2022年微积分知识点总结-- .pdf
第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的链式求导法则为：口诀：分段用乘，分叉用加。多元函数与多元函数复合的情景（将下面的链式法则补充完整）xvvzxuuzxz口诀：分段用乘，分叉用加。yvvzyuuzyzxzzfxfxu口诀：分段用乘，分叉用加。yzzfyfyu名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -xvvfxuufxw口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyuufywzvvfzuufzwxvvfxuufxz口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyuufyz根据下列图示，写出复合函数的所有链式求导法则：（做题时，一次可能只会用到一个-用到那个就写那个，不必全部写出了。）xvvfxuufxz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyuufyzxvvfxuufxf111口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyuufyf111xvvfxuufxf222yvvfyuufyf222xvvfxfxf口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyf（简单！）（因为图中：红色线段有3 条；蓝色线段只有2 条。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大。从最后一题的解题过程中就能看出来。）xvvfxfxf111口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyf11xvvfxfxf222口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyf22三、1.(11-7)已知函数(,)zf xy xy，其中f具有二阶连续的偏导数，求2zx y。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -解：本题考查的知识点是：多元复合函数的高阶偏导数设yxu，xyv，（这两个属于具体函数）则vufz,（这个属于抽象函数）对式，把y看作常数，由链式法则得（下一步：遇到抽象函数，写出它的“记号”即可；遇到具体函数，求出它的偏导数。最后一步：在抽象函数的记号后面标出它的“自变量”-因为求二阶偏导数时，需要知道它的“自变量”有几个，各是“啥”？，这样，后面做题时，就会“一目了然”。）yffxvvfxuufxz?121对式，把x看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得：?)()(222112yvvfyuufyfyvvfyuufyxz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -)1(1222121211xffyfxff222121211xyfyffxff（）2221211)(xyfffyxf注：1fvuf,1vufu,uz（这些记号都是为抽象函数准备的！）2fvuf,2vufv,vz（具体函数不需要这些记号！）11fuf1；21fvf112fuf2；22fvf2xvvfxfxf口诀：分段用乘，分叉用加。yvvfyf（简单）三、1.(07-7)设xyxxfz,，其中f具有连续二阶偏导数，求xyz2和yxz2。解：本题考查的知识点是：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -多元复合函数的高阶偏导数设xyv，（这个属于具体函数）则vxxfz,（这里面既有具体函数又有抽象函数-其中，x为具体函数；vxf,为抽象函数。）yvvfyf（下面用到的就是这一个）先求xyz2对式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：?xfxyvvfxyz12vxff,22名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -xvvfxfxf222（下面用到的就是这一个）对式，把y看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：2222122221222fxyfxyffxvvfxfxyz?设xyv，（这个属于具体函数）则vxxfz,（这里面既有具体函数又有抽象函数）再求yxz2xvvfxfxf（下面用到的就是这一个）对式，把y看作常数，由链式法则和函数求导法则得：?221,xyffxvxfxvvfxfxvxfxzvxfxyvxxfvxf,21名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -yvvfyf（下面用到的就是这一个）yvvfyf11（下面用到的就是这一个）yvvfyf22（下面用到的就是这一个）对式，把x看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：?yvvfxyvxfxyvvfxyvvfyxz2212,1?xfxyfxxfxxf1111222122222212211fxyfxffx22212fxyf22221fxyfxyz2比较xyz2和yxz2的求解过程，可以看出：xyz2比yxz2的求解过程要名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -简单得多。这是因为在中，y的关系简单。注：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，所以就可以自由选择次序-优先选择关系少的变量（在本题中，显然 y 的关系少，这样优先选择 y 就会简单的多。）！名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -
