2022年圆的一般方程借鉴 .pdf

南江职业中学数学教师何强教研作品-1-4.1.2 圆的一般方程整体设计【教学分析】教材通过将二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+2D)2+(y+2F)2=4422FED后只需讨论D2+E2-4F 0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F 0.与圆的标准方程比较可知D2+E2-4F0 时,表示以(-2D,-2E)为圆心,21FED422为半径的圆；当 D2+E2-4F=0 时,方程只有实数解x=-2D,y=-2E,即只表示一个点(-2D,-2E);当 D2+E2-4F0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.从而得出圆的一般方程的特点：(1)x2和 y2的系数相同,不等于 0；(2)没有 x y 这样的二次项；(3)D2+E2-4F0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2 Bxy Cy2DxEyF=0 表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.同圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2含有三个待定系数a、b、r 一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢？应根据具体问题确定.圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直接关系,通常采用圆的一般方程；有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可避免解三元二次方程组.圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.【教学目标】1、在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程 x2y2DxEyF=0 表示圆的条件,通过对方程x2y2DxEyF=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.2、能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程,同时渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索,培养学生探索发现及分析解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-2-决问题的实际能力.【教学重点】圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和运用.【课时安排】1 课时【教学过程】导入新课思路 1、问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.推进新课、新知探究、提出问题前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x 和 y 的一次项的式子.把式子(xa)2(yb)2=r2与 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方后的式子比较,得出 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?讨论结果：以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、)展开整理而得到的.我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.把式子 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得(x+2D)2+(y+2E)2=4422FED.(xa)2(yb)2=r2中,r0 时表示圆,r=0 时表示点(a,b),r0 时不表示任何图形.因此式子(x+2D)2+(y+2E)2=4422FED.()当 D2+E2-4F0 时,表示以(-2D,-2E)为圆心,21FED422为半径的圆；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-3-()当 D2+E2-4F=0 时,方程只有实数解x=-2D,y=-2E,即只表示一个点(-2D,-2E);()当 D2+E2-4F0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.综上所述,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F0 时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是D2+E2-4F0.我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的方程称为圆的一般方程.圆的一般方程形式上的特点:x2和 y2的系数相同,不等于 0.没有 xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.【举例说明】例 1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由 4x2+4y2-4x+12y+9=0,得 D=-1,E=3,F=49,而 D2+E2-4F=1+9-9=1 0,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0 表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21；(2)由 4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=411,D2+E2-4F=1+9-11=-1 0,所以方程 4x2+4y2-4x+12y+11=0 不表示圆的方程.点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 的方程判断其方程是否表示圆,要化为 x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件 D2+E2-4F 与 0 的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.例 2 判断方程224630 xyxy是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径解 1 将原方程左边配方，有22222242263330 xxyy，即222(2)(3)4xy.所以方程表示圆心为(2 3)，半径为4的一个圆解 2 与圆的一般方程相比较，知4,6,3DEF故名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-4-22416364(3)640DEF，所以方程为圆的一般方程，由2242,3,4222DEDEF知，圆心的坐标为(2,3)，半径为4【变式训练】求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.解:(1)把 x2+y2-8x+6y=0 配方,得(x4)2(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5；(2)x2+y2+2by=0 配方,得 x2(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.例 2 求过三点 O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 O、M1、M2在圆上,则有.02024,02.0FEDFEDF解得 D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x4)2(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5.方法二：先求出OM1的中点 E(21,21),M1M2的中点 F(25,23),再写出 OM1的垂直平分线PE 的直线方程y-21=-(x-21),AB 的垂直平分线PF 的直线方程y-23=-3(x-25),联立 得,93,1yxyx得.3,4yx则点 P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5 为半径.方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,即 x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得 P(4,-3),OP=5 为半径.方法四：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,因为 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r 的方程组,即.)2()4(,)1()1(222222222rbarbarba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -南江职业中学数学教师何强教研作品-5-解此方程组得.5,3,4rba所以所求圆的方程为(x4)2(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为 5.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.【课堂小结】1、任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲线不一定是圆,只有 D2+E2-4F0 时,方程表示圆心为(-2D,-2E),半径为 r=21FED422的圆.2、求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.3、要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.【课后作业】教材练习8.4.2 1、判断方程224210 xyxy是否表示圆如果是，指出圆心和半径2、已知圆的方程为2240 xyx，求圆心的坐标和半径3、已知圆的方程为2260 xyy，求圆心的坐标和半径【课后反思】这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求“D2+E24F”与“”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -