2022年高中数学专题之函数的值域与最值 .pdf

学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-1-函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法：1、配方法（二次函数）2、分离常数法（分式函数）3、反函数法（分式函数）4、基本函数性质法5、换元法 换元必换限 （无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值）8、数形结合法【典型例题】例 1：求下列函数的值域。（1）2121xyx；（2）lg 12cosyx；（3）221yxx；（4）2211xxyx；（5）2lg612yxxxx；（6）3sin2cosxyx。解：（1）解一 分离常数法：21212211,11,212121xxyyxxxU 解二 反函数法：21122112122xyyyxyxyxy（2）基本函数性质法：cos1,112cos1,3xx又12cos0 x12cos0,3,lg3xy（3）换元法：令210tx，则221xt2213221101,24yxxtttty又（4）基本不等式法：令10tx，则21211414ttxtyttt当0t时，4240ytt，当且仅当2t即1x时取等号名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-2-当0t时，4248ytt，当且仅当2t即3x时取等号,80,yU（5）单调性法：1lgyx在 1,2 上单调增且226yxx在 1,2 上单调增12yyy 在 1,2 上单调增5,8lg 2y（6）数形结合法：设cos,sinP、2,3Q，则3sin2cosPQxkyx设2322 32 33212,2331kyk xkk即2 32 32,233y例 2：函数21fxaxa在区间1,1 上的值有正有负，求实数a 的取值范围。解：令210fxaxa若01afx显然不符题意若212110111,3aaaxaaa综上所述，11,3a例 3：已知函数10 xfxtxtt，g t 为 fx 在 0,1 上的最小值，求函数g t 的最大值并画出g t 的图象。解：11fxtxtt10tt即1t时，fx 在 0,1 上递增10g tft10tt即1t时，11fxg t10tt即01t时，fx 在 0,1 上递减1g tft综上所述，,011,11,1ttg tttt图象如图 5-1 所示，由图象可知max1g t例 4：根据下列条件，求实数a 的值。（1）函数221yxaxa 在区间0,1 上有最大值2；图 5-1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-3-（2）函数243yaxax在区间4,2 上有最大值7；（3）函数2211yaxax在区间3,22上有最大值3。解：（1）222211yxaxaxaaa若0a则max0121yfaa符合题意若01a则2max15122yfaaaa均不符题意（舍）若1a则max112133yfaaa符合题意综上所述，1a或3a（2）2243234yaxaxa xa若0a则3y不符题意（舍）若0a则max12163473yfaaa符合题意若0a则max23471yfaa符合题意综上所述，1a或13a（3）2222121211124aayaxaxa xaa若max39323132423yfaaa此时对称轴74x符合题意若max12442132yfaaa此时对称轴0 x符合题意若2max2121113242aayfaaa此时对称轴2x不符题意综上所述，23a或12a例 5：已知函数23344fxxx在区间,a b 上的值域为,a b，求实数 a、b 的值。解：2233342144fxxxx区间,a b 在直线2x左侧时，fx 在,a b 上递减则223344433344aababbba（舍）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-4-区间,a b 在直线2x右侧时，fx 在,a b 上递增则22343424334344aaaabbba（舍）直线2x落在区间,a b 内2114413421274afbfbbbabafbfab（舍）或（舍）综上所述，1a、4b例 6：对于函数fxxD若同时满足以下条件：fx 在 D 上单调递增或单调递减；存在区间,a bD，使 fx 在,a b 上的值域是,a b，则称函数fxxD为“闭函数”。（1）求“闭函数”3yx 符合条件的区间,a b；（2）函数2lgyxx是不是“闭函数”？若是，请求出区间,a b；若不是，请说明理由；（3）若函数2ykx是“闭函数”，求实数k 的取值范围。解：（1）3yx 在 D 上单调递减，则3311abababab即区间,a b 为1,1（2）12.02100122lg1019ffyxxf不是单调函数，故不是“闭函数”（3）由题意知方程2xkx有两个不同的实数解22944142049,220422kkkkkxkxkxkx又名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-5-例 7：已知 a 为实数，函数21fxxxaxR。（1）讨论 fx 的奇偶性；（2）求 fx 的最小值。解：（1）当0a时fxfxfx 为偶函数当0a时2faaa，221faaafafx 不具有奇偶性当xa时2213124fxxxaxa若12a，则 fx 在,a 上单调递减2min1fxf aa若12a，则min1324fxfafa当xa时2213124fxxxaxa若12a，则min1324fxfafa若12a，则 fx 在,a上单调递增2min1fxfaa综上所述，2min31,42111,2231,42a afxaaaa【一讲一练】一、填空题（每空格4 分，共 40 分）1、求下列函数的值域：（1）21,12xyxx；（2）2212xxy；（3）2352yxx；（4）2loglog2xyxx；（5）22221xxyx。2、函数221fxxaxa在0,1x时有最大值2，则 a。3、已知函数223yxx在区间0,m 上的最大值为3、最小值为2，则实数m 的取值范围是。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-6-4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数221fxx，且值域为19,3 的“孪生函数”共有个。5、若 函 数22lg111fxaxa x的 定 义 域 为R，则 实 数m 的 取 值 范 围是。6、若 函 数22log11fxaxbxx在,0上 有 最 小值3（a、b 为 非零 常数），则函数fx 在 0,上的最大值为。二、选择题（每小题4 分，共 16 分）7、若函数fx 的值域是1,32，则函数1F xfxfx的值域是（）(A)3 8,2 3(B)102,3(C)82,3(D)102,38、设函数2,1,1xxfxx x，g x 是二次函数，若fg x的值域是0,，则 g x 的值域是（）(A),11,U(B),10,U(C)0,(D)1,9、对,a bR，记,max,a aba bb ab，函数max1,2fxxxxR的最小值是（）(A)0(B)12(C)32(D)3 10、若函数25fxxax对于任意t 都有4ftft，且在区间,0m上有最大值5、最小值1，则实数 m 的取值范围是（）(A),2(B)2,0(C)4,2(D)4,0三、解答题（共44 分）11、（本大题有2 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，共 8 分）已知函数2lg43f xmxxm。（1）若 fx 的定义域为R，求实数 m 的取值范围；（2）若 fx 的值域为 R，求实数 m 的取值范围。12、（本大题有2 小题，第 1 小题 5 分，第 2 小题 5 分，共 10 分）已知函数2212 log2 logfxxabx，且当12x时有最小值8。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-7-（1）求 fx 的解析式；（2）求0fx的解集。13、（本大题有2 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 8 分，共 12 分）已知函数2fxx x。（1）解不等式3fx；（2）求 fx 在区间0,0aa上的最大值。14、（本大题有3 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 4 分，第 3 小题 6 分，共 14 分）对于定义域为D 的函数 fx，如果满足存在区间,a bD 使得 fx 在,a b 的值域为,ka kbk*N，那么函数fx 叫做,a b 上的“k 级矩形”函数。（1）设函数3fxx 是,a b 上的“1 级矩形”函数，求常数a、b 的值；（2）是否存在区间,a b 使函数122g xxx在区间,a b 上是“k 级矩形”函数？若存在，求出常数a、b、k 的值，若不存在，请说明理由；（3）设函数22h xxx 是,a b 上的“3 级矩形”函数，求常数a、b 的值。【参考答案】1、（1）1,33（2）1,2（3）7 20,4（4）,13,U（5）35 35,222、12或3、1,24、9 5、0,26、5 7、A 8、C 9、C 10、B 11、解：（1）定义域为R04,16430mmm m（2）值域为 R243g xmxxm取遍一切正数0m时43g xx的值域为 R 符合题意0m时min000424030mmmg xgmmm0,4m12、解：（1）令2log xtR，则20tx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-8-图 5-2 2222min1022222226181822当即时aaafxtatbtbababxtfx2222 log4log6fxxx（2）202460,31,10,2,82tfxtttxxUU13、解：（1）222232,3,3223,2xxxxxxxxx（2）函数图象如图5-2 所示01a时，fx 在 0,a 上递增2max2fxfaaa112a时，max11fxf12a时，fx 在 12,a上递增2max2fxfaaa综上所述，2max22,011,1122,12aaafxaaa a14、解：（1）3fxx 在,a b 上单调递增,fafb又3fxx 在,a b 上为“1 级矩形”函数faafbba、b 是 fxx 的两个不等实根由3101101010aaaxxxbbb或或或或（2）假设存在a、b、k 使122g xxx在区间,a b 上是“k 级矩形”函数则有2ab g x 在,a b 上单调递减且值域为121112,122212kaka bbbakb akba0或abk又且abk*N不符合题意不存在 a、b、k 使122g xxx在区间,a b 上是“k 级矩形”函数名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -学客教育做您身边最负责的教育专家4008117114-9-（3）22h xxx 是,a b 上的“3 级矩形”函数221122,48h xxxxxa b的值域为3,3ab当14ab时，h x 在,a b 上单调递增，值域为,h ah b33h aah bba、b 是方程3h xx 的两个不等实根2a或0b（不合题意）当14ab 时，h x 在,a b 上单调递减，值域为,h bh a223123h baababh ab无解当14ab 时，max1111348824h xhbb1131332242424hhah aaa综上所述，12,24ab名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -