2022年对数及对数函数讲解 .pdf

1 对数及对数函数知识梳理：1、对数的定义：如果 a(a0,a1)的b次幂等于N,就是 ab=N，那么数b叫做a为底N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。（N 0）2、指数和对数的关系：NabbNalog3、对数恒等式：01loga，1logaa，NaNalog4、运算法则：R)(nloglogNlogMlogNMlogNlogMlog(MN)loganaaaaaaaMnM5、换底公式：logloglogcacabb6、两个较为常用的推论：11loglogabba2bmnbanamloglog（a,b 0 且均不为1）7、对数函数定义：函数xyalog)10(aa且叫做对数函数；它是指数函数xay)10(aa且的反函数。8、对数函数图象和性质：a a1 0a1 图象定义域值 域定 点单调性典型例题：例 1、求下列各式中的x 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -2(1)21log54x；(2)235logx；(3)0)22(log22xxx解：(1)2545)54(21x(2)523x，得332255x(3)由对数性质得12,021222xxxx解得3x变式：计算：(1)9)4(log2x；(2)1)78(log2)1(xxx；（3）32log32（解析(1)34logx，得34x或341x(2)由对数性质得8x（3）令x32log32=13232log,13232x,1x）例 2：计算（1）计算：log155log1545+(log153)2（2）1.0lg10lg5lg2lg125lg8lg（3）22)2(lg2051lg8lg325lgg解：（1）解一：原式=log155(log153+1)+(log153)2=log155+log153(log155+log153)=log155+log153 log1515=log155+log153=log1515解二：原式=2151515)3(log)315(log315log=(1-log153)(1+log153)+(log153)2=1-(log153)2+(log153)2=1（2）2222128125lg()252 lg(25)2 lg 104lg10（3）原式2)2(lg)2lg1)(2lg1(2lg25lg23)2(lg)2(lg1)2lg5(lg222变式：计算：（1）06.0lg61lg)2(lg8000lg5lg23（1）（2）421938432log)2log2)(log3log3(log名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -3 解：原式452133222log)2log2)(log3log3(log23245)2l o g212)(l o g3l o g313l o g21(3322254545452log233log6532例 3：已知a9log18，518b，求45log36解：由a9log18可知2log1218log1818a，又由518b，可得5log18b，故aba22log15log9log36log45log45log181818181836变式：若 log8 3=p,log3 5=q,求 lg 5 解：log8 3=p)5lg1(32lg33lg33log2ppp又q3lg5lg5log3)5lg1(33lg5lgpqqpqpq35lg)31(pqpq3135lg例 4：比较下列各组数的大小：(1)99.0ln与9.0ln(2)1.59.0p，9.01.5m，1.5log9.0n(3)若)(loglog,log,log,122xcxbxadxdddd解：(1)由xyln在,0上单调递增，且9.099.00，故99.0ln9.0ln(2)01log1.5log9.09.0，而19.09.001.5，11.51.509.0，mpn(3)令uxdlog，由dx1可 知1l o g0 xd即1,0u则ucubuadlog,2,2，1,0u，在同一坐标系下画出这三个函数的图象，如图示：可知 b 最大，c 最小，即bac变式：比较下列各数大小：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -4 (1)3.0log7.0log4.03.0与 (2)214.36.0317.0log,8.0log和 (3)1.0log1.0log2.03.0和解：（1）13.0log7.0log3.03.014.0log3.0log4.04.03.0log7.0log4.03.0 (2)18.0log06.007.0log4.313121216.04.3318.0log7.0log (3)解：03.0log11.0log1.03.002.0log11.0log1.02.02.0log3.0log1.01.01.0log1.0log2.03.0例 5：求下列函数的定义域、值域：(1)41212xy(2)52(log22xxy (3)54(log231xxy(4)(log2xxya解(1)：要使函数有意义，必须：041212x即：11212xx值域：11x012x从而1122x2124112x41412012x210y(2)522xx对一切实数都恒有4522xx函数定义域为R 从而24log)52(log222xx即函数值域为2y(3)函数有意义，必须：5105405422xxxxx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -5 由51x在此区间内9)54(max2xx95402xx从而29log)54(log31231xx即：值域为2y(4)要使函数有意义，必须：02xx0)(log2xxa由：01x由：当1a时 必须12xxx当10a时 必须12xxRx综合得1001ax且当01x时41)(max2xx4102xx41log)(log2aaxx41logay)10(a变式：求下列函数的定义域(1)27(log)15(xyx(2)23(log5.0 xy(3)1,0)(1(logaaayxa解：(1)由027115015xxx得72x且52x所求定义域为,5252,72(2)由0)23(log5.0 x得1230 x，解得132x，所求定义域为1,32(3)由01xa得1xa，当1a时，0 x，当10a时，0 x所求定义域为当1a时，,0 x；当10a时，0,x例 6：已知xxxfa11log)(（1,0 aa）(1)求 f(x)的定义域(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -6(3)求使 f(x)0 的 x 的取值范围解：（1）令,011xx得011xx，即(x+1)(x-1)0，故 f(x)的定义域为(-1，1)又因为 f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数变式：求函数)183(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明。解：定义域3601832xxxx或单调区间是),6(设2121),6(,xxxx且则)183(log121211xxy)183(log222212xxy)183(121xx)183(222xx=)3)(1212xxxx612xx012xx0312xx183222xx183121xx又底数1210012yy12yyy在),6(上是减函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -