2016数学二真题及解析.pdf
版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 401228281401228281120162016 全国研究生入学考试考研数学（数学二）解析全国研究生入学考试考研数学（数学二）解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一一、选择题选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.（1）设33123cos1,ln 1,1 1axxaxxax，当0 x时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）A123,a a a B231,a a a C213,a a a D321,a a a【答案】：【答案】：B【解析】【解析】2121xa，562ax，xa313，则321,aaa从低阶到高阶排列应为132,aaa。（2）已知函数 21,1ln,1xxf xx x，则 f x的一个原函数是（）21,1()ln1,1xxAF xxxx 21,1()ln11,1xxBF xxxx 21,1()ln11,1xxCF xxxx 21,1()ln11,1xxDF xxxx【答案【答案】：D【解析解析】：由于原函数一定是连续，可知函数 F x在1x 连续，而 A、B、C中的函数在1x 处均不连续，故选 D。（3）反常积分 10211xe dxx与 12012xe dxx的敛散性为（）A 1发散，2收敛 B 1收敛，2发散 C 1收敛，2收敛 D 1发散，2发散【答案【答案】B【解析】【解析】1101102xxedxex，故 1收敛。版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282812011021xxedxex，由于10limxxe，故 2发散（4）设 函 数()yf x在-+，内 连 续，其 导 数 的 图 像，如 图 所 示，则（A）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点（B）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 3 个拐点（C）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 1 个拐点（D）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点【答案答案】：（：（B B）【解析【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点.（5）设函数 iyfx1,2i 具有二阶连续导数，且 0ifx1,2i，若两条曲线 iyfx1,2i 在点00,xy处具有公切线 yg x，且在该点处曲线 1yfx的曲率大于曲线 2yfx的曲率，则在点0 x的某个邻域内，有（）12A fxfxg x 21B fxfxg x 12C fxg xfx 21D fxg xfx【答案】【答案】A【解析】【解析】：由于()0ifx可知，)(1xf与)(2xf均为凸函数，可知)(1xfy，)(2xfy 的图像版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282813均在其切线下方，故)()(),(21xgxfxf，由曲率公式232222232111)(1)(,)(1)(xfxfkxfxfk，由21kk 可知，1020()()fxfx，则)()(21xfxf.（6）已知函数,xef x yxy，则（A）0 xyff（B）+0 xyff（C）xyfff（D）xyfff【答案】：【答案】：（D）【解析】【解析】22,xxxxyxyeeefffffxyxyxy.（7）设,A B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）ATA与TB相似 B1A与1B相似 CTAA与TBB相似 D1AA与1BB相似【答案答案】：C【解析】：【解析】：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得1,P APB两端取转置与逆可得：1TTTTP APB,111P A PB,111PAAPBB,可知 A、B、D均正确，故选择 C。（8）设二次型222123123122313,222fx xxa xxxx xx xx x的正负惯性指数分别为1,2，则（A）1a（B）2a （C）-21a（D）12aa 或【答案】【答案】（C）【解析】【解析】二次型矩阵为111111aaa，其特征值为1,1,2aaa，可知10,20aa，即21a，故选择（C）二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282814（9）曲线)1arctan(1223xxxy的斜渐近线方程为_.【答案答案】：2 xy.【解析解析】：由1limxyn知1k，又2)1arctan(lim1lim)1arctan(1(limlim22223xxxxxxxxynnnn则斜渐近线方程为2 xy.（10）极限2112limsin2sinsinnnnnnnn_.【答案】【答案】：cos1 sin1【解析】【解析】221111211limsin2sinsinlimsinlimsinnnnnniiniiininnnnnnnnn1110001sincoscoscoscos1 sin10 xxdxxdxxxxdx （11）以xexy2和2xy 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_.【答案答案】：yy22xx.【解析】：【解析】：由线性微分方程解的性质可知xxeexx)(22为齐次方程的解，可知齐次方程为0yy。非齐次方程为)(xfyy，将2xy 代入可得：22)(xxxf，故方程为yy22xx.（12）已知函数)(xf在),(上连续，且dttfxxfx02)(2)1()(，则当2n时，(0)nf_.【答案答案】：125n【解析】：【解析】：)(2)1(2)(,1)0(xfxxff，则)(22)(,4)0(xfxff，则10)0(f.两边同时求2n阶导可得)(2)()1()(xfxfnn.则12)1()(25)0(2)0(2)0(nnnnfff。版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282815（13）已知动点P在曲线3xy 上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数0v，则当点P运动到点)1,1(时，l对时间的变化率是_.【答案答案】：022v【解析解析】：6250625623,3,xxxxvdtdxdxdldtdlxxxxdxdlxxl则0122|vdxdlx.（14）设矩阵aaa111111与101110011等价，则a_.【解析解析】110110110011011011101011000骣骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑-桫桫桫，可知，1100112101r骣-=桫从而，1111211araa骣-=-桫，可知，2a=三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限410lim cos22 sinxxxxx【解析解析】由重要极限得，原式为243444444000111112221()()cos22 sin1224613limlimlim3xxxxxx xxo xxo xxxxxxxeeee（16）(本题满分 10 分)设函数 12200f xtx dtx，求 fx，并求 f x的最小值。【解析解析】：01x时，1222232041()33xxf xxtdttx dtxx版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282816当1x 时，122201()3f xxtdtx所以，32241,0133()1,13xxxf xxx，从而242,01()2,1xxxfxx x由导数的定义可知(1)2,f，可知242,01()2,1xxxfxx x易知，当10,2x时，()0fx；当1,12x时，()0fx；当1,x时，()0fx。可知，()f x的最小值为1124f（17）（本题满分 10 分）已知函数,zz x y由方程22ln210 xyzzxy确定，求,zz x y的极值。【解析解析】：22221220112202zzxzxyxz xzzyzxyyz y令0zzxy得11,xyzz 代入方程可得，2ln20zz。解得，1z，故1xy。方程 1,2两边再同时求导，得22222222222222222222211222011220112220zzzzzzxxxyxxxzxz xzzzzzzxyxyyxx yzy xz x yzzzzzzyyxyyyyzyz y 将1,1,1,0zzxyzxy 代入，可得版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 40122828140122828171,11,11,12222222,0,33zzzABCxx yy 由20,0ACBA可知，1,11Z 为极大值。（18）（本题满分 11 分）设D是由直线1,yyx yx 围成的有界区域，计算二重积分2222Dxxyydxdyxy【解析解析】：积分区域如图所示：由对称性可知，1222222222DDxxyyxydxdydxdyxyxy（1D为D在第一象限的部分）1122222sin2204224cossin1cot12124Dxydxdydrdrxyd故222212Dxxyydxdyxy（19）（本题满分 10 分）已 知()()()12,xxy xeyxu x e=是 二 阶 微 分 方 程()()212120 xyxyy-+=的 解，若()()1,01ue u-=-，求()u x，并写出该微分方程的通解。【解析解析】：2xxxyux eu x euxu xe，22 xyeuxuxu x所以 212 2120 xxxxeuxuxu xxuxu xeu x e所以 21230 xuxxux解得 1221xu xCxeC，由于 1,01ue u 所以 21xu xxe 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282818原方程通解为 1122y xC yxC yx（20）（本题满分 11 分）设D是由曲线2101yxx与33cos02sinxttyt 围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.【解析】（1）12VVV1V为21yx绕x轴旋转一周所得旋转体体积；2V为33cos02sinxttyt 绕x轴旋转一周所得旋转体体积。123V1263220062207220792200sincossin3 cossin3sin1 sin3sinsin6 4 28 6 4 21637 5 39 7 5 3105Vy dxtdttttdttt dttdttdt 所以1221618310535VVV（2）12SSS，其中1S分别为两函数绕x轴的旋转体侧面积12S322062sin3 sincos5Stttdt 616255S（21）（本题满分 11 分）已知 f x在30,2上连续，在30,2内是函数cos23xx的一个原函数 00f版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 4012282814012282819（1）求 f x在区间30,2上的平均值；（2）证明 f x在区间30,2内存在唯一零点.【答案】：（1）由题设可知 0cos3,0,232xtfxxt 333322220000333cos1222232xf x dxf x d xxf xxdxx则 f x在区间30,2上的平均值 3201332f x dxk（2）0,0,2fxx，30,22fxx从而 f x在0,2单减，在3,22单增，注意到 00,02ff33322222000223coscoscoscoscos102232323222tttttfdtdtdtdtdtttt从而 f x在30,2上有唯一实根（22）（本题满分 11 分)设矩阵11101111aaaaA，2210a，且方程组Ax无解.（1）求a的值.（2）求方程组TTAAxA的通解.【解析】：【解析】：（1）21110012100022aAaaa a，方程组Ax无解，可知0a。（2）322222222TA A，122TA 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 401228281401228281103221100 1222201122222000 0TTA A A，则通解为0112,10kkR（23）(本题满分 11 分)已知矩阵000032110A.（1）求99A.（2）设三阶矩阵),(321B满足BAB 2，记),(321100B，将321,分别表示为321,的线性组合。【解析】：【解析】：（1）2112303200EA，可知A的特征值为：0,1,2。3100112230011000000A，则0的特征向量为322 111110220001001000AE，则1的特征向量为110 11021122210001002000AE，则2的特征向量为120 令311212200P，则1012P AP ,1AP P,则有版权所有版权所有翻印必究翻印必究 QQQQ 401228281401228281119999989999110010099991003110221 22222121212221 22220021000112APP（2）2BBA可知10099BBA，即99999810010099123123221222221222000，则991001122222，991002121212，98993122222关注微博关注微博中公考研中公考研关注微信公众号关注微信公众号 中公考研网中公考研网1919 考研交流考研交流 5 5 群：群：51711125851711125820192019 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