2022年高考数学一轮复习第八章立体几何..空间向量的运算及利用空间向量证明平行与垂直对点训练理 .pdf

1 2017高考数学一轮复习第八章立体几何 8.5.1 空间向量的运算及利用空间向量证明平行与垂直对点训练理1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB11，AD7，AA112.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i1 次到第i次反射点之间的线段记为Li(i2,3,4)，L1AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()答案C 解析由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为y34x，与直线DC的方程y7 联立得F283，7，0.由两点间的距离公式得E1F53，tan E2E1Ftan EAE1125，E2FE1Ftan E2E1F4.E2F11248.L3L4E1E2E2E3E2FE2F14812.故选 C.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -2 2已知e1，e2是空间单位向量，e1e212.若空间向量b满足be12，be252，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.答案1 2 22 解析e1，e2是单位向量，e1e212，cos e1，e212，又0e1，e2180，e1，e2 60.不妨把e1，e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e1(1,0,0)，则e212，32，0，再设OBb(m，n，r)，由be12，be252，得m2，n3，则b(2，3，r)而xe1ye2是平面xOy上任一向量，由|b(xe1ye2)|1 知，点B(2，3，r)到平面xOy的距离为1，故可得r1.则b(2，3，1)，|b|22.又由|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1 知x0e1y0e2(2，3，0)，解得x01，y02.3如下图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3 和 6 的正方形，A1A6，且A1A底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上(1)若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；(2)若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为37，求四面体ADPQ的体积解由题设知，AA1，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ,0m6.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -3(1)证明：若P是DD1的中点，则P0，92，3，PQ 6，m92，3.又AB1(3,0,6)，于是AB1PQ18180，所以AB1PQ，即AB1PQ.(2)由题设知，DQ(6，m6,0)，DD1(0，3,6)是平面PQD内的两个不共线向量设n1(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则n1DQ0，n1DD10，即6xm6y0，3y 6z0.取y6，得n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1)，所以 cosn1，n2n1n2|n1|n2|31m262323m245.而二面角PQDA的余弦值为37，因此3m24537，解得m4，或m8(舍去)，此时Q(6,4,0)设DPDD1(00，则AP(3，0，a)，MP34，34，a.因为MPAP，故MPAP0，即34a20，所以a32，a32(舍去)，即PO32.(2)由(1)知，AP 3，0，32，MP34，34，32，CP3，0，32.设平面APM的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面PMC的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n1AP0，n1MP0，得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -5 3x132z10，34x134y132z10，故可取n1 1，533，2，由n2MP0，n2CP0，得34x234y232z20，3x232z20，故可取n2(1，3，2)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2n1n2|n1|n2|155，故所求二面角APMC的正弦值为105.5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，ADAE，且PAAB2，ADAE1.(1)证明：PA平面ABCD；(2)求二面角BECD的正弦值解(1)证明：PAAB，E为PB的中点，AEPB.在 RtPAE中，PEPA2AE222121，PB2PE2.又PAAB2，PA2AB2PB2，PAAB.又ADAE，ADAB，AD平面PAB，ADPA，PA平面ABCD.(2)以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题设知P(0,0，2)，B(2，0,0)，C(2，1,0)，D(0,1,0)，E22，0，22，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -6 则AE22，0，22，DC(2，0,0)，DE22，1，22.ADAE，ADBC，AEBC.由(1)知，AEPB，AE平面PBC.故AE22，0，22为平面BEC的一个法向量设平面DEC的法向量为n(x，y，z)，则nDC0nDE0，即x022xy22z0.可取n(0,1，2)从而 cosn，AEnAE|n|AE|2223133.故二面角BECD的正弦值为63.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -