2022年高中数学全部知识点整理超经典,推荐文档 .pdf

1 高中高一数学必修1 各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性.3、集合的表示：(1)如 我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (2).用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 4集合的表示方法：列举法与描述法。常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 5.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A的元素，就说a 属于集合 A 记作 a A，相反，a 不属于集合A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。6、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=5=二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：BA有两种可能（1）A是 B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。反之:集合 A不包含于集合B,或集合 B不包含集合A,记作 AB或 BA 2“相等”关系:对于两个集合A与 B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合 B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。即A A 如果 A B,且 A B 那就说集合A是集合 B的真子集，记作AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 A B 同时 BA 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于 B的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 A B(读作 A交 B)，即 AB=x|x A，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作：AB(读作 A并 B)，即 AB=x|x A，或 xB3、交集与并集的性质：AA=A,A=,A B=B A，AA=A,A=A,A B=B A.4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是 S的一个子集（即SA），由 S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集 A的补集（或余集）记作：CSA 即 CSA=x xS 且 xA（2）全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（3）性质：CU(C UA)=A (C UA)A=(CUA)A=U 二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集S CsA A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 33 页 -2 合 A中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合 A到集合 B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示4映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB为从集合 A到集合 B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A到 B的映射，如果 aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素a叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.常用的函数表示法:解析法：图象法：列表法：6.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集7函数单调性（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 D上是增函数。区间D称为 y=f(x)的单调增区间如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x10 时，|xaxaxa或，|xaaxa2、配方：2axbxc224()24bacba xaa3、0 时，20axbxc（0a）的两个根为12、xx(12xx)，则1x242bbaca，2x242bbaca，20axbxc12xxxx或，20axbxc12xxx4、=0 时，20axbxc（0a）的两个等根为0 x2ba，则20axbxc0 xx，20axbxc无解20axbxcxR，20axbxc0 xx5、0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f xaf x()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的 周 期T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 33 页 -28 8.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.9.根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.10.有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsrsaaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(2)(3)()(0,0,)rrraba babrQ.注：若a 0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).11.对数的四则运算法则若 a0，a 1，M 0，N 0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.注：设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.(2)(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logm pmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 33 页 -29 高三数学备课组椭圆1.点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P处的外角.2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)Mxy).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 33 页 -30 13.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角.2.PT 平分 PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.8.双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)Fc当00(,)Mxy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa.当00(,)Mxy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共 33 页 -31 12.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.13.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆1.椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3.若 P为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22accoac.4.设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sinsinsincea.5.若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 31 页，共 33 页 -32 6.P 为椭圆22221xyab（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112|2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立.7.椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC.8.已知椭圆22221xyab（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.9.过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN.10.已知椭圆22221xyab（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.11.设 P 点是椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2)122tan2PF FSb.12.设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 32 页，共 33 页 -33 13.已知椭圆22221xyab（ab0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于A、B 两点,点 C在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 33 页，共 33 页 -