2022年高中数学三角函数综合复习讲义 .pdf

1 高中数学三角函数综合复习讲义1：产生背景：初中锐角三角函数定义：设 a 是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是 r（r0），那么正弦:sin=y/r 余弦:cos=x/r 正切:tan=y/x 余切:cot=x/y 正割:sec=r/x 余割:csc=r/y 都是 a 的函数，这六个函数统称为角a 的三角函数。2：找出结构：函数 包括定义域，值域，对应法则。本质:对于定义域内地任一x 值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y 和 x 对应，即y=f(x)3：分类：角的大小 包括：正角三角函数，负角三角函数；定义域 包括：【0，2】，【0，2】之外的 对应法则 包括：正弦:y=sinx 余弦:y=cosx 正切:y=tanx 余切:y=cotx 正割:y=secx 余割:y=cscx 角的位置 包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。5：研究概念的性质 特征、用途、作用、功能【角所在象限】函数第一象限第二象限第三象限第四象限y=sinx+-y=cosx+-+y=tanx+-+-y=cotx+-+-y=secx+-+y=cscx+-名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2 基本三角函数的性质：函数定义域值域周期sinyxR 1,12cosyxR 1,12tanyx|,2x xkkZR函数奇偶性单调区间sinyx奇在2,222kk上增在32,222kk减()kZcosyx偶在2,2kk上增在2,2kk减()kZtanyx奇在(,)22kk上增()kZ同角的三角函数：倒数关系:商的关系：平方关系：tan cot 1 sin csc1 cos sec1sin/cos tan sec/csc cos/sin cot csc/sec sin2 cos2 1 1tan2 sec21cot2 csc2诱导公式sin（）sin cos（）costan（）tan cot（）cot sin（/2）coscos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）coscos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sin（3/2）coscos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）coscos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（2）sin cos（2）costan（2）tan cot（2）cot sin（2k）sin cos（2k）costan（2k）tan cot（2k）cot(其中 kZ)两角和与差的三角函数公式sinsin coscos sinsinsin coscos sincoscos cossin sincoscos cossin sin（）（）（）（）=1?tantantantantan（）1?tantantantantan（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -3 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 2sin coscos2cos2sin22cos2112sin2 2tantan2 1tan2sin3 3sin 4sin3cos34cos33cos3tan tan3tan3 13tan2万能公式2tan(/2)1tan2(/2)2tan(/2)cos sin tan 1tan2(/2)1tan2(/2)1tan2(/2)三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sin sin 2sin2cos2sin sin 2cos2sin2cos cos 2cos2 cos2coscos2sin2 sin2sin cos21sin（）sin（）cos sin-21sin（）sin（）cos cos21cos（）cos（）sin sin 21cos（）cos（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4【三角形边角关系】1.正弦定理：在 ABC 中，A,B,C 的对边分別为a,b,c，则其中R为外接 圆半径。2.余弦定理：在 ABC 中，A,B,C 的对边分別为a,b,c同理，也可以将其改为：其中c是角的对边，而a和b是 角的邻边。Y6：研究重要下位：(1)BxAy)sin(232222222)00(,k，kxk，kx，ABABAyRx单调性值域定义域名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -5；zkkxxx，AbxAybxAy，x。A，xyybyy，bxAybbbxAy，xAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxyA，xyxAyx：y。，yxwxx：、xTfx，fxAyxAybxAybxAyTBkk轴对称成的图像关于直线对称性从而求得得再由易求位置准确判断第一个零点的需根据图像的升降情况点确定五点法中第一个零则和最低点的值值根据图像找出最高点的首先由图像求解析式个单位平移或向下向上的图像上的所有点将倍坐标变为原来的的图像上的所有点的横将个单位平移或向右的图像上的所有点向左将倍变为原来的的图像上各点的纵坐标将变换作图描点作图值值及对应的求相应的设作图五点法作图图像定义法周期性非奇非偶函数奇函数奇偶性),2()00()sin()sin(0),0,(2,;)sin()3()0()0()sin()sin()sin(1)sin(),sin()sin(0)()0(sin),sin(sinsin,sinsin)2(,2,23,2,0”（1）“1)()()cot(),tan(T)cos(,)sin(20B0002121不是中心对称图形时成中心对称时关于点，bZkkxxbbkk0),)(0,(02 解三角形（1）正 弦 定 理：在 一 个 三 角 形 中，各 边 和 它 对 角 的 正 弦 的 比 相 等，即RccBbAa2s i ns i ns i n（R为外接圆半径）解决以下两类有关三角形的问题已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）（2）余弦定理：在ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c,则Cabbaccos222同理：BaccabAbccbacos2cos2222222名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -6 0cos900C，：C则如其中有一角为直角有222bac 变形 bcacbA2cos222acbacB2cos222abcbaC2cos2223 三角函数求值问题首先，熟悉角的拆拼，变换，即角之间的关系如：2=（+）-（-）=（+）-=（-）+2是4的 2 倍角等等（1）正弦，余弦，正切，余切之间的转化例如已知正弦值求正切值方法：利用同角三角函数公式aacossintan1cossin22（2）“1”的转化已知某一三角函数值，求解acaaba22cossincossin方法：将式的分母“1”化为aa22cossin，然后分子分母同时除以a2cos求值（3）升幂降幂角变大降幂，角变小升幂（4）三角形面积设 ABC的三边分别是 a,b,c.对应的三个角为A，B，C。其面积为S)(21为高hahSCabSsin21)(sinsinsin22为外接圆半径RCBARS)(21()()(cbapcpbpappS4 求最值（定义域优先的原则）（1）整理后，形如CaBAycoscos2（正弦，正切同）方法：设tacos1,1t转化为二次函数在指定区间上求最值的问题（2）整理后，形如bxAy)sin(方法：利用图像的性质求解（3）xxbxay22cossinsin可先降次，整理转化为)sin(cossin22axbaxbxay其中22cosbaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -7 22sinbab（4）dxcbxaysinsin（或bxcbxaycoscos）可转化为只有分母含sinx 或 cosx 的函数式或sinx=f(y),cosx=f(y)的形式，由正，余弦函数的有界性求解（5）)0,(sinsincbaxbcxay令 sinx=t,则转化为求)11(tbtcaty的最值，一般用图像（6）dxbcxaycossin，一般应用万能公式转化为关于2tanx的二次方程，由判别式法，求其最值或转化为关于2tanx的函数式后构造应用均值不等式及单调性求最值，也可以转化为)()sin(yfx的形式，由正，余弦函数的有界性求最值。（7）用解析式求三角函数最值dxbcxaydxbcxaysincoscossin或可转化为椭圆上的动点与定点连线斜率的最值问题Y7中高考应用1 已知角 的终边经过点P（3t,4t）(t 0)求角 的六个三角函数值2 已知 是第三象限的角，且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(aaaaaaf（1）化简 f()（2）若51)23cos(a，求 f()的值（3）若01860a，求 f()的值3 若的值求abaaaba2sin2cos,tan4 求000048cos78sin24cos6sin5 等比数列na中，aaaaaa2,2sin1,cossin32其中（1）第几项是数列naaa234cos212sin2（2）若nnSnaa项和的前求数列2,34)tan(6 若2ta，则下列命题中正确的是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8 A xx3sin B xx3sin C 224sinxx D 224sinxx7 已知432,51cossinaaa且，则a2cos的值是？8 求下列函数的值域（1）xxxysin1cossin22（2）)2(cos3sinxxxy（3）)4(sincos2xxxy9 函数xaxy2cos2sin的图像关于直线8x对称，则 的值为？10 已知函数)0,(,2cos2)6sin()6sin()(2kxxxxxf其中（1）求函数 f(x)值域（2）若对任意的的单调增区间并求函数不必证明的值试确定点有且仅有两个不同的交的图像与直线函数kxxfy，y）aaxxfyka),()(1,(),(,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -