2022年高一数学求函数的定义域与值域的常用方法 2.pdf

高一数学求函数的解析式、定义域、值域的常用方法一、求函数的解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值（3）换元法：若给出了复合函数fg（x）的表达式，求f（x）的表达式时可以令tg（x），以换元法解之（4）构造方程组法：若给出f（x）和 f（x），或 f（x）和 f（1/x）的一个方程，则可以x 代换 x（或 1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（x）（或 f（1/x）即可求出f（x）的表达式二、求函数定义域的方法1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等4、对复合函数yf g（x）的定义域的求解，应先由yf（u）求出 u 的范围，即g（x）的范围，再从中解出x 的范围 I1；再由 g（x）求出 yg（x）的定义域I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域5、分段函数的定义域是各个区间的并集6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域三、求函数值域的方法1、分离变量法2、配方法3、判别式法4、单调性法5、换元法一、求函数解析式1、换元法例 1 已知22+1+1=xxxfxx，试求()f x2、构造方程组法例 2（1）已知21()+2()=3+4+5f xfxxx，试求()f x（2）已知2()+2(-)=3+4+5f xfxxx，试求()f x例 3 求下列函数的解析式：（1）已知)(xf是二次函数，且1)()1(,2)0(xxfxff，求)(xf（2）已知xxxf2)1(，求)(xf，)1(xf，)(2xf（3）已知xxxxxf11)1(22，求)(xf（4）已知3)(2)(3xxfxf，求)(xf二、求函数定义域例 1 求+3=+2+-4xyxx的定义域名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -例 2 求下列函数的定义域（1）35)(xxxf；（2）xxxf11)(例 3 已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6 Y 22 3 14 35 6 17 例 4 已知()=-3f xx，2()=-4+3xg xxx，求=(g()y fx值域三、求函数的值域与最值1、分离变量法例 1 求函数2+3=+1xyx的值域2、配方法例 2 求函数 y 2x24x 的值域说明：对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如yaf2（x）bf（x）c 3、判别式法例 3 求函数2223456xxyxx的值域4、单调性法例 4 求函数23yx，x4，5的值域5、换元法例 5 求函数=2+4 1-yxx的值域例 6 求下列函数的值域：（1）5,4,3,2,1,12xxy（2）1xy（3）2211xxy（4）)25(,322xxxy练习1、函数 yf（x）的值域是2，2，则函数yf（x1）的值域是2、已知函数f（x）x22x，则函数f（x）在区间2，2上的最大值为3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是4、二次函数yx24x4 的定义域为a，b（a2xxxf xx x，若 f（a）3，求 a 的值12、已知函数f（x）满足 2f（x）f（x）x24x，试求 f（x）的表达式13、设函数0,60,64)(2xxxxxxf求不等式)1()(fxf的解集14、函数xaxy213的值域为(,1)(1,)U，求实数a的值为15、已知函数()yf x的定义域为(0,1)，则2()f x的定义域是16、已知函数221()1xfxx，则在()()fxf x，1()()ff xx，()()fxf x，1()()fxfx中成立的个数是17、如果一元二次函数23yxmxm有两个不同的零点，则m的取值范围是18、已知函数(),f xxxxR，其中x表示不超过x的最大整数，如352,33,222，则()f x的值域是19、已知函数31(3)()3(3)xxf xxax的定义域与值域相同，则常数a20、若函数(21)fx的定义域是0,1),则函数(13)fx的定义域是21、已知二次函数2()f xaxbx,若12(1)(1)f xf x其中122xx,则12()f xx的值为22、已知函数2()(1)f xxaxa，在区间 1,)上是增函数，则a 的取值范围是23、已知全集UR，集合312Axmxm，13Bxx，若AUC B,求实数m的取值范围24、已知一元二次函数()f x满足(2)(2)()fkfkkR，且该函数的图象与y 轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2 2，求该一元二次函数的解析式25、已知集合2|1,Ax yxxZ,1|2AxxyyB,则BA_ 26、若方程24330,0,1xxkx没有实数根，求k的取值范围27、已知集合2222 1,350AxxxxBx xaxa,若ABBI,求实数a的取值范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -28、函数2()f xxbxc()xR满足(1)(3)f xfx,且方程()0f x的两个根12,x x满足122 2xx，求()f x解析式29、已知二次函数)(xfy的图象过点(0,3)，且方程0)(xf的两个根的平方和为10，又对任意的x都有)1()1(xfxf（1）求二次函数)(xfy的表达式；（2）求该二次函数在0,3上的最大最小值30、求函数212yxx的值域31、已知二次函数)(xf的二次 项系数为 a，且不等式xxf2)(的解集为（1，3）（1）若方程0)(xf的两根一个大于-3，另一个小于-3，求 a 的取值范围（2）若方程06)(axf有两个相等的实根，求)(xf的解析式31、已知集合03)3(|,03)32(|222mmxmxxBmxmxxA，且满足条件：（1）BA；（2）.),0(BAmaBAa及求32、已知集合2|0,|1|1,2xAxBxxxI则AB等于33、若函数2143mxymxmx的定义域为R，则实数m 的取值范围是34、已知函数4()42xxf x，（1）若01a，求()(1)f afa的值（2）求122008()()()200920092009fffL的值35、已知函数()f x定义域为区间A，若其值域也为区间A，则称区间A 为()f x的保值区间一般来说，函数的保值区间有(,)mm nn三种形式（1）求函数2()1f xxx的保值区间（2）函数1()1(0)g xxx是否存在形如,()a bab的保值区间，若存在，求出实数,a b的值；若不存在，请说明理由名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -