2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第三章3.8函数与方程（word含答案解析）.DOC

3.8函数与方程(教师独具内容)1掌握函数零点的定义、方程的根和函数零点的关系，掌握函数零点存在定理2通过函数的图象研究函数的零点是解决零点问题的重要途径，明确二分法的适用条件：在零点附近图象连续，且该零点为变号零点3用二分法求函数的零点首先要确定变号零点所在的区间，然后找中点值，区间缩小一半，同号丢，异号算，零点落在异号区间里，这样重复进行，直到满足零点要求的精确度为止4重点提升数学运算和逻辑推理素养(教师独具内容)1本考点的考查往往以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，特别是有关导数的解答题中也经常考查零点问题根据近五年的高考试题的考查特点，建议掌握好函数零点的求法、含参数问题的解决办法以及常用的二次函数零点问题的求法2从近五年的高考试题来看，用二分法求函数的零点考得较少(教师独具内容)(教师独具内容)1函数的零点(1)零点的定义：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点注：函数的零点不是函数yf(x)的图象与x轴的交点，而是yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数(2)零点的几个等价关系：方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图象与x轴有公共点函数yf(x)有零点2函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件3二分法的定义对于在区间a，b上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法4常用结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1已知函数yf(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有()A2个 B3个 C4个 D5个答案B解析由零点存在定理及题中的对应值表可知，函数yf(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以yf(x)在1，6上的零点至少有3个2函数f(x)ex3x的零点个数为()A0 B1 C2 D4答案B解析因为函数f(x)ex3x在R上单调递增，又f(1)30，f(0)10，因此函数f(x)有且只有一个零点3若二次函数f(x)x22xm在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 答案(8，1解析二次函数f(x)图象的对称轴方程为x1.若在区间(0，4)上存在零点，只需所以解得8m1.4若函数f(x)axb有一个零点2，则函数g(x)bx2ax的零点是 答案0，解析由题意知2ab0，则b2a，令g(x)bx2ax0，得x0或x，所以g(x)的零点为0，.5方程2x3xk的实数解在1，2)内，则实数k的取值范围是 答案5，10)解析令函数f(x)2x3xk，则f(x)在R上是增函数当方程2x3xk的解在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得5k10.又当f(1)0时，k5.综上，实数k的取值范围是5，10).1(2020·天津高考)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)|kx22x|(kR)恰有4个零点，则k的取值范围是()A(2，)B(0，2)C(，0)(0，2)D(，0)(2，)答案D解析注意到g(0)0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx2|(x0)恰有3个实根即可，令h(x)，即y|kx2|与h(x)的图象有3个不同交点因为h(x)当k0时，y2，如图1，y2与h(x)的图象有1个交点，不满足题意；当k0时，如图2，y|kx2|与h(x)的图象恒有3个不同交点，满足题意；当k0时，如图3，当ykx2与yx2的图象相切时，联立方程得x2kx20，令0得k280，解得k2(负值舍去)，所以k2.综上，k的取值范围为(，0)(2，).故选D.2(2019·全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A2 B3 C4 D5答案B解析令f(x)0，得2sin xsin 2x0，即2sin x2sin x cos x0，2sin x(1cos x)0，sin x0或cos x1.又x0，2，由sin x0得x0，或2，由cos x1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个故选B.3(2018·全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1，0) B0，)C1，) D1，)答案C解析画出函数f(x)的图象，再画出直线yx并上下移动，可以发现当直线yx过点A时，直线yx与函数f(x)的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线yx与函数f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)xa有两个解，也就是函数g(x)有两个零点，此时满足a1，即a1.故选C.4(2019·江苏高考)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数当x(0，2时，f(x) ，g(x)其中k>0.若在区间(0，9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是 答案解析当x(0，2时，yf(x)(x1)2y21(y0)，结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0，9上的图象如图所示当x(1，2时，g(x)，又g(x)的周期为2，当x(3，4(5，6(7，8时，g(x).由图可知，当x(1，2(3，4(5，6(7，8时，f(x)与g(x)的图象有2个交点，当x(0，1(2，3(4，5(6，7(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点又当x(0，1时，yg(x)k(x2)(k>0)的图象恒过定点A(2，0)，由图可知，当x(2，3(6，7时，f(x)与g(x)的图象无交点，当x(0，1(4，5(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点由f(x)与g(x)的周期性可知，当x(0，1时，f(x)与g(x)的图象有2个交点当yk(x2)的图象与圆弧(x1)2y21(0x1)相切时，d1k2(k>0)k.当yk(x2)的图象过点A(2，0)与B(1，1)时，k.k.一、基础知识巩固考点函数零点及其所在区间的判断例1(2021·哈尔滨模拟)下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是()Af(x)ex1 Bf(x)xCf(x)x Df(x)x2答案C解析根据函数奇偶性的概念可判断A与D所给函数为非奇非偶函数；对于B，f(x)x为奇函数，但不存在零点；对于C，f(x)x为奇函数，且f(±)0.例2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析因为abc，所以f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)·(cb)0，由函数零点存在定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内1.函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)答案B解析解法一(定理法)：函数f(x)log3xx2的定义域为(0，)，并且f(x)在(0，)上单调递增，图象是一条连续的曲线由题意知f(1)1<0，f(2)log32>0，根据零点存在定理可知，函数f(x)log3xx2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内故选B.解法二(图象法)：将函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)log3x和h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出两函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2).故选B.2已知函数f(x)ln x2x6的零点在(kZ)内，那么k 答案5解析因为x(0，)，f(x)20，所以f(x)在(0，)上单调递增，fln 10，f(3)ln 30，所以f(x)的零点在内，则整数k5.判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程(2)利用零点存在定理求解(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断考点函数零点个数的判断例3已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析令f(x)3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf(x)3x的零点个数是2.例4(2021·长沙模拟)已知函数f(x)(xR)是奇函数且当x(0，)时是减函数，若f(1)0，则函数yf(x22|x|)的零点共有()A4个 B5个C6个 D7个答案D解析根据题意，函数yf(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0，当x(0，)时是减函数，且f(1)0，则函数在(0，)上只有一个零点，由于函数yf(x)是奇函数且当x(0，)时是减函数，则f(x)在(，0)上是减函数，又f(1)0，则f(1)f(1)0，则函数在(，0)上只有一个零点故函数yf(x)共有3个零点，依次为1，0，1.对于函数yf(x22|x|)，当x22|x|1时，解得x±1；当x22|x|0时，解得x±2或x0；当x22|x|1时，解得x1或x1.故函数yf(x22|x|)的零点共有7个例5(2021·邯郸模拟)若函数yf(x)(xR)满足f(x4)f(x)，且x(2，2时，f(x)|x|，则函数yf(x)的图象与函数ylg |x|的图象的交点个数为()A4 B6 C8 D10答案C解析因为f(x4)f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数又x(2，2时，f(x)|x|，所以作出函数f(x)的图象如图所示因为x±10时，ylg |±10|1，所以由数形结合可得函数yf(x)的图象与函数ylg |x|的图象的交点个数为8.3.已知函数f(x)则f(x)的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析当x1时，令f(x)ln (x1)0，得x2；当x1时，令f(x)2x110，得x1，故f(x)的零点个数为2.4若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点有()A多于4个 B4个C3个 D2个答案B解析分别作出yf(x)与ylog3|x|的图象如图所示，由图可知yf(x)与ylog3|x|的图象有4个交点，故函数yf(x)log3|x|有4个零点函数零点个数的判断方法(1)直接求零点令f(x)0，有几个解就有几个零点(2)零点存在定理要求函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数(3)利用图象交点个数判断作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数考点函数零点的应用例6已知方程x2(m2)x5m0的一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，则m的取值范围是()A(5，4) BC D(5，2)答案C解析令f(x)x2(m2)x5m，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，只需即解不等式组可得<m<4，即m的取值范围为.故选C.例7(2022·湖南郴州高三月考)设函数f(x)若函数g(x)f(x)b有三个零点，则实数b的取值范围是()A(1，) BC0(1，) D(0，1答案D解析函数g(x)f(x)b有三个零点等价于f(x)b有三个根，当x0时，f(x)ex(x1)，则f(x)ex(x1)exex(x2)，由f(x)0得x2，此时f(x)为减函数，由f(x)0得2x0，此时f(x)为增函数，即当x2时，f(x)取得极小值f(2)，作出f(x)的图象如图，要使f(x)b有三个根，则0b1.故选D.5.已知函数f(x)其中a>0且a1，若mR，使得函数f(x)有2个零点，则实数a的取值范围为()A(1，2) B(0，1)(1，2)C(0，1)(2，) D(2，)答案B解析设g(x)令f(x)0，则g(x)m，故问题转化为函数yg(x)与ym的图象有两个交点，显然当0<a<1时，mR，使得yg(x)与ym的图象有两个交点；当a>1时，只需2a>2a，解得1<a<2.综上所述，实数a的取值范围为(0，1)(1，2).故选B.6若函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，则实数a的取值范围是 答案解析因为函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，所以方程4x2xa0在1，1上有解，即方程a4x2x在1，1上有解方程a4x2x可变形为a，令2xt，因为x1，1，所以t，a，0t，0，2，所以实数a的取值范围是.已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解二、核心素养提升例1已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0，)时满足f(x)则方程f(x)0的解的个数为 答案5解析方程f(x)0的解的个数即为函数yf(x)的图象与直线y的交点个数，在同一坐标系中作出函数yf(x)的图象与直线y，如图所示，由图象可知，函数yf(x)的图象与直线y共有5个交点，即方程f(x)0的解的个数为5.例2已知M是函数f(x)|2x3|8sinx(xR)的所有零点之和，则M的值为 答案12解析将函数f(x)|2x3|8sinx的零点转化为函数h(x)|2x3|与g(x)8sinx图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M8×12.例3设f(x)是周期为4的周期函数，且当x1，3时，f(x)若函数g(x)3f(x)x有且仅有五个零点，求正实数m的取值范围解画出f(x)的大致图象，如图所示第一个半椭圆C1的方程为x21(y0)，第二个半椭圆C2的方程为(x4)21(y0)，第三个半椭圆C3的方程为(x8)21(y0).函数g(x)3f(x)x的零点问题转化为方程f(x)的根的问题，继而转化为yf(x)的图象与直线y的交点横坐标问题要使函数g(x)3f(x)x有且仅有五个零点，必须满足直线y与C2有两个不同交点且与C3没有交点，即方程(x4)21有两个不同解且方程(x8)21无解，所以(19m2)x272m2x135m20有两个不同根且(19m2)x2144m2x63×9m20没有根由两个判别式可得3m2>5且m2<7，故<m<.所以正实数m的取值范围为.直观想象探究与函数零点有关的问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路课时作业一、单项选择题1(2021·扬州模拟)设函数yx2与y图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)答案B解析因为函数yx2与y图象的交点为(x0，y0)，则x0是方程x2的解，也是函数f(x)x2的零点因为函数f(x)在(0，)上单调递增，f(2)22130，f(1)1210，所以f(1)f(2)0.由零点存在定理可知，方程的解在(1，2)内2已知0<a<1，则函数ya|x|logax|的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析函数的定义域是(0，)，ya|x|logax|ax|logax|，令y0，则ax|logax|，在同一直角坐标系中作出函数yax和y|logax|的图象如图所示，可知两个图象有2个交点，所以原函数的零点有2个，故选B.3(2021·济宁模拟)若函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，2) C(0，3) D(0，2)答案C解析f(x)在(0，)上是增函数，由条件可知f(1)f(2)<0，即(22a)(41a)<0，即a(a3)<0，解得0<a<3.4已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x1x3 Bx1x2x3Cx1x3x2 Dx3x2x1答案B解析令y12x，y2ln x，y31，因为函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则y12x，y2ln x，y31的图象与直线yx的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y12x，y2ln x，y31及yx的图象如图，结合图象可得x1x2x3.5(2021·郑州质量测试)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A(0，1 B1，)C(0，1) D(，1答案A解析画出函数f(x)的大致图象如图所示因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当x0时，f(x)有一个零点，需1a0，即a1；当x>0时，f(x)有一个零点，需a<0，即a>0.综上，0<a1.6(2021·重庆九校联考)已知函数f(x)则函数yf(x)3的零点个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析当x>0时，令|ln x|30，所以ln x±3，所以xe3或xe3，都满足x>0；当x0时，令2x(x2)30，即2x24x30，因为164×2×3<0，所以方程没有实数根综上，函数yf(x)3的零点个数是2.7已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1，1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是()A9 B10 C11 D18答案B解析在同一平面直角坐标系中作出函数yf(x)与y|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是10.8已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(2x)0；f(x2)f(x)；当x1，1时，f(x)则函数yf(x)在区间3，3上的零点个数为()A5 B6 C7 D8答案A解析由f(x)f(2x)0可得f(x)的图象关于点(1，0)对称由f(x2)f(x)可得f(x)的图象关于直线x1对称如图，作出f(x)在1，1上的图象，再由对称性，作出f(x)在3，3上的图象，作出函数y在3，3上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数yf(x)在区间3，3上的零点个数为5.故选A.二、多项选择题9(2022·淄博模拟)已知函数yf(x)是R上的奇函数，对于任意xR，都有f(x4)f(x)f(2)成立当x0，2)时，f(x)2x1.下列结论中正确的是()Af(2)0B点(4，0)是函数yf(x)图象的一个对称中心C函数yf(x)在区间6，2上单调递增D函数yf(x)在区间6，6上有3个零点答案AB解析对于A，因为f(x)为奇函数且对任意xR，都有f(x4)f(x)f(2)，令x2，则f(2)f(2)f(2)0，故A正确；对于B，由A知，f(2)0，则f(x4)f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0，0)成中心对称，则(4，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，因为f(6)f(2)0，f(5)f(1)f(1)1，6<5，而f(6)>f(5)，所以f(x)在区间6，2上不是单调递增的，故C错误；对于D，因为f(0)0，f(2)0，所以f(2)0.又4为f(x)的一个周期，所以f(4)0，f(6)0，f(4)0，f(6)0，所以函数yf(x)在区间6，6上有7个零点，故D错误故选AB.10(2022·衡水检测)已知函数f(x)若x1<x2<x3<x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是()Ax1x21 Bx3x41C1<x4<2 D0<x1x2x3x4<1答案BCD解析由函数f(x)作出其函数图象如图所示由图可知，x1x22，2<x1<1；当y1时，由|log2x|1，有x，2，所以<x3<1<x4<2；由f(x3)f(x4)，有|log2x3|log2x4|，即log2x3log2x40，所以x3x41，则x1x2x3x4x1x2x1(2x1)(x11)21(0，1).故选BCD.三、填空题11对于任意实数a，b，定义mina，b函数f(x)ex2e，g(x)ex，h(x)minf(x)，g(x)，若函数Q(x)h(x)k有两个零点，则k的取值范围为 答案(0，e)解析因为f(x)ex2e单调递减，g(x)ex单调递增，且f(1)eg(1)，故h(x)minf(x)，g(x)作出函数h(x)的图象如图所示函数Q(x)h(x)k有两个零点等价于函数h(x)的图象与yk的图象有2个交点，由图可知，k(0，e).12(2021·济南模拟)已知函数f(x)则f(x)的零点为 答案1和1解析令f(x)0得或解得x1或x1，所以f(x)的零点为1和1.13已知函数f(x)|1x2|a，若f(x)有四个零点，则实数a的取值范围是 答案(1，0)解析函数yf(x)有四个零点，即ya与y|1x2|的图象有四个交点，作出函数y|1x2|的图象如图，由图可知0<a<1，即1<a<0.14已知函数f(x)若f(x0)1，则x0 ；若关于x的方程f(x)k有两个不同零点，则实数k的取值范围是 答案1(0，1)解析解方程f(x0)1，得或解得x01.关于x的方程f(x)k有两个不同零点等价于yf(x)的图象与直线yk有两个不同交点，观察图象可知，当0k1时，yf(x)的图象与直线yk有两个不同交点四、解答题15已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围解(1)设x0，则x0，所以f(x)x22x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)(2)方程f(x)a恰有3个不同的解，即yf(x)与ya的图象有3个不同的交点作出yf(x)与ya的图象如图所示，故若方程f(x)a恰有3个不同的解，只需1a1，故实数a的取值范围为(1，1).16定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)求函数F(x)f(x)的所有零点之和解由题意知，当x<0时，f(x)作出函数f(x)的图象如图所示，设函数yf(x)的图象与直线y交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1x26，x4x56，x1x2x4x50，令2，解得x3，所以函数F(x)f(x)的所有零点之和为.17已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则有tx22x(x1)211，而原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，即实数a的取值范围是.