2009届全国名校真题模拟专题训练3-数列解答题2（数学）doc--高中数学 .doc

永久免费组卷搜题网2009届全国名校真题模拟专题训练03数列与数学归纳法三、解答题(二)51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数且任意的、都有 （1）若数列 （2）求的值.解：（1） 而 （2）由题设，有又得上为奇函数. 由得 于是故52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列的前n项和满足：（a为常数，且） （）求的通项公式； （）设，若数列为等比数列，求a的值；（）在满足条件（）的情形下，设，数列的前n项和为Tn求证：解：（）当时，即是等比数列 ； 4分（）由（）知，若为等比数列， 则有而故，解得， 7分再将代入得成立， 所以 8分（III）证明：由（）知，所以， 9分由得所以， 12分从而即 14分53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列。（I）求的值；（II）求的通项公式。（III）（理做文不做）由数列中的第1、3、9、27、项构成一个新的数列b，求的值。解：（I），因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故理4分（文6分）（II）当时，由于，所以。又，故当n=1时，上式也成立，所以理8分（文12分）（III）bn=32n-2-3n-1+2, =9. 理12分54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。解：（1），2分数列是以1为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列。4分（2）9分（3）当且仅当时取等号，所以，即，的最大值为4855、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且. （1） 求数列，的通项公式； （2） 记,求证：.解：（）a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0，a3=5，a5=9，公差 3分又当n=1时，有b1=S1=1当数列bn是等比数列， 6分（）由（）知 9分 12分56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列an的各项都是正数，且对任意nN+，都有，记Sn为数列an的前n项和. （1）求数列an的通项公式； （2）若（为非零常数，nN+），问是否存在整数，使得对任意 nN+，都有bn+1>bn.解：（1）在已知式中，当n=1时， a1>0 a1=11分 当n2时， 得， an>0 =2Snan a1=1适合上式3分. 当n2时， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1 an+an1>0 anan1=1数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n5分 （2） .7分当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，<1.9分当n=2k，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3，都成立，.11分存在整数=1，使得对任意nN，都有bn+1>bn12分57、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为 （1）求数列的通项公式 （2）若，求数列的前项和 （3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式.解：（1）点都在函数的图像上，,当时，当1时，满足上式，所以数列的通项公式为.3分 （2）由求导可得过点的切线的斜率为，.由×4，得-得： .7分 （3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得27.所以，设等差数列的公差为，则，所以的通项公式为12分58、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知是数列的前项和，且，其中. (1)求数列的通项公式；(2)(理科)计算的值. ( 文科) 求 .解： -2分 又也满足上式，（）数列是公比为2，首项为的等比数列 - 4分 - 6分 -（9分）于是 -（12分）59、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)函数对任意xR都有f(x)f(1x). （1）求的值； （2）数列的通项公式。 （3）令试比较Tn与Sn的大小。解：（1）令令（2）又，两式相加是等差数列（3） 60、已知数列中，其前n项和为 满足（1）试求数列的通项公式（2）令是数列的前n项和，证明：（3）证明:对任意的，均存在，使得（2）中的成立解：（1）由得，即又，故数列的通项公式为（4分）（2）（8分）（3）证明：由（2）可知若,则得,化简得，当，即（10分）当，即，取即可,综上可知,对任意的均存在使得时（2）中的成立（12分）61、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知数列的前n项和为，点在曲线上且. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数列是等差数列； （3）求证：.解：(1)数列是等差数列，首项公差d=4 （4分）(2)由得若为等差数列，则(3)12分62、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知二次函数的图象过点（4n，0）且 （1）求的解析式； （2）若数列的通项公式； （3）对于（2）中的数列答案：（1） （2） （3）略63、（本题满分12分）(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知，数列 （1）证明： （2）证明： （3）设的前n项和，判断的大小，并说明理由。答案：（1）略 （2）略 （3）64、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知数列an的前n项和为Sn，并且满足a12,nan1Snn(n1). （1）求数列； （2）设解：（1） （2） 65、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知二次函数f(x)ax2bxc的图象顶点坐标是(，)，且f(3)2 （1）求yf(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值； （2）数列，若对任意的实数，其中是定义在实数集R上的一个函数，求数列的通项公式； （3）设圆是各项都是正数的等比数列，设个圆的面积之和，求解：（1） （2）令 （3） 66、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知数列an满足a15,a25,an1an6an1(n2且nN*) （1）求出所有使数列值，并说明理由； （2）求数列的通项公式； （3）求证：解：（1） （2） （3）当时，67、(湖北省八校高2008第二次联考)已知数列，满足，数列的前项和为.（）求数列的通项公式；（）求证：；（）求证：当时，解：（1）由，得，代入，得， 整理，得,从而有， 是首项为1，公差为1的等差数列，即. （4分）（2）， ， ， ，. （8分）（3），.由（2）知，. （14分）68、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知数列的首项，前项和为，且、分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分所成的比为，设。 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 设，证明：。由题意得3分数列是以为首项，以2为公比的等比数列。6分则（）由及得，8分则10分 12分69、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知函数的图象按向量平移后便得到函数的图象，数列满足（n2，nÎN*） （）若，数列满足，求证：数列是等差数列； （）若，数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由； （）若，试证明：解:，则（n2，nÎN*） （）， （n2，nÎN*）数列是等差数列 （）由（）知，数列是等差数列，首项，公差为1，则其通项公式，由得，故构造函数，则函数在区间， 上为减函数当时，且在上递减，故当时，取最小值；当 时，且在上递减，故当时，取最大值故存在（）先用数学归纳法证明，再证明当n1时，成立，假设nk时命题成立，即，则当nk+1时，则，故当nk+1时也成立综合有，命题对任意nÎN*时成立，即下证，综上所述：【总结点评】本题集数列、向量、函数、导数、不等式于一体，充分展示了考试大纲“构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性”的题目，这需要我们加强这一方面的训练，需要从多层次、多角度去思考问题70、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：13 57 9 11 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。（）若，求的值；（）已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。解：（）三角形数表中前行共有个数，第行最后一个数应当是所给奇数列中第项，即。因此，使得的是不等式的最小正整数解。由得，。第45行第一个数是，（），。第行最后一个数是，且有个数，若将看成第行第一个数，则第行各数成公差为的等差数列，故。故。用错位相减法可求得。71、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知各项均为正数的数列满足且是、的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若，求使成立的正整数的最小值。解： 数列的各项均为正数， 即 数列是以2为公比的等比数列。 是的等差中项， 数列的通项公式为 （2）由（1）及，得，（6分） -得，要使成立，只需成立，即成立的正整数n的最小值为5。（12分）72、(湖北省荆门市2008届上期末)已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，。（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围。解：（1） 当时，.2分当2时，=，分此时·=·，= 分设+， 分（2）由可得 当时，由 可得， 对一切都成立，此时的解为.1分 当时，由 可得 对一切都成立，此时的解为.12分由，可知，对一切都有的的取值范围是或.73、(湖北省荆门市2008届上期末)设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且 （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和。解：（1）：当故an的通项公式为的等差数列.设bn的通项公式为故 6分（2）两式相减得74、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)已知数列为等差数列，且其前项和为，又正项数列满足求数列的通项公式；比较的大小；求数列的最大项；令，数列是等比数列吗？说明理由。解：设的公差为，则且，得，从而故 （3分） （6分）由（2）猜想递减，即猜想当时， （8分）考察函数，当时故在上是减函数，而所以，即于是猜想正确，因此，数列的最大项是 （10分）不是等比数列由知故不是等比数列.75、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知函数求 若数列满足,试求的值，使得数列成等差数列。76、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)设不等式所表示的平面区域为，记内的格点（，）（、z）的个数为（）. （） 求，的值及的表达式；（）记，若对于任意，总有m成立，求实数m的取值范围；（） 设为数列的前项和，其中，问是否存在正整数、t，使 成立？若存在，求出正整数，t；若不存在，请说明理由.解：（）3，6. 2分由0，0，得03，又，1，或2.当1，02时，共有2个格点；当2，0时，共有个格点. 故. 4分（）由（1）知，则.当3时，.又9，所以，故. 8分（）假设存在满足题意的和，由（1）知，故. 10分则.变形得，即0.1（8）15.由于、均为正整数，所以1. 14分附:, .当时, 由,得,.当时, ,由,得,不存在.所以1.77、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列的前n项和为，点均在函数的图像上. （I）求数列的通项公式； （II）设，的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.解：（I）设这二次函数，由于，得2分又因为点的图像上，所以当 6分 （II）由（I）得知 7分故 9分因此，要使，必须且仅须满足即， 11分所以满足要求的最小正整数m为10。 12分78、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)数列，由下列条件确定：a10，b10.当k2时，ak和bk满足下列条件：当.（1）若，分别写出an、bn的前四项. （2）证明数列akbk是等比数列.（3）设是满足b1b2bn的最大整数时，用a1、b1表示n满足的条件.解：（1）（3分）（2）当时，当时，又，数列是等比数列. （9分）（3）当b1b2bn（n2）时，bkbk-1(2kn).由（2）知：不成立，.从而对于2kn有ak=ak-1,bk=于是（11分）若，则这与是满足b1b2bn（n2）的最大整数矛盾.n是满足的最小整数.n是满足大于的最小整数.（13分）79、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为， （I）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771） （）求的表达式，并求的值. 雅创教育网免费注册免费下载解：（1）；的等比数列，故至少操作7次；（2）而.80、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知点(an,an1)在曲线f(x)上, 且a11.(1)求f(x)的定义域;(2)求证: (nN*)(3)求证: 数列an前n项和 (n1, nN*)解:(1) 由f(x)知x满足: x2 0, 0 , 0 0, 故x0, 或x1.f(x)定义域为: (, 1(0,)(2) an12an2 , 则an12an2 于是有: an12a12 an121要证明: 只需证明: ( *) 下面使用数学归纳法证明: (n1,nN*) 在n1时, a11, a12, 则n1时 (* )式成立. 假设nk时, 成立, 由 要证明: 只需2k1 只需(2k1)38k(k1)2 只需证: , 只需证: 4k211k80, 而4k211k80在k1时恒成立. 于是: . 因此 得证. 综合可知( *)式得证, 从而原不等式成立.(3)要证明: ,由(2)可知只需证: (n2) (* )下面用分析法证明: (*)式成立. 要使(*)成立,只需证: (3n2)(3n1)即只需证: (3n2)3n(3n1)3(n1), 只需证:2n1. 而2n1在n1时显然成立,故(*)式得证.于是由(*)式可知有: 因此有: Sna1a2an12( ) 81、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)假设A型进口车关税税率在2002年是100，在2007年是25，2002年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？解：（1）2007年A型车价为3232×2540（万元）设B型车每年下降d万元，2002，20032007年B型车价格为：（公差为-d），40×9046-5d36d2 故每年至少下降2万元6分（2）2007年到期时共有钱33（10.090.00324）36.0769236（万元）故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车 12分82、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有，； 若，且，则有（1）求的值；（2）试求的最大值；（3）设数列的前项和为，且满足， 求证：解：（1）令，则，又由题意，有 3分 （2）任取 且，则0< 的最大值为 6分 （3）由 又由 数列为首项为1，公比为的等比数列， 8分 当时，不等式成立， 当时， ， 不等式成立 假设时，不等式成立。 即 则 当时， 即 时，不等式成立 故 对 ，原不等式成立。 14分83、(黄家中学高08级十二月月考)已知数列满足且对一切,有 （1）求证：对一切（2）求数列通项公式. （3）求证：(1) 证明: . - ： () (2) 【解】：由及两式相减,得: . (3) 证明: 84、(吉林省吉林市2008届上期末)已知等比数列的前n项和为Sn=K·2n+m，k0,且a1=3. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前n项和Tn.（1）解法一：依题意有 2分解得公比为3分代入得m=3，5分6分解法二：2分由4分又6分 （2）解， ， 8分得， 10分 12分85、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)已知：（）求（）求数列的通项公式；（）求证：解：（）由已知1分，所以，3分（）所以对于任意的 7分（） ，得 9分 11分 又12分86、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知数列满足。（） （1）证明：数列成等差数列； （2）设，数列的前项的和，求证：。解：（1）数列是以为首项，公差为的等差数列； （2）87、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)设数列an,bn都是等差数列，它们的前n项的和分别为Sn , Tn ，若对一切n N*，都有Sn+3 = Tn （1）若a1 b1，试分别写出一个符号条件的数列an和bn；（2）若a1 + b1 = 1，数列cn满足：cn = 4 an + l(1)n12 bn，且当n N*时，cn+1 cn恒成立，求实数l的最大值解：（1）答案不唯一，例如，4分 （2）设数列的公差分别是， 则 对一切，有， 6分 即： 即8分10分 时，恒成立，即时，恒成立当为正奇数时，恒成立，而，；当为正偶数时，恒成立，而， 的最大值是88、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n > n2成立证明：（1）当时，结论成立 （2）假设当时，结论成立，即： 那么当时，左边= =右边 也就是说，当时，结论成立6分 由（1）、（2）可知，不等式 对时恒成立8分89、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知数列中，且对时，有（）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（）记，求数列的前n项和Sn（） 证明：由条件，得，则2分即，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列 4分，所以两边同除以，可得6分于是为以首项，为公差的等差数列所以8分（），令，则而 12分，14分令Tn，则2Tn，得Tn，Tn16分评讲建议：此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n项和的求法，作新数列法，错项相消法，裂项法等知识与方法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力讲评时着重在正确审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题，本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题事实上本题包含了好几个常见的数列题本题还有一些另外的解法，如第一问的证明还可以直接代90、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)设数列满足：，且当时， (1) 比较与的大小，并证明你的结论； (2) 若，其中，证明：解：（1）由于，则， （2）由于，由（1），则，而，则， 又 ，而，且，故 ，因此，从而91、(江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟)已知函数的图象过原点，且关于点成中心对称. (1) 求函数的解析式； (2) 若数列满足：，求，的值，猜想数列的通项公式，并证明你的结论； (3) 若数列的前项和为，判断与2的大小关系，并证明你的结论.(1)解：函数的图象过原点，即， . 又函数的图象关于点成中心对称， . (2)解：由题意有 即， 即，即. 数列是以1为首项，1为公差的等差数列. ，即. . ，. (3)证明：当时， 故 92、(江苏省泰兴市20072008学年第一学期高三调研)设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：且；且.（1）求及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有成立？若存在，求M；若不存在，说明理由解：（1） 5分（2），10分（3）等即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有M成立. 16分93、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)第一行是等差数列0，1，2，3，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行0，1，2，3，2005，2006，2007，20081，3，5， ， 4011， 4013， 40154，8， ， 8024， 8028（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。记各行的公差组成数列求通项公式；（2）各行的第一个数组成数列，求数列所有各项的和。（1），则是等比数列， 6（2），数列是等差数列，所以 12数列所有各项的和SS=012×23×222007×22006用错位相减法，得到S=1003×220081 1694、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知，数列an满足对任意nN*有an1且a1=2，(1)求证：an1是等比数列；(2)若，当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值。解：(1) 3分由an1知an1010an+110an+an1=0 10(an+11)=9(an1) an1是以a11=1为首项公比为的等比数列 7分 (2)由(1)知： 9分 ，当n=7时， 当n<7时，当n>7时，12分 当n=7或8时，bn取最大值为b7=b8= 14分95、(江苏省盐城市2008届高三六校联考)已知函数是定义在R上的奇函数，且当x=1时f(x)取最大值1.(1)求出a,b,c的值并写出f(x)的解析式；(2)若x1(0，1)，xn+1=f(xn)，试比较xn+1与xn的大小并加以证明；(3)若，求证.解：(1)的定义域为R，c>0又f(x)为奇函数，f(x)+f(x)=0 b=0 2分，又f(1)=1，a=1+c>0，当x>0时， 4分a=2，b=0，c=1， 5分(2)，x1(0，1)，xn+1>0(nN*)又矛盾，xn+1<17分 xn+1>xn。9分(3)0<xk<1， 11分 14分96、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知函数满足，；且使成立的实数只有一个。（）求函数的表达式；（）若数列满足，证明数列 是等比数列，并求出的通项公式；（）在（）的条件下，如果,证明：，。解：（）由，得.1分由，得.2分由只有一解，即，也就是只有一解，.3分.故.4分（）解法一:，5分猜想，.6分下面用数学归纳法证明：10 当n=1时，左边=，右边=，命题成立. 7分20 假设n=k时，命题成立，即；当 n=k+1时，当 n=k+1时，命题成立. 8分由10，20可得，当时，有.9分，是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.10分解法二:， 5分即,8分9分,10分（）当为偶数时,即12分即.14分97、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)等比数列xn的各项为不等于1的正数，数列yn满足=2（a>0,且a1）,设y3=18, y6=12, （1）证明数列yn是等差数列并求前多少项和最大，最大值是多少？ （2）试判断是否存在自然数M，使得当n>M时，xn>1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由解：（1）yn=2logaxn, yn+1=2logaxn+1 yn+1 yn=2logaxn+1 logaxn=2loga xn为等比数， 为定值， 所以yn为等差数列。 又因为y6 y3=3d=6 d=2 y1=y32d =22 Sn=22n+= n2+23n 故当n=11或n=12时，Sn取得最大值132。（2） yn=22+(n1)(2)=2logaxn xn=a12n>1 当a>1时，12n>0, n<12 当0<a<1时，12n<0 n>12, 所以当0<a<1时，存在M=12，当n>M时，xn>1恒成立。98、(山东省济南市2008年2月高三统考)