2022年年全国高考新课标卷文科数学试题 .pdf

高考真题高三数学第 1 页 共 10 页2018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标2 卷文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1i(2+3i)=()A3-2i B3+2i C-3-2i D-3+2i 解析：选D 2已知集合A=1,3,5,7，B=2,3,4,5，则 A B=()A3 B5 C3,5 D 1,2,3,4,5,7 解析：选C 3函数 f(x)=ex-e-xx2的图像大致为 ()解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x0,f(x)0,排除 D,取 x=2,f(2)=e2-e-241,故选 B 4已知向量a，b 满足|a|=1，ab=-1，则 a(2a-b)=()A4 B3 C2 D0 解析：选B a(2a-b)=2a2-a b=2+1=3 5从 2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 解析：选D 5 人选 2 人有 10 种选法，3 人选 2 人有 3 中选法。6双曲线x2a2y2b21(a 0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()Ay=2x By=3x Cy=22x Dy=32x 解析：选A e=3 c2=3a2 b=2a 7在 ABC中，cosC2=55，BC=1，AC=5，则 AB=()A42 B30 C 29 D25 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 2 页 共 10 页解析：选A cosC=2cos2C2-1=-35 AB2=AC2+BC2-2ABBC cosC=32 AB=42 8为计算S=1-12+13-14+199-1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否Ai=i+1 Bi=i+2 Ci=i+3 Di=i+4 解析：选B 9在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱 CC1的中点，则异面直线AE与 CD所成角的正切值为()A22B32C 52D72解析：选C 即 AE与 AB所成角，设AB=2,则 BE=5,故选 C 10若 f(x)=cosx-sinx在0,a是减函数，则a 的最大值是()A4B2C 34D解析：选C f(x)=2cos(x+4),依据 f(x)=cosx与 f(x)=2cos(x+4)的图象关系知a 的最大值为34。11已知 F1，F2是椭圆 C的两个焦点，P是 C上的一点，若PF1PF2，且 PF2F1=600，则 C的离心率为()A1-32B2-3 C 3-12 D3-1 解析：选D 依题设|PF1|=c,|PF2|=3c,由|PF1|+|PF2|=2a 可得12已知 f(x)是定义域为(-,+)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)若 f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A-50 B0 C 2 D50 解析：选C 由 f(1-x)=f(1+x)得 f(x+2)=-f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13曲线 y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为_解析：y=2x-214若 x,y 满足约束条件x+2y-5 0 x-2y+3 0 x-5 0,则 z=x+y 的最大值为 _解析：9 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 3 页 共 10 页15已知 tan(-54)=15，则 tan=_解析：由两角差的正切公式展开可得tan=3216已知圆锥的顶点为S，母线 SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为300，若 SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 _解析：设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为3a,依题122a2a=8,a=2 V=13(23)2=8三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，已知a1=-7，S3=-15（1）求 an 的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn的最小值解：（1）设 an的公差为 d，由题意得3 a1+3d=-15,由 a1=-7 得 d=2.所以 an的通项公式为an=2n-9.（2）由（1）得 Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当 n=4 时,Sn取得最小值,最小值为-16.18（12 分）下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型根据2000 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,17）建立模型：y=-30.4+13.5t；根据2010 年至 2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,7）建立模型：y=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解：（1）利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5 9=256.5(亿元).（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 4 页 共 10 页（）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000 年至2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.（）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元,由模型得到的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19（12 分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2 2，PA=PB=PC=AC=4，O为 AC的中点（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M在棱 BC上，且 MC=2MB，求点 C到平面 POM 的距离（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为 AC的中点，所以OP AC，且 OP=2 3.连结 OB.因为 AB=BC=22AC，所以 ABC为等腰直角三角形，且OB AC，OB=12AC=2.由 OP2+OB2=PB2知 OP OB.由 OP OB,OP AC知 OP 平面 ABC.（2）解：作CH OM，垂足为 H又由（1）可得 OP CH，所以 CH 平面 POM 故 CH的长为点 C到平面 POM 的距离由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45 所以 OM=253，CH=OC MC sin ACBOM=455所以点 C到平面 POM 的距离为455也可用等积法求20（12 分）设抛物线C:y2=4x 的焦点为F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C交于 A，B两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点A，B且与 C的准线相切的圆的方程解：（1）由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x-1)(k0).名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 5 页 共 10 页设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=k(x-1)y2=4x得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160，故 x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8 ，解得 k=-1（舍去），k=1.因此 l 的方程为y=x-1.（2）由（1）得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则y0=-x0+5(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16解得x0=3y0=2或x0=11y0=-6因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.21（12 分）已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1)（1）若 a=3，求 f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)只有一个零点解：（1）当 a=3 时，f（x）=13x3-3x2-3x-3)，f（x）=x2-6x-3263xx令 f（x）=0 解得 x=3-23或 x=3+23当 x（，3-23）（3+23，+）时，f（x）0；当 x（3-23，3+23）时，f（x）0，所以 f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0 设 g(x)=x3x2+x+1-3a，则 g（x）=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)20，仅当 x=0 时 g（x）=0，所以 g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又 f（3a1）=-6a+2a-13=-6(a-16)2-160，故 f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线 C的参数方程为x=2cos y=4sin（为参数），直线 l 的参数方程为x=1+tcos y=2+tsin（t 为参数）（1）求 C和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率【解析】（1）曲线 C的直角坐标方程为x24+y216=1当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为y=tan x+2-tan，当 cos=0 时，l 的直角坐标方程为x=1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 6 页 共 10 页（2）将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0 因为曲线C截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C内，所以有两个解，设为t1，t2，则 t1+t2=0又由得2cos+sin=0，于是直线l 的斜率 k=tan=-2 23 选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 f(x)=5-|x-a|-|x-2|（1）当 a=1 时，求不等式f(x)0 的解集；（2）若 f(x)1，求 a 的取值范围【解析】（1）当 a=1 时，2x+4 x-12 -12可得 f(x)0 的解集为 x|-2x3（2）f(x)1 等价于|x+a|+|x-2|4而|x+a|+|x-2|a+2|，且当 x=2 时等号成立故f(x)1 等价于|a+2|4得 a-6 或 a2，所以 a 的取值范围是(-,-62,+)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 7 页 共 10 页绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1D 2C 3B 4B 5D 6A 7A 8B 9C 10C 11D 12C 二、填空题13y=2x2 149 1532168三、解答题17解：（1）设 an 的公差为d，由题意得3a1+3d=15由 a1=7 得 d=2所以 an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y$=30.4+13.5 19=226.1（亿元）利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y$=99+17.5 9=256.5（亿元）（2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y=30.4+13.5t上下，这说明利用2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于2016 年的环境基础设施投资额220 亿元，由模型得到的预测值226.1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 8 页 共 10 页亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分学科 网19解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O为 AC的中点，所以OP AC，且 OP=2 3连结 OB 因为 AB=BC=22AC，所以 ABC为等腰直角三角形，且OB AC，OB=12AC=2由222OPOBPB 知，OP OB 由 OP OB，OP AC知 PO 平面 ABC（2）作 CH OM，垂足为 H又由（1）可得 OP CH，所以 CH 平面 POM 故 CH的长为点C到平面 POM 的距离由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45 所以 OM=2 53，CH=sinOC MCACBOM=4 55所以点 C到平面 POM 的距离为4 5520解：（1）由题意得F（1，0），l 的方程为 y=k（x1）（k0）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由2(1)4yk xyx得2222(24)0k xkxk216160k，故212224kxxk所以212244(1)(1)kABAFBFxxk由题设知22448kk，解得 k=1（舍去），k=1名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 9 页 共 10 页因此 l 的方程为y=x1（2）由（1）得 AB的中点坐标为（3，2），所以 AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则00220005(1)(1)16.2yxyxx，解得0032xy，或00116.xy，因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy21解：（1）当 a=3 时，f（x）=3213333xxx，f（x）=263xx令 f（x）=0 解得 x=32 3或 x=32 3当 x（，323）（32 3，+）时，f（x）0；当 x（32 3，32 3）时，f（x）0故 f（x）在（，32 3），（32 3，+）单调递增，在（32 3，32 3）单调递减（2）由于210 xx，所以()0f x等价于32301xaxx设()g x=3231xaxx，则 g（x）=2222(23)(1)xxxxx0，仅当 x=0 时 g（x）=0，所以 g（x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点学科网又 f（3a1）=22111626()0366aaa，f（3a+1）=103，故 f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点22解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos)4(2cossin)80tt因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为1t，2t，则120tt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -高考真题高三数学第 10 页 共 10 页又由得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k23解：（1）当1a时，24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx可得()0f x的解集为|23xx（2）()1f x等价于|2|4xax而|2|2|xaxa，且当2x时等号成立故()1f x等价于|2|4a由|2|4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(,62,)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -