2022年高考湖北理科数学试题及答案 .pdf

12014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2014 年湖北，理1，5 分】i为虚数单位，则21i1i（）（A）1（B）1（C）i（D）i【答案】A【解析】因为21i2i11i2i，故选 A【点评】本题考查复数的运算，容易题（2）【2014 年湖北，理2，5 分】若二项式72axx的展开式中31x的系数是84，则实数 a（）（A）2（B）54（C）1（D）24【答案】D【解析】因为77727722xrrrrrraCxCaxx，令723r，得2r，22727284Ca，解得24a，故选 D【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题（3）【2014 年湖北，理 3，5 分】设 U 为全集，A，B是集合，则“存在集合 C 使得AC，UBC C是“ABI”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，若AC，则UUC CC A，UBC C，可得ABI；若ABI，不能推出UBC C，故选 A【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题（4）【2014 年湖北，理4，5 分】根据如下样本数据x3 4 5 6 7 8 y4.0 2.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为?ybxa，则（）（A）0a，0b（B）0a，0b（C）0a，0b（D）0a，0b【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b，0a，故选 B【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与 a 的符号，容易题（5）【2014 年湖北，理5，5 分】在如图所示的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是0,0,2，2,2,0，1,2,1，2,2,2，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）（A）和（B）和（C）和（D）和【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯视图为，故选D【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题（6）【2014 年湖北，理6，5 分】若函数fx，g x 满足110fx g x dx，则称 fx，g x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2为区间1,1上的一组正交函数，给出三组函数：1sin2fxx，1cos2g xx；1fxx，1g xx；fxx,2g xx，其中为区间1,1 的正交函数的组数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】对1111111111sincossincos02222xx dxx dxx，则 fx，g x 为区间1,1 上的正交函数；对11231111111103xxdxxdxxx，则 fx，g x 不为区间1,1 上的正交函数；对134111104x dxx，则 fx，g x 为区间1,1 上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题（7）【2014 年湖北，理7，5 分】由不等式0020 xyyx确定的平面区域记为1，不等式12xyxy，确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）（A）18（B）14（C）34（D）78【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2内的概率为：11221 172218222P，故选 D【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题（8）【2014 年湖北，理8，5 分】算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高 h，计算其体积 V 的近似公式21.36vL h它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3那么近似公式2275vL h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）（A）227（B）258（C）15750（D）355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r，高为 h，依题意，22Lr，22122375r hrh，所以218375，即的近似值为258，故选 B【点评】本题考查算数书中的近似计算，容易题（9）【2014 年湖北，理 9，5 分】已知12,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123F PF，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）（A）4 33（B）2 33（C）3（D）2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为a，双曲线的实半轴为1a1aa，半焦距为 c，由椭圆、双曲线的定义得122PFPFa，1212PFPFa，所以11PFaa，21PFaa，因为1260F PF，由余弦定理名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -3得：22211114caaaaaaaa，所以222143caa，即22221112222142aaaaaccccc，22111148eee，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选 B【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等（10）【2014年 湖 北，理10，5分】已 知 函 数()f x是 定 义 在R上 的 奇 函 数，当0 x时，2221()(|2|3)2f xxaxaa，若Rx，(1)()f xf x，则实数 a 的取值范围为（）（A）1 1,6 6（B）66,66（C）1 1,3 3（D）33,33【答案】B【解析】依题意，当0 x时，2222223220 xaxafxaaxaxxa，作图可知，fx 的最小值为2a，因为函数fx 为奇函数，所以当0 x时，fx 的最大值为2a，因为对任意实数x 都有，1fxfx，所以，22421aa，解得6666a，故实数 a的取值范围是66,66，故选 B【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等二、填空题：共6 小题，考生需作答5 小题，每小题5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14 题）（11）【2014 年湖北，理11，5 分】设向量3,3ar，1,1br，若ababrrrr，则实数【答案】3【解析】因为3,3abrr，3,3abrr，因为ababrrrr，所以33330，解得3【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题（12）【2014 年湖北，理 12，5 分】直线1:lyxa和2:lyxb将单位圆22:1Cxy分成长度相等的四段弧，则22ab【答案】2【解析】依题意，圆心0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22ab，2cos4522a，所以221ab，故222ab【点评】本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题（13）【2014 年湖北，理13，5 分】设 a是一个各位数字都不是0 且没有重复数字的三位数将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为I a，按从大到小排成的三位数记为D a（例如815a，则158I a，851D a）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b【答案】495【解析】当123a，则321 123198123b，当198a，则981198783198b；当783a，则954459ba，终止循环，故输出495b【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题（14）【2014 年湖北，理 14，5 分】设 fx 是定义在0,上的函数，且0fx，对任意0a,0b,0a,0b，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4若经过点afa,b fxbfbafa,的直线与x轴的交点为0,c，则称 c 为 a,b 关于函数fx的平均数，记为,fMa b，例如，当1fx)0(1 xxf时，可得2fabMc，即,fMa b 为,a b的算术平均数（1）当 fx=_（0 x）时，,fMa b为,a b的几何平均数；（2）当 fx=_（0 x）时，,fMa b 为,a b的调和平均数2abab；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x（2）x（或填（1）1kx（2）2k x，其中12,k k为正常数均可）【解析】设0fxx x，则经过点,a a，,bb 的直线方程为yabaxaba，令0y，所以2abcxab，所以当0fxx x，,fMa b 为,a b的调和平均数2abab【点评】本题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等（一）选考题（请考生在第15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15 题作答结果计分）（15）【2014 年湖北，理15，5 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，P为Oe的两条切线，切点分别为,A B，过PA的中点 Q 作割线交Oe于,C D两点，若1QC，3CD，则PB_【答案】4【解析】由切割线定理得21134QAQC QD，所以2QA，4PBPA【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题（16）【2014 年湖北，理16，5 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是33xtty（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2，则1C 与2C交点的直角坐标为【答案】3,1【解析】由33xtty，消去t得2230,0 xyxy，由2 得224xy，解方程组222243xyxy，得1C 与2C的交点坐标为3,1【点评】本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题三、解答题：共6 题，共 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（17）【2014 年湖北，理17，11 分】某实验室一天的温度（单位：C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系；()103cossin,0,24)1212f ttt t（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11 C，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cossin)102sin()212212123f tttt，又 024t，所以7,1sin()131233123tt，当2t时，sin()1123t；当14t时，sin()1123t，于是()f t 在 0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -5（2）依题意，当()11f t时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f tt，故有 102sin()11123t，即1sin()1232t，又 024t，因此71161236t，即 1018t，在 10 时至 18 时实验室需要降温（18）【2014 年湖北，理18，12 分】已知等差数列na满足：12a，且123,a aa成等比数列（1）求数列na的通项公式；（2）记nS为数列na的前 n 项和，是否存在正整数n，使得60800nSn?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由解：（1）设数列na的公差为 d，依题意，2,2,24dd成等比数列，故有2(2)2(24)dd，化简得240dd，解得0d或4d，当0d时，2na；当4d时，2(1)442nann，从而得数列na的通项公式为2na或42nan（2）当2na时，2nSn，显然 260800nn，此时不存在正整数n，使得60800Sn成立，当42nan时，22(42)22nnnSn，令2260800nn，即2304000nn，解得40n或10n（舍去），此时存在正整数n，使得60800nSn成立，n的最小值为41 综上，当2na时，不存在满足题意的n；当42nan时，存在满足题意的n，其最小值为41（19）【2014 年湖北，理 19，12 分】如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDAB C D中，,E F M N分别是棱1111,AB AD A B A D的中点，点,P Q 分别在棱1DD，1BB上移动，且02DPBQ（1）当1时，证明：直线1BC平面 EFPQ；（2）是否存在，使平面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：解法一：（1）如图 1，连接1AD，由1111ABCDAB C D是正方体，知11/BCAD，当1时，P是1DD的中点，又F是AD的中点，所以1/FPAD，所以1/BCFP，而FP平面EFPQ，且1BC平面 EFPQ，故直线1/BC平面 EFPQ（2）如图 2，连接BD，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以/EFBD，且12EFBD，又,/DPBQ DPBQ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故/PQBD，且 PQBD，从而/EFPQ，且12EFPQ，在 Rt EBQ 和 Rt FDP 中，因为 BQDP，1BEDF，于是21DQFP，所以四边形EFPQ 是等腰梯形同理可证四边形PQMN 是等腰梯形分别取,EF PQ MN 的中点为,H O G，连接,OH OG，则,GOPQ HOPQ，而GOHOOI，故GOH 是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角若存在，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOHo，连接EM，FN，则由/EFMN，且 EFMN，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH，因为H，G 是EF，MN 的中点，所以2GHME，在GOH 中，22222214,1()22GHOH，2222211(2)()(2)22OG，由222OGOHGH，得2211(2)422，解得212，故存在212，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角解法二：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -6以D为原点，射线1,DA DC DD分别为,x y z轴的正半轴建立如图3 所示的空间直角坐标系Dxyz，由已知得(2,2,0)B，1(0,2,2)C，(2,1,0)E，(1,0,0)F，(0,0,)P，(2,0,2)BCuuu r，(1,0,)FPuuu r，(1,1,0)FEuu u r（1）当1时，(1,0,1)FPu uu r，因为1(2,0,2)BCuuu u r，所以12BCFPuu uu ruuu r，即1/BCFP，而FP平面 EFPQ，且1BC平面 EFPQ，故直线1/BC平面 EFPQ（2）设平面 EFPQ 的一个法向量为(,)nx y z，则由00FE nFP nuuu ruuu r，可得00 xyxz，于是可取(,1)n，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m，若存在，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,1)0m n，即(2)(2)10，解得212故存在212，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角（20）【2014 年湖北，理20，12 分】计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站，过去50 年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米）都在40 以上其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于80 且不超过120 的年份有35 年，超过 120 的年份有5 年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立（1）求未来4年中，至多1 年的年入流量超过120 的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250pPX，235(80120)0.750pPX，35(120)0.150pP X由二项分布，在未来4 年中至多有1 年的年入流量超过120 的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010pCpCpp（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）（1）安装 1 台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000YE Y（2）安装 2 台发电机的情形：依题意，当 4080X时，一台发电机运行，此时50008004200Y，因此1(4200)(4080)0.2P YPXp；当80X时，两台发电机运行，此时5000210000Y，因此23(10000)(80)0.8P YP Xpp；由此得Y的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()42000.2100000.88840E Y（3）安装 3 台发电机的情形：当4080X时，一台发电机运行，此时500016003400Y，因此1(3400)(4080)0.2P YPXp；当 80120X时，两台发电机运行，此时500028009200Y，因此2(9200)(80120)0.7P YPXp；当120X时，三台发电机运行，5000315000Y，因此3(15000)(120)0.1P YP Xp，由此得Y的分布列如下：Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，()34000.292000.7150000.18620E Y综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2 台（21）【2014 年湖北，理 21，14 分】在平面直角坐标系xOy 中，点M到点1,0F的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为 C（1）求轨迹为C 的方程；年入流量 X 40X120 发电机最多可运行台数1 2 3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -7（2）设斜率为 k 的直线 l 过定点2,1p，求直线 l 与轨迹 C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围解：（1）设点(,)M x y，依题意得|1MFx，即22(1)|1xyx，化简整理得22(|)yxx，故点M的轨迹 C 的方程为24,00,0 x xyx（2）在点M的轨迹 C 中，记212:4,:0(0)Cyx Cyx，依题意，可设直线l 的方程为1(2)yk x，由方程组21(2)4yk xyx，可得244(21)0kyyk（1）当0k时，此时1y，把1y代入轨迹 C 的方程，得14x，故此时直线:1ly与轨迹 C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k时，方程的判别式为216(21)kk设直线l与x轴的交点为0(,0)x，则由1(2)yk x，令0y，得021kxk（）若000 x由解得1k，或12k，即当1(,1)(,)2k时，直线 l 与1C没有公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l 与轨迹 C 恰好有一个公共点（）若000 x或000 x，由解得1 1,2k，或102k，即当1 1,2k时，直线 l 与1C只有一个公共点，与2C有一个公共点，当1,0)2k时，直线 l 与1C有两个公共点，与2C没有公共点，故当11,0)1,22kU时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点（）若000 x由解得112k，或102k，即当11(1,)(0,)22k时，直线 l 与1C有两个公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l 与轨迹 C 恰好有三个公共点综合（1）（2）可知，当1(,1)(,)02k时，直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点；当11,0)1,22kU时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22kU时，直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点（22）【2014 年湖北，理22，14 分】为圆周率，e=2.71828 为自然对数的底数（1）求函数xxxfln)(的单调区间；（2）求33,3,3,eeee这 6 个数中的最大数与最小数；（3）将33,3,3,eeee这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)，因为ln()xf xx，所以21ln()xfxx，当()0fx，即 0 xe时，函数()f x 单调递增；当()0fx，即xe时，函数()f x 单调递减 故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e，单调递减区间为(,)e（2）因为3e，所以ln33ln,lnln3ee，即ln3ln,lnln3eee，于是根据函数ln,xyx ye，xy在定义域上单调递增，可得333,3eeee，故这 6 个数的最大数在3与 3之中，最小数在 3e与3e 之中由3e及（1）的结论，得()(3)()fff e，即lnln3ln3ee名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8由lnln33，得3lnln3，所以33；由ln3ln3ee，得3ln3lnee，所以33ee 综上，6 个数中最大数是3，最小数是3e（3）由（2）知，3333,3eeee，又由（2）知，lnln ee，得ee 故只需比较3e 与e和 e与3的大小，由（1）知，当 0 xe时，1()()f xf ee，即ln1xxe，在上式中，令2ex，又2ee，则2lnee，从而 2lne，即得 ln2e由得，2.72ln(2)2.7(2)2.7(20.88)3.02433.1eee，即ln3e，亦即3lnlnee，所以3ee，又由得，33ln66ee，即 3ln，所以3e综上可得，3333eeee，即 6 个数从小到大的顺序为333,3eeee名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -