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为74120 xy。（1）求()yf x的解析式；（2）证明：曲线()yf x上任一点处的切线与直线0 x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解：（）方程74120 xy可化为734yx，当2x时，12y；又2bfxax，于是1222744baba，解得13ab，故3fxxx（）设00,P xy为曲线上任一点，由231yx知曲线在点00,P xy处的切线方程为002031yyxxx，即00200331yxxxxx令0 x，得06yx，从而得切线与直线0 x的交点坐标为060,x；令yx，得02yxx，从而得切线与直线yx的交点坐标为002,2xx；所以点00,P xy处的切线与直线0,xyx所围成的三角形面积为0016262xx；故曲线yfx上任一点处的切线与直线0,xyx所围成的三角形面积为定值，此定值为；总结提炼1.要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以及和、差、乘积和商的导数公式2.曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的3.切线的几何意义比较明显，解题时，应多结合图形，图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时找出错误。自我测试1.过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为(1,e)2.直线12yxb是曲线ln(0)yx x的一条切线，则实数bl n 213.已知函数()fx,xR 满足(2)3f，且()f x在R 上的导数满足/()10fx，则不等式22()1fxx的解集为 _(,2)(2,)_.（构造函数()()g xf xx）4.一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是5 米/秒5.母线长为 1 的圆锥体积最大时，圆锥的高等于336.半径为 r 的圆的面积S(r)r2,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(0，)上的变量，则(r2)2r 1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看Y X A P B R D O C Q 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -学习好资料欢迎下载作(0，)上的变量，请你写出类似于1的式子：2，2式可以用语言叙述为：解：V球343R，又32443RR（）故2式可填32443RR（），用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”（本题考查类比的思想方法，本题属于中等题）7.已知函数),1,0(),22(log2)(log)(Rtaatxxgxxfaa和的图象在 x=2 处的切线互相平行.（1）求 t 的值.（2）设2)(4,1)()()(xFxxfxgxF时，当恒成立，求a 的取值范围.（1）解：etxxgexxfaalog224)(,log1)(函数)()(xgxf和的图象在x=2 处的切线互相平行，)2()2(gfeteaalog24log21t=6（2）t=6，xxxfxgxFaalog)42(log2)()()(=4,1,)42(log2xxxa令.4,1,16164)42()(2xxxxxxh4,1,)2)(2(4164)(22xxxxxxh当0)(420)(21xhxxhx时，当时，)2,1)(在xh是单调减函数，在4,2(是单调增函数.36)4()1()(,32)2()(maxminhhxhhxh当.32log)(136log)(10minminaaxFaxFa时，有，当时，有当2)(2)(4,1minxFxFx恒成立，时，满足条件的a 的值满足下列不等式组：236log.10aa或232log,1aa不等式组的解集为空集，解不等式组，得241a综上所述，满足条件的a 的取值范围是24,1(8.已知函数()f x的导数2()33,fxxax(0).fb,a b为实数，12a.（）若()f x在区间 1,1上的最小值、最大值分别为2、1，求a、b的值；（）在（）的条件下，求经过点(2,1)P且与曲线()fx相切的直线l的方程；（）设函数2()()61)xF xfxxe，试判断函数()F x的极值点个数解（）由已知得，323()2f xxaxb由()0fx，得10 x，2xa 1,1x，12a，当 1,0)x时，()0fx，()f x递增；当(0,1x时，()0fx，()f x递减()f x在区间 1,1上的最大值为(0)fb，1b又33(1)11222faa，33(1)1122faa，(1)(1)ff由题意得(1)2f，即322a，得43a故43a，1b为所求（）解：由（1）得32()21fxxx，2()34fxxx，点(2,1)P在曲线()f x上名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -学习好资料欢迎下载 当切点为(2,1)P时，切线l的斜率2()|4xkfx，l的方程为14(2)yx，即470 xy当切点P不是切点时，设切点为00(,)Q xy0(2)x，切线l的斜率0200()|34xxkfxxx，l的方程为20000(34)()yyxxxx又点(2,1)P在l上，200001(34)(2)yxxx，322000001(21)(34)(2)xxxxx，2200000(2)(34)(2)xxxxx，2200034xxx，即002(2)0 xx，00 x 切线l的方程为1y 8 分故所求切线l的方程为470 xy或1y9 分（或者：由（1）知点 A（0，1）为极大值点，所以曲线()f x的点 A 处的切线为1y，恰好经过点(2,1)P，符合题意）（）解：2222()(3361)33(2)1xxF xxaxxexaxe222()63(2)2 33(2)1xxFxxaexaxe2266(3)83 xxaxae二次函数266(3)83yxaxa的判别式为22236(3)24(83)12(31211)12 3(2)1aaaaa，令0，得：2133(2),22.333aa令0，得332,2.33aa或20 xe，12a，当3223a时，()0Fx，函数()F x为单调递增，极值点个数为0；当3123a时，此时方程()0Fx有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x有两个极值点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -