第12章 复数章末复习提升课 学案.doc

章末复习提升课主题1复数的基本概念复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径，在两个复数相等的充要条件中，注意当a，b，c，dR时，由abicdi才能推出ac且bd，否则不成立 1复数的共轭复数是()AiBiCiDi解析：选D由复数i，所以共轭复数为i，故选D2已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a()A4B4 C1D1解析：选C，因为复数为纯虚数，所以2a20且a40，解得a1.故选C主题2复数的几何意义 (1)复数z(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)已知复数z(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在()A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限【解析】(1)因为zi，所以z在复平面内所对应的点(，)在第一象限故选A(2)因为zi，所以i，则z的共轭复数对应的点在第四象限故选A【答案】(1)A(2)A(1)复数z、复平面上的点Z及向量 一一对应，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可以把复数、向量联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 1如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为()A13iB3iC3iD3i解析：选D由题图可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i.故选D2已知复数zxyi(x，yR，x0)且|z2|，则的取值范围是_解析：因为|z2|x2yi|，|z2|，所以(x2)2y23.设k，则ykx.联立化简为(1k2)x24x10.因为直线ykx与圆有公共点，所以164(1k2)0，解得k，所以的取值范围为，.答案：，主题3复数的四则运算 计算()2 004.【解】原式()21 002i(i)1 00201i.复数的四则运算一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化复数的代数运算与实数有密切联系，但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化 1设z2i，则|z|()A0BC1D解析：选C因为z2i2i2ii，所以|z|1.故选C2i是虚数单位，复数_解析：4i.答案：4i主题4复数与其他知识的综合应用 已知关于t的一元二次方程t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR).(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹；(2)求方程实根的取值范围【解】(1)设实根为t，则t2(2i)t2xy(xy)i0(x，yR)，即(t22t2xy)(txy)i0.根据复数相等的充要条件，得由得tyx，代入得(yx)22(yx)2xy0，即(x1)2(y1)22.所以所求点(x，y)的轨迹方程是(x1)2(y1)22，点(x，y)是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(2)由得圆心为(1，1)，半径r，直线tyx与圆有公共点，从而应有，即|t2|2，所以4t0，故方程实根的取值范围是4，0.复数具有代数形式，且复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与方程、函数、数列、解析几何等知识的交汇 复数z满足|z3i|，求|z|的最大值和最小值解：|z3i|z|3i|，又因为|z3i|，|3i|2，所以|z|2|，即|z|3，所以|z|的最大值为3，最小值为.1若复数z满足(2i)z|12i|，则z的虚部为()ABiC1Di解析：选A由题意可知zi，故其虚部为.故选A2设复数z满足1i，则z()A1iB1iC1iD1i解析：选C由题意得z1i.故选C3已知i为虚数单位，aR，若为纯虚数，则a()AB C2D2解析：选B由题意知i，又由为纯虚数，所以2a10且a20，解得a，故选B4已知方程x2(4i)x4ai0(aR)有实根b，且zabi，则复数z()A22iB22iC22iD22i解析：选D因为x2(4i)x4ai0(aR)有实根b，所以b2(4i)b4ai0，即b24b4(ab)i0.根据复数相等的充要条件，得b24b40且ab0，解得a2，b2.所以复数z22i.5已知z1，z2，z3C，给出下列三个命题：若z1z20，则z1z20；若z1z2z3，则z1z2z30；若两个虚数互为共轭复数，则它们的和为实数其中正确的个数为()A0B1 C2D3解析：选C若z1z20，则z1z2，此时z1与z2不一定均为0，所以错误；因为z1z2z3，所以z1z2与z3均为实数，所以z1z2z30，正确；两个虚数互为共轭复数，不妨设z1abi，z2abi(a，bR)，所以z1z2(abi)(abi)2aR，正确故选C6若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是_解析：复数(1i)(ai)a1(1a)i，其在复平面内对应的点(a1，1a)在第二象限，故解得a1.答案：(，1)7若i为虚数单位，则_解析：1i.答案：1i8已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为1，z1z2是实数，求z2.解：因为(z12)(1i)1i，所以z12i，所以z12i.设z2ai，所以z1z2(2a1)(2a)i.因为z1z2是实数，所以2a0，即a2.所以z22i.9已知z.(1)求|z|；(2)若z2azb1i，求实数a，b的值解：(1)z1i，所以|z|.(2)由(1)可得z22i，所以z2azb2ia(1i)b2iaaib(ab)(a2)i，所以(ab)(a2)i1i，所以解得A基础达标1在复平面内，若表示复数zm21i的点在第四象限，则实数m的取值范围是()ABC D解析：选A因为表示复数zm21i的点在第四象限，所以解得m<1.故选A2已知x，yR，iyi，则()Axy0Bxy0Cxy2Dxy2解析：选A因为(3xi)iy(x1)i，所以x3iy(x1)i，则xy，31x，即x2，y2，所以xy0，xy4.故选A3在复平面内，复数2i，3对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的复数是()A1iBiC1iDi解析：选B两个复数对应的点分别为A，B，设点C的坐标为，则由，得C为AB的中点，故C的坐标为，则点C对应的复数是i.故选B4设z2i，则|z|()A0B1CD3解析：选Bz2i2i2ii，|z|1.5复数z1cos xisin x，z2sin xicos x，则()A4B3C2D1解析：选D复数z1cos xisin x，z2sin xicos x，则z1z2cos x sin xcos x sin xii，则|z1z2|1，故选D6若3a2bii4i3(a，bR)则复数zabi的虚部为_解析：因为3a2bii4i3，所以3a2bi1i，则a，b，所以zi，虚部为.故答案为.答案：7若复数z与其共轭复数满足，z2，则z_解析：设zabi，则abi，又|z|，z2，所以因此zabiabiabiabi2a2.故答案为2.答案：28已知复数zabi(a，bR)，是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为_解析：i.因为是实数，所以0，即ab0.故答案为ab0.答案：ab09如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：(1)，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数； (3)B点对应的复数解：(1)，所以所表示的复数为32i.因为，所以所表示的复数为32i.(2)，所以所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所以所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.10已知z1，z2为虚数，且满足5，z234i.(1)若z1z2是纯虚数，求z1；(2)在(1)的条件下，求证：为纯虚数解：(1)设z1abi，则z1z23a4ai3bi4bi，因为|z1|5，z1z2是纯虚数，所以解得或因此z143i或z143i.(2)证明：若z143i，则i是纯虚数；若z143i，则3i也是纯虚数；综上，为纯虚数B能力提升11(多选)已知复数z满足z2724i，在复平面内，复数z对应的点可能在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选BD设复数zabi，则z2a22abib2724i，由复数相等得解得或因此z34i或z34i，所以对应的点为或，因此复数z对应的点可能在第二或第四象限故选BD12(多选)复数z满足·z3i2，则下列说法正确的是()Az的实部为3Bz的虚部为2C32iD|z|解析：选AD由·z3i2知，·z23i，即z·32i，所以z的实部为3，A正确；z的虚部为2，B错误；32i，C错误；|z|，D正确；故选AD13把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z21i，则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是()Ai，Bi，Ci，Di，解析：选B由题可知z1z2，则z1·2，所以z1i，可知z1对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选BC拓展探究14设复数z满足|z|1，使得关于x的方程zx22x20有实根，则这样的复数z的和为_解析：设zabi(a，bR且a2b21)，则原方程zx22x20变为i0，所以ax22ax20，且bx22bx0.(1)若b0，则a21解得a±1，当a1时无实数解，舍去；从而a1，此时x1±，故z1满足条件；(2)若b0，由知，x0或x2，显然x0不满足，故x2，代入得a，b±，所以z±i，综上满足条件的所有复数的和为1.答案：15某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ；.(i是虚数单位)(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论解：(1)i；i；i.(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到：i(a，bR且a，b不同时为零).下面进行证明：要证明i，只需证abii(bai)，只需证abiabi，因为上式成立，所以i成立