2022年高考数学一轮复习教案：第六篇数列第讲等比数列及其前n项和 .pdf

第 3 讲 等比数列及其前n 项和【20XX 年高考会这样考】1以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定2考查通项公式、前n 项和公式以及性质的应用【复习指导】本讲复习时，紧扣等比数列的定义，掌握其通项公式和前n 项和公式，求和时要注意验证公比 q 是否为 1；对等比数列的性质应用要灵活，运算中要注意方程思想的应用基础梳理1等比数列的定义如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示2等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 ana1 qn1.3等比中项若 G2a b(ab0)，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam qnm，(n，mN)(2)若 an 为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN)，则 ak alam an.(3)若 an，bn(项数相同)是等比数列，则 an(0)，1an，a2n，an bn，anbn仍是等比数列(4)公比不为 1 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn.5等比数列的前 n 项和公式等比数列 an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna11qn1qa1anq1q.一个推导名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘 q 得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qn，Sna11qn1q(q1)两个防范(1)由 an1qan，q0 并不能立即断言 an 为等比数列，还要验证a10.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1这一特殊情形导致解题失误三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an1anq(q 为非零常数)或anan1q(q 为非零常数且 n2 且 n N*)，则 an是等比数列(2)中项公式法：在数列 an中，an0 且 a2n1an an2(n N*)，则数列 an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc qn(c，q 均是不为 0 的常数，n N*)，则 an 是等比数列注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列双基自测1(人教 A 版教材习题改编)在等比数列 an 中，如果公比 q1，那么等比数列 an 是()A递增数列B递减数列C常数列D无法确定数列的增减性解析 当 a10,0q1，数列 an 为递减数列，当 q0，数列 an为摆动数列答案 D 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -2已知 an 是等比数列，a22，a514，则公比 q 等于()A12B2 C2 D.12解析 由题意知：q3a5a218，q12.答案 D 3在等比数列 an 中，a44，则 a2 a6等于()A4 B8 C16 D32 解析 由等比数列的性质得：a2a6a2416.答案 C 4设 Sn为等比数列 an的前 n 项和，8a2a50，则S5S2()A11 B8 C5 D11 解析 设等比数列的首项为a1，公比为 q.因为 8a2a50，所以 8a1qa1q40.q380，q2，S5S2a11q51q1qa11q21q51q21 251411.答案 A 5(2011 广东)等差数列 an前 9 项的和等于前 4 项的和若 a11，aka40，则 k_.解析 设 an 的公差为 d，由 S9S4及 a11，得 91982d41432d，所以 d16.又 aka40，所以 1 k1 16 1 41 160，即 k10.答案 10 考向一 等比数列基本量的计算【例 1】?(2011全国)设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a26,6a1a330.求 an和 Sn.审题视点 列方程组求首项 a1和公差 d.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -解 设 an的公比为 q，由题设得a1q6，6a1a1q230，解得a13，q2或a12，q3.当 a13，q2 时，an3 2n1，Sn3(2n1)；当 a12，q3 时，an2 3n1，Sn3n1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解【训练 1】等比数列 an满足：a1a611，a3 a4329，且公比 q(0,1)(1)求数列 an的通项公式；(2)若该数列前 n 项和 Sn21，求 n 的值解(1)a3 a4a1 a6329，又 a1a611，故 a1，a6看作方程 x211x3290 的两根，又 q(0,1)a1323，a613，q5a6a1132，q12，an32312n11312n6.(2)由(1)知 Sn643112n21，解得 n6.考向二 等比数列的判定或证明【例 2】?(2012 长沙模拟)已知数列 an满足 a11，a22，an2anan12，nN*.(1)令 bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求 an 的通项公式审题视点 第(1)问把 bnan1an中 an1换为an1an2整理可证；第(2)问可用叠加法求 an.(1)证明 b1a2a11.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -当 n2 时，bnan1anan1an2an12(anan1)12bn1，bn是以 1 为首项，12为公比的等比数列(2)解 由(1)知 bnan1an 12n1，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1112 12n21112n1112123112n1532312n1.当 n1 时，532312111a1，an532312n1(nN*)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可【训练 2】(2011四川)设 d为非零实数，an1nC1nd2C2nd2(n1)Cn1ndn1nCnndn(nN*)(1)写出 a1，a2，a3并判断 an是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由；(2)设 bnndan(nN*)，求数列 bn的前 n 项和 Sn.解(1)由已知可得 a1d，a2d(1d)，a3d(1d)2.当 n2，k1 时，knCknCk1n1，因此annk1knCkndknk1Ck1n1dkdn1k0Ckn1dkd(d1)n1.由此可见，当 d1 时，an 是以 d 为首项，d1 为公比的等比数列；当 d1 时，a11，an0(n2)，此时 an 不是等比数列(2)由(1)可知，and(d1)n1，从而 bnnd2(d1)n1Snd212(d1)3(d1)2(n1)(d1)n2n(d1)n1当 d1 时，Snd21.当 d1 时，式两边同乘d1 得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -(d1)Snd2(d1)2(d1)2(n1)(d1)n1n(d1)n，式相减可得dSnd21(d1)(d1)2(d1)n1n(d1)n d2d1n1dn d1n.化简即得 Sn(d1)n(nd1)1.综上，Sn(d1)n(nd1)1.考向三 等比数列的性质及应用【例 3】?已知等比数列前n 项的和为 2，其后 2n 项的和为 12，求再后面 3n 项的和审题视点 利用等比数列的性质：依次n 项的和成等比数列解 Sn2，其后 2n 项为 S3nSnS3n212，S3n14.由等比数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，即(S2n2)22(14S2n)解得 S2n4，或 S2n6.当 S2n4 时，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首项为 2，公比为 3 的等比数列，则 S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后 3n 项的和为 S6nS3n36414378.当 S2n6 时，同理可得再后3n 项的和为 S6nS3n12614112.故所求的和为 378 或 112.本题利用了等比数列的性质中的第4 条，其和 Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，若把数列 an平均分成若干组，其积也为等比数列【训练 3】(2011 北京)在等比数列 an中，若 a112，a44，则公比 q_；|a1|a2|an|_.解析 设等比数列 an 的公比为 q，则 a4a1q3，代入数据解得 q38，所以 q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|122n1，所以|a1|a2|a3|an|12(12222n1)12(2n1)2n112.答案 2 2n112名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -规范解答 11怎样求解等差与等比数列的综合性问题【问题研究】等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化.【解决方案】首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相关知识解决.【示例】?(本题满分 12 分)(2011 湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上 2、5、13后成为等比数列 bn 中的 b3、b4、b5.(1)求数列 bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn54是等比数列正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列 bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问解答示范 (1)解 设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得 adaad15，解得 a5.(2 分)所以 bn 中的 b3，b4，b5依次为 7d,10,18d.依题意，由(7d)(18d)100，解得d2 或 d13(舍去)(4 分)故 bn的第 3 项为 5，公比为 2，由 b3b1 22，即 5b1 22，解得 b154.所以 bn 是以54为首项，2 为公比的等比数列，其通项公式为bn54 2n15 2n3.(6 分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -(2)证明 数列 bn的前 n 项和 Sn5412n125 2n254，即 Sn545 2n2.(8 分)所以 S15452，Sn154Sn545 2n15 2n22.(10 分)因此 Sn54是以52为首项，公比为 2 的等比数列(12 分)关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量【试一试】(1)已知两个等比数列 an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若数列 an 唯一，求 a 的值；(2)是否存在两个等比数列 an，bn，使得 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为 0 的等差数列？若存在，求 an，bn的通项公式；若不存在，说明理由尝试解答 (1)设 an的公比为 q，则 b11a，b22aq，b33aq2，由 b1，b2，b3成等比数列得(2aq)2(1a)(3aq2)，即 aq24aq3a10.由 a0 得，4a24a0，故方程有两个不同的实根再由 an 唯一，知方程必有一根为0，将 q0 代入方程得 a13.(2)假设存在两个等比数列 an，bn使 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为 0 的等差数列设 an的公比为 q1，bn 的公比为 q2，则 b2a2b1q2a1q1，b3a3b1q22a1q21，b4a4b1q32a1q31.由 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成等差数列得2 b1q2a1q1b1a1 b1q22a1q21，2 b1q22a1q21b1q2a1q1 b1q32a1q31，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -即b1q212a1q1120，b1q2q212a1q1q1120.q2得 a1(q1q2)(q11)20，由 a10 得 q1q2或 q11.)当 q1q2时，由得 b1a1或 q1q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为 0 矛盾)当 q11 时，由得 b10 或 q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为 0 矛盾综上所述，不存在两个等比数列 an，bn 使 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -