2023届高考一轮复习导与练 (必修第一册) 第四章第5节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用 讲义.docx

第5节 函数y=Asin(x+)的图象与性质及三角函数模型的应用1.了解函数y=Asin(x+)的物理意义,能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.y=Asin(x+)的有关概念y=Asin(x+)(A>0,>0),xR振幅周期频率相位初相AT=2f=1T=2x+2.用五点法画y=Asin(x+)(A>0,>0,xR)一个周期内的简图时,要找五个特征点如表所示:x0-2-32-2-x+02322y=Asin(x+)0A0-A03.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(x+)(A>0,>0)的图象的两种途径1.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是|(>0)个单位长度.2.函数y=Asin(x+)的对称轴由x+=k+2,kZ确定;对称中心由x+=k,kZ确定其横坐标.1.函数y=2sin(12x-3)的振幅、频率和初相分别为(C)A.2,4,3B.2,14,3C.2,14,-3D.2,4,-3解析:由题意知A=2,f=1T=2=14,初相为-3.故选C.2.为了得到函数y=2sin(2x-3)的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象(A)A.向右平移6个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向左平移3个单位长度解析:因为y=2sin(2x-3)=2sin2(x-6).因此,为了得到函数y=2 sin(2x-3)的图象,可将函数y=2sin 2x的图象向右平移6个单位长度.故选A.3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的12,纵坐标保持不变,再把图象向右平移6个单位长度,则所得图象对应的解析式为(A)A.y=sin(2x-3)B.y=sin(2x-6)C.y=sin(x2-3)D.y=sin(x2-6)解析:把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12,纵坐标不变,得到y=sin 2x的图象,再把y=sin 2x的图象向右平移6个单位长度,得到y=sin2(x-6)即y=sin(2x-3)的图象.故选A.4.用五点法画函数y=sin(x-6)在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是、. 答案:(6,0)(23,1)(76,0)(53,-1)(136,0)5.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示是今年前四个月的统计情况.月份x1234收购价格y/(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(单位:元/斤)与相应月份之间的函数关系为 . 解析:设y=Asin(x+)+B(A>0,>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=2,所以=2,所以y=sin(2x+)+6.因为当x=1时,y=6,所以6=sin(2+)+6,结合表中数据得2+=2k,kZ,可取=-2,所以y=sin(2x-2)+6.答案:y=sin(2x-2)+6(答案不唯一) 函数y=Asin(x+)的图象及变换1.为了得到函数y=sin(2x+6)的图象,可将函数y=sin 2x的图象(B)A.向右平移12个单位长度B.向左平移12个单位长度C.向右平移6个单位长度D.向左平移6个单位长度解析:因为y=sin(2x+6)=sin2(x+12),因此,为了得到函数y=sin(2x+6)的图象,可将函数y=sin 2x的图象向左平移12个单位长度.故选B.2.(多选题)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移8个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则的值可能是(AB)A.-34B.4C.0D.-4解析:将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移8个单位长度后,得到y=sin(2x+4+)的图象,由于所得函数为一个偶函数,则4+=k+2,kZ,=4+k,kZ,故当k=0时,=4;当k=-1时,=-34.故选AB.3.在函数y=sin(x+6)的图象向右平移23个单位长度后与原图象重合,则正数不可能是(A)A.2B.3C.6D.9解析:因为函数y=sin(x+6)的图象向右平移23个单位长度后得y=sin(x-23)+6,所以当=2时,y=sin2(x-23)+6sin(2x+6),当=3时,y=sin3(x-23)+6=sin(3x+6),当=6时,y=sin6(x-23)+6=sin(6x+6),当=9时,y=sin9(x-23)+6=sin(9x+6).故选A.1.函数y=Asin(x+)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=x+计算五点坐标.2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 求函数y=Asin(x+)的解析式 (1)已知函数f(x)=sin(x+)(>0,|<2)的部分图象如图所示,若x1,x2(-6,3),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=()A.12B.22C.32D.1(2)已知函数f(x)=sin(x+)>0,|<2的部分图象如图所示,则y=f(x+6)取得最小值时x的集合为. 解析:(1)由题图知,T2=2,即T=,则=2,所以f(x)=sin(2x+),因为点(3,0)在函数f(x)的图象上,所以sin(2×3+)=0,即23+=2k+,kZ,所以=2k+3,kZ,又|<2,所以=3,所以f(x)=sin(2x+3),因为x1,x2(-6,3),且f(x1)=f(x2),所以x1+x22=12,所以x1+x2=6,所以f(x1+x2)=sin(2×6+3)=32.故选C.(2)根据所给图象,可得周期T=4×(712-3)=,故=2,所以=2,因此f(x)=sin(2x+),另外图象经过点(712,0),代入有2×712+=+2k(kZ),再由|<2,得=-6,所以f(x)=sin(2x-6),所以f(x+6)=sin(2x+6),当2x+6=-2+2k(kZ),即x=-3+k(kZ)时,y=f(x+6)取得最小值.此时x的集合为x|x=k-3,kZ.答案:(1)C(2)x|x=k-3,kZ1.已知f(x)=Asin(x+)(A>0,>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,利用周期性求,难点是“”的确定.2.y=Asin(x+)中的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.针对训练 1.已知函数f(x)=Asin(x+),xR(其中A>0,>0,-2<<2),其部分图象如图所示,将f(x)的图象横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=sin2(x+1)B.g(x)=sin8(x+1)C.g(x)=sin(2x+1)D.g(x)=sin(8x+1)解析:由题图可得f(x)=sin(4x+4),横坐标变为原来的2倍得y=sin(8x+4),再向右平移1个单位长度,得g(x)=sin8(x-1)+4=sin(8x+8)=sin8(x+1).故选B.2.函数f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为. 解析:由题图可知A=2.法一T4=712-3=4,所以T=,故=2,因此f(x)=2sin(2x+),又(3,0)对应五点法作图中的第三个点,因此2×3+=+2k(kZ),所以=3+2k(kZ),又|<,所以=3.故f(x)=2sin(2x+3).法二以(3,0)为第二个“零点”,x为712时,ymin为-2,列方程组·3+=,·712+=32,解得=2,=3,故f(x)=2sin(2x+3).答案:f(x)=2sin(2x+3) 函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用 已知函数f(x)=3sin(2x+3)(>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象,且g(x)的图象恰好经过点(-3,0),求当m取得最小值时,g(x)在-6,712上的单调递增区间.解:(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为2,得函数f(x)的最小正周期为T=2×2=22,得=1,故函数f(x)的解析式为f(x)=3sin(2x+3).(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)=3sin2(x+m)+3=3sin(2x+2m+3)的图象,根据g(x)的图象恰好经过点(-3,0),可得 3sin(-23+2m+3)=0,即sin(2m-3)=0,所以2m-3=k(kZ),解得m=k2+6(kZ),因为m>0,所以当k=0时,m取得最小值,且最小值为6.此时,g(x)=3sin(2x+23).因为x-6,712,所以2x+233,116.当2x+233,2,即x-6,-12时,g(x)单调递增,当2x+2332,116,即x512,712时,g(x)单调递增.综上,g(x)在区间-6,712上的单调递增区间是-6,-12和512,712.函数图象与性质的综合问题.此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式,再来研究其性质.针对训练 设函数f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),其中0<<3.已知f(6)=0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-4,34上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin(x-6)+sin(x-2),所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=3(12sin x-32cos x)=3sin(x-3).由题设知f(6)=0,所以6-3=k,kZ,故=6k+2,kZ.又0<<3,所以=2.(2)由(1)得f(x)=3sin(2x-3),所以g(x)=3sin(x+4-3)=3sin(x-12).因为x-4,34,所以x-12-3,23,当x-12=-3,即x=-4时,g(x)取得最小值-32. 三角函数模型的应用 如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是米. 解析:以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为2米,圆上最低点O离地面1米,12秒转动一周,设OO1P=,运动t秒后与地面的距离为f(t).又周期T=12,所以=6t,则f(t)=3+2sin(-2)=3-2cos 6t(t0),当t=40 s时,f(t)=3-2cos(6×40)=4.答案:4三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.针对训练 据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(x+)+B(A>0,>0,|<2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为元. 解析:作出函数简图如图,三角函数模型为y=Asin(x+)+B,由题意知A=2 000,B=7 000,T=2×(9-3)=12,所以=2T=6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,则有6×3+=2,所以=0,故f(x)=2 000sinx6+7 000(1x12,xN*).所以f(7)=2 000×sin76+7 000=6 000.故7月份的出厂价格为6 000元.答案:6 000 为了得到函数y=sin(2x-3)的图象,只需把函数y=cos(2x-43)的图象()A.向左平移4个单位长度B.向右平移4个单位长度C.向左平移2个单位长度D.向右平移2个单位长度解析:y=cos(2x-43)=sin2+(2x-43)=sin(2x-56),故要得到函数y=sin(2x-3)的图象,只需要平移(x-6)-(x-512)=4个单位长度,又4>0,所以应向左平移.故选A. 已知函数f(x)=Asin(x+)+B(A>0,>0,|<2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,得到函数g(x)的图象关于点(3,32)对称,则m的值可能为()A.6B.2C.76D.712解析:依题意得A+B=332,-A+B=-32,解得A=3,B=32,T2=23-6=2,故=2,则f(x)=3sin(2x+)+32.又f(6)=3sin(3+)+32=332,故3+=2+2k(kZ),即=6+2k(kZ).因为|<2,故=6,所以f(x)=3sin(2x+6)+32.将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)=3sin(2x+6+2m)+32的图象,又函数g(x)的图象关于点(3,32)对称,故3sin(23+6+2m)=0,即56+2m=k(kZ),故m=k2-512(kZ).令k=2,则m=712.故选D.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,|<2,>0)的图象的一部分如图所示,则f(x)的图象的对称轴方程是. 解析:由图象知A=2,又1=2sin(×0+),即sin =12,又|<2,所以=6.又1112×+6=2,所以=2,所以f(x)=2sin(2x+6),令2x+6=2+k(kZ),得x=k2+6(kZ).所以f(x)=2sin(2x+6)的对称轴方程为x=k2+6(kZ).答案:x=k2+6(kZ)知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数y=Asin(x+)的图象及变换1,2,3,4,611求函数y=Asin(x+)的解析式710函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用5,81315综合问题9,12,141.函数y=sin(2x-3)在区间-2,上的简图是(A)解析:令x=0得y=sin(-3)=-32,排除B,D项,由f(-3)=0,f(6)=0,排除C项.故选A.2.要得到y=sin(2x-4)的图象,只需将y=sin 2x的图象(D)A.向左平移4个单位长度B.向右平移4个单位长度C.向左平移8个单位长度D.向右平移8个单位长度解析:因为y=sin(2x-4)=sin2(x-8),因此,要得到y=sin(2x-4)的图象,只需将y=sin 2x的图象向右平移8个单位长度.故选D.3.已知函数f(x)=sin(x+6)(0<<2)满足条件:f(-12)=0,为了得到函数y=f(x)的图象,可将函数g(x)=cos x的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m的最小值为(A)A.1B.12C.6D.2解析:由题意,得sin(-12+6)=0,即-12+6=k(kZ),则=3-2k(kZ),结合0<<2,得=3,所以f(x)=sin(3x+6)=cos(2-3x-6)=cos3(x-1),所以只需将函数g(x)=cos3x的图象向右平移至少1个单位长度,即可得到函数y=f(x)的图象.故选A.4.将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数(A)A.在区间-4,4上单调递增B.在区间-4,0上单调递减C.在区间4,2上单调递增D.在区间2,上单调递减解析:y=sin(2x+5)=sin 2(x+10),将其图象向右平移10个单位长度,得到函数y=sin 2x的图象.由2k-22x2k+2,kZ,得k-4xk+4,kZ.令k=0,可知函数y=sin 2x在区间-4,4上单调递增.故选A.5.(多选题)函数f(x)=2sin(2x-3)的图象为C,则下列结论正确的是(AB)A.f(x)的最小正周期为B.对任意的xR,都有f(x+6)+f(6-x)=0C.f(x)在(-12,512)上是减函数D.由y=2sin 2x的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C解析:由f(x)=2sin(2x-3),所以f(x)的最小正周期为22=,故A正确;f(6)=2sin(2×6-3)=0,即函数f(x)的图象关于点(6,0)对称,即对任意的xR,都有f(x+6)+f(6-x)=0成立,故B正确;当x(-12,512)时,2x-3(-2,2),所以f(x)在(-12,512)上是增函数,故C错误;由y=2sin 2x的图象向右平移3个单位长度得到y=2sin 2(x-3)=2sin(2x-23)的图象,故D错误.故选AB.6.函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+ 3cos x的图象至少向右平移个单位长度得到. 解析:y=sin x-3cos x=2sin(x-3),y=sin x+3cos x=2sin(x+3),故应至少向右平移23个单位长度.答案:237.已知函数y=sin(2x+)(-2<<2)的图象关于直线x=3对称,则的值为. 解析:由题意得f(3)=sin(23+)=±1,所以23+=k+2,kZ,所以=k-6,kZ.因为(-2,2),所以=-6.答案:-68.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos6(x-6)(x=1,2,3,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ,12月份的月平均气温最低,为18 ,则10月份的平均气温值为. 解析:依题意知,a=28+182=23,A=28-182=5,所以y=23+5cos6(x-6),当x=10时,y=23+5cos(6×4)=20.5.答案:20.59.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1,则下列四个结论正确的是(AB)A.函数f(x)在区间-38,8上是增函数B.点(38,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心C.函数f(x)的图象可以由函数y=2sin 2x的图象向左平移4个单位长度得到D.若x0,2,则f(x)的值域为0,2解析:函数f(x)=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+4).若x-38,8,则2x+4-2,2,因此函数f(x)在区间-38,8上是增函数,因此A正确;因为f(38)=2sin(34+4)=2sin =0,因此点(38,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心,因此B正确;由函数y=2sin 2x的图象向左平移4个单位长度得到y=2sin2(x+4)=2cos 2x,因此由函数y=2sin 2x的图象向左平移4个单位长度不能得到函数f(x)的图象,因此C不正确;若x0,2,则2x+44,54,所以sin(2x+4)-22,1,所以f(x)的值域为-1,2,因此D不正确.故选AB.10.下列关于函数f(x)=2cos2x+3sin 2x-1的说法正确的是(D)A.x=3是函数f(x)的一个极值点B.函数f(x)在区间0,2上是增函数C.函数f(x)在区间(0,)上有且只有一个零点 512D.函数f(x)的图象可由函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度得到解析:函数f(x)=2cos2x+3sin 2x-1=cos 2x+ 3sin 2x=2sin(2x+6),当x=3时,2sin(2×3+6)=1,所以x=3不是函数f(x)的一个极值点,所以A不正确;当x=6时,函数f(x)取得最大值,所以函数f(x)在区间0,2上不是增函数,所以B不正确;由2sin(2x+6)=0得2x+6=k,kZ,则x=k2-12,kZ,所以在区间(0,)上有两个零点512,1112,所以C不正确;由函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度得到y=2sin2(x+12)=2sin(2x+6)的图象,所以D正确.故选D.11.已知函数f(x)=sin(x+)(>0,2),x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)的图象的对称轴,且f(x)在(18,536)上单调,则的最大值为(B)A.11B.9C.7D.5解析:因为x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)的图象的对称轴,所以2n+14·T=2,即2n+14·2=2(nN),即=2n+1(nN),即为正奇数,因为f(x)在(18,536)上单调,则536-18=12T2,即T=26,解得12,当=11时,-114+=k,kZ,因为|2,所以=-4,此时f(x)在(18,536)上不单调,不满足题意;当=9时,-94+=k,kZ,因为|2,所以=4,此时f(x)在(18,536)上单调,满足题意.故的最大值为9.故选B.12.(2019·全国卷)设函数f(x)=sin(x+5)(>0),已知f(x)在0,2有且仅有5个零点.下述四个结论:f(x)在(0,2)有且仅有3个极大值点;f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点;f(x)在(0,10)单调递增;的取值范围是125,2910).其中所有正确结论的编号是(D)A.B.C.D.解析:如图,根据题意知,xA2<xB,根据图象可知函数f(x)在(0,2)上有且仅有3个极大值点,所以正确;但可能会有2个或3个极小值点,所以错误;根据xA2<xB,有2452<295,得125<2910,所以正确;当x(0,10)时,5<x+5<10+5,因为125<2910,所以112510+5<49100<2,所以函数f(x)在(0,10)上单调递增,所以正确.故选D.13.将函数f(x)=1-23cos2x-(sin x-cos x)2的图象向左平移3个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若x-2,2,则函数g(x)的单调递增区间是. 解析:因为f(x)=1-23cos2x-(sin x-cos x)2=sin 2x-3cos 2x-3=2sin(2x-3)-3,所以g(x)=2sin2(x+3)-3-3=2sin(2x+3)-3,由-2+2k2x+32+2k(kZ),得-512+kx12+k(kZ),因为x-2,2,所以函数g(x)在-2,2上的单调递增区间是-512,12.答案:-512,1214.已知函数f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12,再把所得的函数图象向左平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,8上的最小值.解:(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由题图可知A=1,T2=23-6=2,即T=,所以=2,解得=2,所以f(x)=sin(2x+),又f(x)的图象过点(6,0),由0=sin(2×6+)可得3+=k(kZ),则=k-3(kZ),因为|<2,所以=-3,故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x-3).(2)根据条件得g(x)=sin(4x+3),当x0,8时,4x+33,56,所以当x=8时,g(x)取得最小值,且g(x)min=12.15.在f(x)的图象关于直线x=56对称;f(x)的图象关于点(518,0)对称;f(x)在-4,4上单调递增这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,请说明理由.已知函数f(x)=4sin(x+6)+a(N*)的最小正周期不小于3,且,是否存在正实数a,使得函数f(x)在0,12上有最大值3? 解:由于函数f(x)的最小正周期不小于3,所以23,所以16,N*.若选择,即f(x)的图象关于直线x=56对称,则有56+6=k+2(kZ),解得=65k+25(kZ),由于16,N*,kZ,所以k=3,=4.此时,f(x)=4sin(4x+6)+a.由x0,12,得4x+66,2,因此当4x+6=2,即x=12时,f(x)取得最大值4+a,令4+a=3,解得a=-1,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数f(x)在0,12上有最大值3.若选择,即f(x)的图象关于点(518,0)对称,则有518+6=k(kZ),解得=185k-35(kZ),由于16,N*,kZ,所以k=1,=3.此时,f(x)=4sin(3x+6)+a.由x0,12,得3x+66,512,因此当3x+6=512,即x=12时,f(x)取得最大值4sin512+a=6+2+a,令6+2+a=3,解得a=3-6-2,不符合题意.故不存在正实数a,使得函数f(x)在0,12上有最大值3.若选择,即f(x)在-4,4上单调递增,则有-4+62k-2,4+62k+2,(kZ),解得-8k+83,8k+43,由于16,N*,kZ,所以k=0,=1.此时,f(x)=4sin(x+6)+a.由x0,12,得x+66,4,因此当x+6=4,即x=12时,f(x)取得最大值22+a,令22+a=3,解得a=3-22,符合题意.故存在正实数a=3-22,使得函数f(x)在0,12上有最大值3.